détection et mesure de l'intrication

Comme c'est le cas avec toute ressource physique, il est primordial tout d'abord d'expliciter ce phénomène. Ensuite, il serait judicieux d'arriver à quantier l'intrication via des outils de mesure pour estimer ; sur la base d'une échelle physique ; le degré d'intrication dans un état quantique donné. Et ce, dans l'objectif de comprendre quels sont les processus permettant de transformer, modier ou perturber l'état de l'intrication. Ainsi, dans cette section, on n'aura à traiter le cas des états bipartis maximalement intriqué.

les états de Bell :

Le caractère surprenant des états intriqués a pour la première fois été souligné par Einstein, Podolsky et Rosen dans un article de 1935 [45] qui tentait de montrer à la fois que la mécanique quantique était incomplète et qu'elle est également diérente de la théorie réaliste. Dans cet article, les auteurs décrivent une expérience de pensée connue par le paradoxe EPR. Dans cette optique, des états intriqués imaginés par ce trio ont, depuis, été observés en laboratoire et leur comportement correspond à celui que prévoit la théorie quantique.

En eet, l'état intriqué présenté dans Eq.3.34 avec ”a = d = 0” et ”c = b = _√1

2” n'est pas arbitraire. Du fait qu'il est l'un des quatre états de Bell possibles représentants l'état d'un sys- tème à deux particules intriquées, pouvant être proches comme elles peuvent être séparées d'une grande distance. Mais leurs états quantiques sont parfaitement corrélés. Nous avons mentionné auparavant que |wi ∈ A ⊗ B ne peut pas s'écrire toujours comme |wi = |ui ⊗ |vi pour |ui ∈ A et |vi ∈ B. Ainsi, on dénit les états suivants, appelées états de Bell, ayant cette propriété sur (C2≈ H) ⊗ (C2 _{≈ H) = H}2 _:

1. |β00i = √1₂(|00i + |11i), 2. |β01i = √1₂(|00i − |11i), 3. |β10i = √1₂(|01i + |10i) et 4. |β11i = √1₂(|01i − |01i).

La notation est choisie selon la règle qui suit : |βxyi =

1 √

2(|0yi + (−1)

x_{|1¯yi). (3.36)}

où ¯y indique la négation du bit y. Ainsi, nous vérions facilement que ces quatre états sont normés et réciproquement orthogonaux, donc ils forment une base orthonormée sur H2_{. En eet,} pour tout |ψi ∈ H2 _{de la forme Eq.3.34, on peut l'exprimer comme suit :}

|ψi = |β00ihβ00||ψi + |β01ihβ01||ψi + |β10ihβ10||ψi + |β11ihβ11||ψi = √1

Après avoir introduit les quatre fameux états de Bell, nous allons aborder l'une des techniques permettant la construction d'un tel état intriqué. Donc, pour ce faire, on considère deux particules de spin 1

2 en interaction mutuelle suivant l'hamiltonien suivant : H = 1

2~ω − →_σ

1−→σ2 (3.38)

avec −→σx sont les matrices de Pauli. On dénit l'opérateur suivant : O = 1 2(12+ − →_σ 1−→σ2) = 1 2 12+ δi,jσ1 i_σ 2j
(3.39) soit le qubit |iji avec i + j = 1, alors on vérie facilement que :

O|iji = |jii O|β10i = |β10i

O|β11i = −|β11i (3.40)

donc on déduit que :

− →_σ 1σ2|β10i = |β10i − →_σ 1σ2|β11i = −3|β11i (3.41) cela revient à dire que |β10iet |β11isont vecteurs propres de −→σ1σ2 avec les valeurs propres +1 et −3respectivement et donc vecteurs propre de H avec les valeurs propres E+ = 1₂~ω et E−= 3₂~ω aussi. Par conséquent, si nous avons l'état |10i = 1

2(|β10i + |β11i)à l'instant t = 0, son évolution est donné par :

exp−i~tH|10i =

1 2



exp−i~tH|β₁₀i + exp−i t ~H|β₁₁i  = 1 2 

exp−itω2 |β₁₀i + exp+3i tω 2 |β₁₁i  = exp itω 2 2 exp −itω_|β 10i + expitω|β11i

= expitω2 (cos(tω)|β₁₀i − i sin(tω)|β₁₁i) (3.42)

donc si on prend un temps d'interaction t égale à t = π

4ω, alors nous aurons : exp−i (t= π_4ω) ~ H|10i = 1 √ 2(|10i − i|01i) . (3.43)

Cette construction est réalisée selon la stratégie de rapprocher puis d'éloigner les deux qubits. Ainsi, l'interaction est considérée à courte distance, toutefois d'autres méthodes sont également possibles pour atteindre le même objectif mais à grande distance.

détection de l'intrication : théorème de Bell :

Nous allons continuer à explorer davantage la nature non classique des états intriqués. En eet, les propriétés de la matière nous suggère que les résultats des mesures nous permettent de connaitre des propriétés d'un système. Ce point de vue est fort soutenu par notre vision classique incapable de cerner le monde quantique. Du fait que la théorie quantique telle que nous l'avons vue jusqu'à présent, nous arme qu'un système n'est pas indépendamment caractérisé

du processus de mesure qu'on lui applique.

