représentation et manipulation du qbit

Pour aborder l'approche de la formulation mathématique de la notion du qubit, nous allons étendre la formulation mathématique du bit classique étouée par les principes de la mécanique quantique. Considérons un registre à un bit d'information classique, susceptible de représenter 0 ou 1 (vrai ou faux, existe ou absent, noir ou blanc ...). Dans la formulation classique, ces deux possibilités sont représentées simplement par des nombres entiers 0 ou 1 qu'on code généralement sur une impulsion électrique ou électromagnétique.

Par ailleurs, la formulation quantique, nous permet de représenter ces deux états par deux vecteurs orthogonaux dans un espace de Hilbert H de dimension 2. En utilisant la notation de Dirac, les deux vecteurs sont indiqués par |0i et |1i, avec h0|1i=0 et h0|0i = h1|1i=1. Le choix de la norme unitaire est en fait un choix légitime, puisque en mécanique quantique chaque état physique est représenté par un vecteur de norme unitaire dans un espace de Hilbert. D'après cette formulation, autre que |0i et |1i, on considère aussi que chaque état |φi = a|0i + b|1i, avec la condition (a, b) ∈ C2 _{et |a|}2_{+ |b|}2_{= 1) est un état possible de ce registre quantique. En eet,} ce résultat découle directement du principe fondamental de la mécanique quantique qu'est la superposition. Ainsi, si deux états quelconque |φi et |ψi sont des états possibles d'un système physique, alors chaque combinaison linéaire |χi = α|φi + β|ψi, telle que hχ|χi=1, est aussi un état possible de ce système.

Couramment, on peut recourir à la représentation géométrique du qubit qu'est donnée par la

Figure 2.15  représentation géométrique du qubit : sphère de Bloch

sphère de Bloch (gure.2.15). Dans cette conguration, l'état |φi = a|0i + b|1i représentant un qubit est simulé à un point de la surface de la sphère (sphère de rayon unitaire). Donc la superposition des états |0i et |1i permet de parcourir l'ensemble de la surface extérieure de la sphère de Bloch contenant de la forme suivante :

|φi = a|0i + b|1i ≡

|φi = cos[θ

2]|0i + e iφ_sin[θ

2]|1i (2.23)

avec θ ∈ [0, π] et φ ∈ [0, 2π] car la variation de ces deux variables permet à un état quantique d'atteindre toutes les valeurs de la sphère de Bloch.

- manipulation des qubits :

Nous allons rappeler que nous avons donné une description du qubits comme étant des objets mathématiques avec certaines propriétés à la fois spéciques et étrange que généralement on ne rencontre pas dans le domaine classique. Ainsi, il est vrai qu'on réalise des qubits à la base des systèmes physiques qui nous permet un passage uide entre le point de vue mathématique abstrait et les systèmes réels. Cependant, pour la plupart du temps nous traitons les qubits comme des objets mathématiques conceptuels. La beauté de cette supposition consiste en ce qu'il nous donne la liberté de construire une théorie générale de calcul et d'information quantiques qui ne dépend pas d'un système spécique.

Par analogie, les ordinateurs classiques mesurent à chaque instant l'état des bits classiques an d'en tirer les contenus de leurs mémoires. Plutôt remarquablement, nous ne pouvons pas examiner un qubit pour déterminer son état quantique, c'est-à-dire les valeurs de α et de β. Au lieu de cela la mécanique quantique nous dit que nous pouvons acquérir seulement beaucoup plus

de renseignements restreints sur l'état quantique. Quand nous mesurons un qubit nous recevons le résultat 0, avec la probabilité α2_{, ou le résultat 1, avec la probabilité β}2_{. Naturellement,} α2+ β2 = 1 car les probabilités sont normées.

