2 b−1 � j=0 (H1( j) − H2( j))2 H1( j) + H2( j) (5.6)
5.3/ L
A FUSION DES DESCRIPTEURSL’idée principale de notre méthode présentée dans ce chapitre consiste à utiliser simultanément deux descripteurs, l’un local S1, et l’autre global S2. Ces deux
descripteurs sont complémentaires : ils décrivent à la fois des caractéristiques locales et globales de l’objet. Cela permet de prendre en compte des
informations provenant de différentes sources, et donc de décrire plus efficacement un objet.
En effet, la fusion de classificateurs en utilisant des données obtenues à partir de différentes sources est largement utilisée car c’est une stratégie efficace pour améliorer la reconnaissance et la précision du processus de recherche par forme clef. On peut citer à titre indicatif la classification des images [Sari et al., 2015], la reconnaissance des expressions faciales [Zhang et al., 2015], et les systèmes d’authentification biométrique [Sudha et al., 2014].
Pour concevoir un schéma de fusion de classificateurs, il est très important de savoir quand, quoi et comment combiner. Deux options de fusion sont
disponibles : la fusion précoce, et la fusion tardive [Snoek et al., 2005]. La fusion tardive calcule indépendamment deux distances d1 et d2, entre les deux objets à
comparer A et B, une pour chaque descripteur, puis combine ces distances. La distance d1 est calculée en utilisant des histogrammes de A et B sur la base du
descripteur S1. De même, la distance d2est calculée en utilisant des
histogrammes de A et B sur la base du descripteur S2. Ensuite, les deux
distances d1 et d2 sont combinées pour définir une distance d finale. La fusion
précoce combine les deux descripteurs S1(vi)et S2(vi)calculés en vi en un seul
descripteur S (vi). Ainsi, chaque objet est caractérisé par un seul histogramme,
sur la base du descripteur S (vi)qui est le résultat de la fusion de S1(vi)et S2(vi).
Snoek et al. [Snoek et al., 2005] ont étudié et comparé les deux types de fusions. Tenant compte du temps coûteux de la fusion tardive, et des résultats des tests, il a été conclu que la fusion précoce est bien meilleure. Dans notre travail, la fusion précoce est utilisée pour fusionner deux descripteurs S1 et S2 à
chaque sommet d’un objet donné. Dans la littérature, des règles de fusion tels que le maximum, le minimum, le produit et la fusion linéaire sont les plus fréquemment utilisées [Kuncheva, 2002]. Les deux descripteurs S1 et S2 sont
complémentaires. La règle du produit est théoriquement la meilleure dans notre situation, et cela est confirmé par nos expériences. Dans ce qui suit, nous expliquons la fusion précoce, ainsi que les différentes règles de fusion utilisées pour combiner les descripteurs.
72 CHAPITRE 5. LA FUSION DES DESCRIPTEURS PAR LA RÈGLE DU PRODUIT
FIGURE 5.1 – Chaîne de Markov à deux états représentant le degré de confiance en
chaque descripteur.
5.3.1/ FUSION PRÉCOCE ET RÈGLES DE FUSION
Dans le but d’améliorer l’appariement de formes et le processus de recherche par forme clef, différentes règles de fusion ont été étudiées et comparées [Kuncheva, 2002].
Afin de définir la fusion des deux descripteurs considérés dans ce travail, nous devons tout d’abord calculer le degré de confiance en chaque descripteur. Cela est effectué en calculant dans une phase de pré-traitement la précision du processus de recherche pour chaque descripteur.
Nous notons µ1 et µ2la précision du processus de recherche en utilisant
respectivement S1 et S2. En effet, µ1et µ2sont les moyennes des précisions du
processus de recherche calculées après une campagne de tests : nous
cherchons dans la base de données les objets les plus proches d’une requête, en utilisant le descripteur S1 (respectivement S2) ; µ1(respectivement µ2 ) est la
précision moyenne des résultats obtenus sur cent requêtes en utilisant le descripteur S1(respectivement S2 ). Par conséquent, µ1 = T � j=1 precision(S1)j T et µ2 = T � j=1 precision(S2)j
T , où T est le nombre de
tests.
Nous avons estimé les valeurs de µ1, et µ2 pour un échantillon T = 100 tests
aléatoires et nous avons obtenu µ1= 0, 74569et µ2 = 0.7975.
Le degré de confiance en chaque descripteur peut être considéré comme une chaîne de Markov à deux états (Figure 5.1). Soit Zt le descripteur dans lequel
nous avons confiance au temps discret t. Alors, (Zt) est une chaîne de Markov
avec les états {1, 2}.