D'autant plus, ces propriétés intrinsèques sont déterminées en quelques sortes par le processus même de la mesure. Par exemple, la direction d'un spin n'a pas une composante déterminée le long de l'axe "X" et une autre déterminée le long de l'axe "Z", de manière à ce que les deux quan- tités puissent être mesurées indépendamment. Selon la mécanique quantique, tout ce que nous pouvons conrmer sont des probabilités de coexistences pour les résultats des diérentes mesures. Dans le même contexte, on considère un autre exemple plus parlant où on suppose que deux personnes ; susamment éloignées ; disposent d'une particule de la paire |β10i. Quoique l'expé- rience de mesure eectuée par chaque personne est répétée avec plusieurs paires de particules préparées dans le même état |β10i. Les séquences de résultat obtenues seront parfaitement corrélées. Ainsi, si la première personne obtient {0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, ...}, alors elle saura à coup sûre que l'autre aura {1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, ...} du fait que si S est la séquence de mesure d'une personne, alors l'autre aura exactement S.

Par ailleurs, avant d'eectuer l'opération de mesure, ni l'un ni l'autre n'est en mesure de prédire quoi que ce soit sur le résultat de la mesure. C'est pour ces raisons que l'analyse EPR mis en cause le fait que la personne est parfaitement capable de prévoir le résultat de la mesure de l'autre (après avoir eectuée sa propre mesure). Cela revient à conclure que le résultat de la mesure est un élément de réalité (une propriété intrinsèque au système) que l'autre va surement détecter par l'acte de sa mesure. Donc la théorie devrait être en mesure de prévoir avec certitude cette caractéristique. Par contre, la mécanique quantique ne peut pas prévoir ce résultat mais seulement établir des probabilités.

Ainsi, plusieurs sont ceux qui n'étaient pas convaincu de ce point de vue étrange. Etant donné que, le principe de base stipule que dans le contexte de la réalité, les propriétés physiques d'un système doivent obligatoirement appartenir au système indépendamment de l'acte de la mesure. Une théorie comme la mécanique quantique, qui ne permet pas de prévoir ces éléments de réalité, devait nécessairement être une théorie incomplète.

Dénition 3.5 (Réalité) en etend par réalité, si sans perturber localement un système, on arrive à déterminer avec certitude la valeur de l'une de ces grandeurs physiques, alors on dit qu'il existe un élément de réalité associé à cette grandeur.

de même on dénie la localité par :

Dénition 3.6 (localité) En physique, le principe de localité, connu également sous le nom de principe de séparabilité, est un principe selon lequel des systèmes distants ne peuvent avoir une inuence directe l'un sur l'autre. Ainsi, un système ne peut être inuencé que par son environ- nement immédiat. Autrement, lors d'une perturbation, les systèmes n'interagissent plus et sont dans des régions locales où aucun indice de causalité peut les relier.

Donc, l'analyse EPR adoptée nous permet de conclure que la théorie quantique est une théo- rie incomplète du fait qu'elle arrive à expliquer certains éléments de la réalité, notamment la superposition des états de "Spin". Pourtant, elle demeure incapable de prédire avec certitude ces orientations. Par conséquent, le formalisme quantique est partiellement valide mais nécessite obligatoirement un complément. Mais, ce n'est qu'en 1964 que Bell démontra théoriquement qu'une telle corrélation ne peut être expliquée dans l'esprit d'incomplétude suggéré par Einstien [46].

Théoréme 3.11 (Théorème Bell) Soit un nombre positif |X| calculable à partir des corréla- tions observées, tel que :

1. |X| est toujours inférieur ou égal à 2 si les corrélations sont à caractère classiques. 2. dans le cas contraire, |X| peut dépasser 2 lorsque les corrélations sont dues à l'intrication.