Géométriquement parlant, nous pouvons l'interpréter comme la condition que l'état du qubit doit être normalisé à la longueur 1. Ainsi, dans le cas général, l'état de qubit est un vecteur d'unité dans un espace vectoriel complexe de deux dimensions. Cette incision entre l'état inobservable d'un qubit et les observations que nous pouvons faire est au c÷ur de calcul quantique et de la théorie de l'information. Le manque de cette correspondance directe dans la mécanique quantique rend dicile à prédire le comportement de systèmes quantiques. Cependant, il y a une correspondance indirecte, car les états de qubit peuvent être manipulés et transformés des façons qui mènent aux résultats de mesure qui dépendent distinctement des diérentes propriétés de l'état. Ainsi, ces états quantiques sont réellement les conséquences expérimentalement vériables de nos actions sur les systèmes quantiques.

Pour illustrer cette étrangeté, il peut être judicieux d'appréhender certaines réalisations possible : comme les deux diérentes polarisations d'un photon ; l'alignement d'un électron dans un champ magnétique uniforme ; deux états d'un électron décrivant une orbite (niveau d'énergie) autour d'un atome simple. Dans le modèle d'atome par exemple, l'électron peut exister dans l'état soi-disant 'stable' ou dans l'état 'excité', que nous appellerons |0i et |1i, respectivement. En envoyant un faisceau lumineux sur l'atome, avec une intensité appropriée et pendant un temps approprié, il est possible de déplacer l'électron de |0i à |1i et vice versa. Toutefois, intéressons nous au cas où en réduisant le temps de brillance, l'électron initialement dans |0i peut être déplacé 'à mi-chemin' entre |0i et |1i. On dit qu'il est en superposions d'état.

manipulation par mesure dans une base autre que la base de calcul :

Nous avons introduit la notion de la mesure d'une manière intuitive en décrivant les probabilités d'obtenir un '0' ou un '1' à partir du qubit α|0i + β|1i par α2 _{et β}2 _{respectivement. En fait,} la mécanique quantique permet un peu plus d'adaptabilité et de souplesse dans la classe de mesures qui peuvent être eectuées, bien que certainement nul ne peut accéder à α et β via une seule mesure. Donc, il est préférable de noter que les états |0i et |1i représentent juste un choix parmi plusieurs possibilités de bases disponibles pour la mesure. En eet, un autre choix possible est la base {|+i, |−i} où |+i = _√1

2(|0i + |1i) et |−i = 1 √

2(|0i − |1i). Donc un état arbitraire |ψi = α|0i + β|1i peut être réécrit dans cette nouvelle base sous la forme :

|ψi = α|0i + β|1i |ψi = (α + β)√

2 |+i +

(α − β) √

2 |−i. (2.24)

Ainsi, on constate que la mesure suivant la base {|+i, |−i} nous indique qu'on peut obtenir l'état '+' avec la probabilité (α+β)2 _{et le résultat '-' avec la probabilité (α−β)}2_{respectivement.} Plus généralement et quelque soit la base de mesure {|xi, |yi}. Il est possible d'exprimer un état arbitraire comme une combinaison linéaire de |xi et |yi. En outre, pourvu que les états soient orthonormés, il est possible d'exécuter une mesure en ce qui concerne l'état |ψi = α|xi + β|yi, an d'avoir le système dans l'état |xi avec une probabilité de α2 _ou dans l'état |yi avec une probabilité de β2_{. D'une façon analogue et plus imagé, il est alors} possible de mesurer un système quantique de plusieurs qubits suivant une base orthonor- mée arbitraire et inversement on peut toujours mesurer un système quantique dans n'importe qu'elle base à condition qu'elle soit orthonormée. Et ainsi, on est à coup sûr d'obtenir un résultat.

manipulation par évolution unitaire (cas des portes logiques quantiques) :

Dans notre formulation mathématique, on considère une opération sur un qubit se fait via un opérateur unitaire U agissant dans l'espace de Hilbert H. Cette conclusion nous parvient directement de la mécanique quantique, où l'évolution temporelle d'un système est gouvernée par un opérateur unitaire agissant sur l'état du système. L'unitarité dans notre cas est primordiale an de préserver la norme du vecteur d'état. A titre d'exemple, nous allons introduire l'opérateur qui correspond à l'opération "NOT" sur un qubit. Dans la base de calcule {|0i, |1i}, la matrice correspondante à cet opérateur s'écrit :

U_{N OT} =  0 1 1 0