La matrice de transition de cette chaîne est donnée par l’équation 5.7 :
M = � µ1 1 − µ1 1 − µ2 µ2 � (5.7)
Cette chaîne de Markov a une seule distribution stationnaire α∗, que nous
calculons en résolvant : (I − MT)α∗=0, et α∗
1+ α∗2 = 1, donc α∗1=2−(µ1−µ1+µ2 2) et α∗2= 1−µ1
2−(µ1+µ2).
On peut généraliser ce résultat pour L descripteurs. Soit µi le degré de confiance
en le i ième descripteur. Nous supposons que toutes les transitions de confiance d’un descripteur aux autres descripteurs sont équiprobables. Ainsi, la probabilité de confiance pour aller du i ième descripteur au temps t = 0 au j ième
5.3. LA FUSION DES DESCRIPTEURS 73
descripteur au temps t = 1 est donnée par :
Pr(Z1 = j | Z0 =i) =
� µ
i si i = j 1−µi
L−1, si i � j
Par conséquent, la matrice stochastique M représentant les probabilités de transitions des degrés de confiances est donnée par :
M = p11 . . . p1L p21 . . . p2L .. . . .. ... pL1 . . . pLL (5.8)
tel que : M(i, j) = pi j =Pr(Z1 = j | Z0 =i), 0 < µi <1, et 0 < 1−µL−1i < 1, pour
i = 1, . . . L.
Cette chaîne de Markov a une distribution stationnaire unique α∗qui peut être
trouvée en résolvant : (I − MT)α∗=0, sachant que �L j=1α
∗
i =1.
Le vecteur de probabilité stationnaire est alors définie par α∗= (α∗
1, . . . , α∗L), où la
probabilité stationnaire α∗
i du i ième descripteur est donnée par :
α∗i = 1 − ( �L j=1, j�iµj/(L − 1)) L − �L j=1µj (5.9)
Définition 5 : Le degré de confiance
Soit αk (nous retirons l’étoile de α∗k pour plus de commodité) le degré
de confiance dans le k ième descripteur dans la combinaison, et Sk la
valeur du k ième descripteur. Remarquons que la somme des degrés de confiances vaut 1.
Nous présentons maintenant les règles des fusions utilisées dans ce chapitre afin de combiner les descripteurs : le maximum, le minimum, le produit, et la fusion linéaire.
— Maximum : La règle du maximum permet de sélectionner le descripteur qui a la valeur maximum. S = max{αk× Sk,k = 1, . . . , L}.
— Minimum : Le minimum prend le descripteur avec la valeur minimale. Donc, pour L descripteurs la règle du minimum est
S = min{αk× Sk,k = 1, . . . , L}.
— Fusion linéaire : les descripteurs sont combinés en tenant compte des coefficients associés à ces derniers [Tax et al., 1997]. La fusion linéaire est donnée par la combinaison linéaire convexe : S = �L
74 CHAPITRE 5. LA FUSION DES DESCRIPTEURS PAR LA RÈGLE DU PRODUIT 0 0.2 0.4 0.6 0.6 0.7 0.8 0.9 Rappel Précision S Min Max Lin
FIGURE5.2 – Courbes de précision-rappel : résultats du processus de recherche pour la base de données TOSCA, en utilisant les différentes règles de fusion.
.
— Produit : Dans cette règle, les valeurs des descripteurs sont multipliées. Pour L descripteurs, la fusion par la règle de produit est donnée par :
S = L � k=1 αk× Sk =( L � k=1 αk) × ( L � k=1 Sk) (5.10)
La règle du produit est l’une des règles les plus simples et les plus efficaces parmi toutes les règles utilisées dans les schémas de combinaison
[Tax et al., 1997, Abdullah et al., 2009], en particulier lorsque les descripteurs sont indépendants (ou dans notre cas, complémentaires).
Pour deux descripteurs, nous avons :
S = (α1× S1) × ((1 − α1) × s2) = α1× (1 − α1) × S1× S2. Dans notre cas, les
sommets des descripteurs sont estimés correctement, cette règle de produit fournit théoriquement la meilleure estimation pour la fusion. Ceci est également confirmé par les expériences que nous avons menées sur une variété d’objets 3D.
5.3.2/ LE DESCRIPTEUR PROPOSÉ: S
Dans cette section, nous décrivons notre nouveau descripteur S.
Pour un sommet donné vi, nous notons Sk(vi)la valeur du k ième (k = 1, 2)
descripteur calculée pour ce sommet.
Le descripteur S applique la règle du produit définie dans la section 5.3.1 pour combiner les deux descripteurs S1 et S2 : α1× (1 − α1) × S1× S2. Il faut noter que
S (vi) = L
�
k=1αk× Sk(vi)est égal au produit des descripteurs L
�
k Sk, indépendamment
de la constante multiplicative �L