Alors si |X| > 2, on dit que les corrélations violent l'inégalité de Bell.

l'idée clé de la démonstration consiste à considérer une source S produisant, à chaque instant t, une paire de particules "EPR". Par la suite, l'une des particules s'envole vers le laboratoire d'Alice tandis que l'autre se dirige vers le laboratoire de Bob. On suppose aussi que les deux laboratoires sont susamment éloignés de sorte que chaque correspondant travaille indépendam- ment de l'autre et aucune communication ni interaction n'est établie jusqu'à la n de l'expérience. Lors de cette analyse Alice peuvent choisir de mesurer selon deux base possibles {BA1, BA2}et {BB1, BB2}respectivement. Appelons les deux quantités mesurées A1, A2, B1 et B2 les résultats enregistrés par Alice et Bob respectivement. Il est à noter que ces quantités ne peuvent avoir que les valeurs ±1. Nous soulignons ici encore une fois qu'Alice et Bob eectuent leur mesures de façon indépendante. En fait, on peut constater qu'on a quatre congurations possibles selon le choix eectué :

1. [A1, B1] = A1· B1⇐⇒ si Alice choisi B1_A et Bob BB1, 2. [A1, B2] = A1· B2⇐⇒ si Alice choisi B1_A et Bob BB2, 3. [A2, B1] = A2· B1⇐⇒ si Alice choisi B2_A et Bob BB1 et 4. [A2, B2] = A2· B2⇐⇒ si Alice choisi B2_A et Bob BB2. Considérons la quantité :

[A1, B1] − [A1, B2] + [A2, B1] + [A2, B2]

A1· B1− A1· B2+ A2· B1+ A2· B2 (3.44) il facile de constater que Eq.3.44peut se mettre sous la forme :

X = (A1+ A2) · B1+ (A2− A1) · B2 (3.45) en plus, étant donné que −1 ≤ Ai · Bi ≤ 1 alors on déduit que −2 ≤ X ≤ 2. Ceci dit, malheureusement, on ne peut pas mesurer et vérier X sur chaque paire de particules, car Alice(Bob) mesure soit A1(B1) soit A2(B2) mais jamais les deux à la fois.

En outre, si on admet que la Nature est caractérisée par des éléments de réalité (hypothèse de départ), alors il faut penser qu'à chaque réalisation, les valeurs de A1, B1, A2, B2 sont toutes gées à l'avance indépendamment du processus de mesure. Dans cette situation, une distribution de probabilité p(A1, B1, A2, B2) sera favorable pour représenter l'ensemble des combinaisons possibles.

En eet, pratiquement parlant, on suppose que cette distribution de probabilité sera dénie parfaitement une fois que les deux utilisateurs s'échangent leurs résultats. L'objectif de cette probabilité est de pouvoir déterminer une valeur moyenne caractérisant cette expérience. Pour ce faire, soit la valeur moyenne E(X ) de la quantité X . Or, maintenant nous pouvons calculer

cette moyenne : E(X ) = X {A1,B1,A2,B2} p(A1, B1, A2, B2)X ≤ X {A1,B1,A2,B2} p(A1, B1, A2, B2) × 2 = 2 (3.46) =⇒ E(X ) ≤ 2

or par la linéarité de la moyenne, nous aurons :

E(X ) = E [A1, B1] − E [A1, B2] + E [A2, B1] + E [A2, B2] (3.47) donc du Eq.3.46et Eq.3.47 nous avons :

E [A1, B1] − E [A1, B2] + E [A2, B1] + E [A2, B2] ≤ 2 (3.48) Nous avons obtenu cette dernière inégalité en faisant deux hypothèses. La première c'est que les résultats possibles de toutes les mesures sont des caractéristiques de l'état du système indépendamment de la mesure. Par contre, la deuxième stipule que la mesure eectuée par Alice(Bob) ne peut en aucune manière inuencer le résultat de Bob (Alice).

De ce fait, les deux hypothèse ensemble constituent ce qu'on appelle l'hypothèse de réalisme local et Alice et Bob peuvent vérier l'inégalité de Bell en faisant tourner l'expérience plusieurs fois. Or pour les états corrélés comme |β10i, la théorie quantique prédit toutefois des valeurs moyennes des observables mesurables A et B parfois diérentes. Pour nous en convaincre, nous allons considérer les situations de mesure suivantes :

1. [Aθ, Bθ] = A1· B1⇐⇒ si Alice choisi B1_Aet Bob BB1, 2. [Aθ, Bθ⊥] = A1· B2 ⇐⇒si Alice choisi B1_Aet Bob BB2, 3. [Aθ⊥, Bθ] = A2· B1 ⇐⇒si Alice choisi B2_Aet Bob BB1 et 4. [Aθ⊥, Bθ⊥] = A2· B2 ⇐⇒si Alice choisi B_A2 et Bob BB2.

avec Xθ,(θ⊥)est l'observable mesurable suivant l'angle θ(θ ⊥) matérialisé avec un ltre polariseur orienté à un angle θ(θ + π

2) par rapport à l'axe horizontale. Il est à noter que si Alice et Bob décident de mesurer avec ces ltres orientés, alors ils vont avoir les mêmes résultats que s'ils décident d'utiliser d'autres orientations. Et cela est justié du fait que |β10i peut être exprimé dans la base {|θi, |θ ⊥i} comme suit :

|β10i = 1 √ 2(|01i + |10i) = √1 2(|θ, θ ⊥i + |θ ⊥, θi) (3.49) toutefois, si on suppose que Alice reste dans la base computationnelle {|0i, |1i}, tandis que Bob mesure avec son ltre orienté selon θ. Alors il serait judicieux de récrire l'état sous la forme suivante :

|β₁₀i = √1

2(|01i + |10i) = √1

Dans ce cas nous aurons pour la moyenne :

E(Ai, Bj) = h0, θ|β10i2+ h0, θ ⊥ |β10i2+ h1, θ|β10i2+ h1, θ ⊥ |β10i2

= sin(θ)2− cos(θ)2 (3.51)

= −2 cos(2θ)

et plus généralement, on constate que cette moyenne ne dépend que de l'angle entre le ltre de Bob et celui d'Alice. Ainsi, on aura :

E(Ai, Bj) = −2 cos(2(θA− θB)) en plus nous avons d'après Eq.3.47:

E(X ) = X {A1,B1,A2,B2} E(Ai, Bj) = −2 X {θA1,θB1,θA2,θB2} cos (2(θAi− θBi)) (3.52)

donc, il est facile de constater qu'on peut trouver des valeurs pour les θi violant l'inégalité de Bell :

θA1= 0 θB1= π₈ θA2= 3π₄ θB2= π +π₈

⇒ E(X ) = 2√2 > 2 (3.53)

Par la présente démonstration, on conclus que les corrélations quantiques ne sont pas établies à la source et sont donc d'une nature diérentes des corrélations classiques. En eet, aucune corrélation de type classique n'est en mesure de reproduire les eets quantiques ni d'expliquer classiquement ce genre de corrélation. Ainsi, deux qubits "A" et "B" de ce type forment une seule entité, sont non-séparables et dit intriqués, et cela quelle que soit la distance qui les sépare. En outre, la théorie quantique ne remplit pas l'hypothèse de réalisme local et c'est grâce à l'inégalité de Bell que nous avons une méthode opérationnelle de prouver le comportement quantique de la Nature qui n'obéit pas au réalisme local.

Nous allons par la suite examiner une application pratique des états corrélés dans l'information quantique à savoir la téléportation quantique.

téléportation quantique :

La téléportation quantique consiste à transmettre un état quantique inconnu d'un point un autre, sans transporter de la matière. En eet, ce processus de communication est purement quantique du fait que la description d'un seul qubit nécessite deux nombres complexes. Ce qui est une quantité non bornée de bits classiques. Donc, la téléportation est impossible de point de vue classique.

Donc pour illustrer le mécanisme de la téléportation, nous allons considér le protocole de com- munication quantique dans lequel Alice partage une paire EPR |β00i = √1₂(|00i + |11i)avec Bob, pour lui téléporter un qubit |ψi ∈ C2_{= α|0i + β|1ien mesurant sa demi-paire EPR et |ψi avec la} mesure de Bell {|β00ihβ00|, |β01ihβ01|, |β10ihβ10|, |β11ihβ11|}. Ainsi, soit |βxzihβxz|le résultat de la mesure obtenue par Alice. Elle annonce alors (x, z) à Bob qui retrouve |ψi après avoir appliqué XxZz sur sa demi-paire EPR. Puisque l'état de Bob est l'état associé à une demi-pair EPR, 12

2 , et que cet état ne change pas tant que le résultat de la mesure d'Alice demeure inconnu à Bob, pour chaque ρ ∈ D(C2_{) :}

12 2 =

p

En eet, comment cela s'explique de point de vue de Bob lorsque Alice eectue sa partie de la té- léportation. Au départ, Bob possède la moitié d'un état |β00iet nous savons que T rA(|β00i) = 1₂2. Alors, si ρ = |ψihψ| est l'état à téléporter de Alice vers Bob, avant que Bob ne reçoive les deux bits classiques, le qubit en sa possession est dans l'état  1

4|ψi,
; 1 4X|ψi
; 1 4Z|ψi
; 1 4X.Z|ψi
ayant comme matrice de densité Eq.3.54.

Donc nalement, on constate alors quand Alice mesure les qubits dans la base de Bell, cette action va transformer le qubit de Bob en l'état inconnu original d'Alice multiplié par l'un des quatre opérateurs {I, Z, X, ZX} unitaires selon le résultat obtenu par Alice. Par conséquent, une fois Alice informe Bob via un canal classique de son résultat, il peut alors appliquer l'opérateur unitaire approprié pour récupérer l'état original d'Alice.

Discorde : une nouvelle forme de corrélation purement quantique

L'intrication a longtemps été vue comme un élément essentiel dans le domaine de la communi- cation et l'information quantique. Considérée comme synonyme des corrélations quantiques, elle n'est pas la seule propriété témoignant du caractère quantique de ces corrélations. Ceci est vrai car certains mélanges d'états non complètement intriqués peuvent tout de même présenter des corrélations supérieures aux corrélations classiques [50].

Dans cette optique, quantiait l'intrication rêver aussi un caractère primordiale dans la théorie quantique pour classier les états. Cette nouvelle approche ore d'une part des nouvelles perspectives d'échelonner le degré d'interaction conné dans un système donné. D'autre part, de lever la nuance entre la corrélation quantique totale estimée à l'aide de l'entropie de von Neumann et la corrélation classique d'une sous partie du système globale.

En eet, à un passé récent, cette nuance n'est était pas prise en considération du fait qu'on supposait qu'une telle distinction ne serait d'aucune utilité. Toutefois, la diérence de ces deux quantités correspond aux corrélations d'origine purement quantique appelée discorde [48, 49]. Elle a permit d'envisager une possibilité d'exploitation des états non intriqués mais ayant une discorde non nulle. De ce fait, cette notion a fait récemment l'objet de plusieurs recherches an de mettre en évidence sa capacité d'être considérée une nouvelle ressource en information quantique. L'avantage, par rapport à l'intrication, est qu'elle est beaucoup moins "fragile" face aux eets du phénomène de la décohérence et également beaucoup plus facile à produire expérimentalement. Par ailleurs, l'handicape majeur actuellement réside dans la diculté de construire une observable pour mesurer directement cette propriété physique. Néanmoins, une estimation indirecte à travers un modèle a été bien élaborée an de quantier la discorde.

Avant de présenter le modèle de la discorde, on va rappeler les diérentes classes des systèmes quantiques composés de deux parties "A" et "B" :

1. état factorisable : on dis qu'un système S(A,B) est dans un état factorisable si les états des sous-systèmes correspondants sont complètement décorrélé les uns des autres. Autre- ment, cette proposition est équivalente au fait que l'action de mesurer l'une de ces modes n'apporte aucune information sur les autres modes.

2. état classiquement corrélé : dans ce cas, un tel état est considéré partiellement corrélé. Cela revient à dire que la mesure locale ne perturbe pas l'état globale du système [51]. 3. état formé de mélange statistique : Un état est dit séparable ou en état de mélange s'il

n'est pas intriqué, mais pourtant il contient probablement des corrélations plus fortes que les corrélations classiques. À ce stade, on parle de mesure de la discorde pour les mettre en évidence.

4. état intriqué : Un état est dit intriqué s'il n'appartient pas à l'ensemble des états précé- dents. Cela revient à dire, qu'on ne peut pas le factoriser, l'action de la mesure perturbe obligatoirement l'état du système et la connaissance d'une sous-partie nous renseigne par- faitement sur l'autre partie.

Ainsi, si on considère deux variables classiques corrélés "A" et "B", alors cette corrélation cor- respond à leur information mutuelle :

I(A : B) = H(A) + H(B) − H(A, B) (3.55) de même pour le cas quantique, la généralisation est triviale est s'obtient par :

I(ρ(AB)) = S(ρ(A)) + S(ρ(B)) − S(ρ(AB)) (3.56) en eet, cette mesure capture toutes les corrélations présentes dans ρ(AB) indépendamment de son origine (classique et/ou quantique) [52,53,54,55]. Dans cette optique, si on fait varier la mesure exécutée sur les parties classiques "A" et "B", l'information mutuelle reste inchangée. Donc la formule de Eq.3.55 peut être réécrite sous une autre forme :

I(A : B) = H(A) − H(A|B) = H(A, B) = H(B) − H(B|A) (3.57) Par contre, dans le cas quantique, on a pas cette possibilité du fait que la mesure perturbe l'état du système. Ainsi, si on mesure à l'aide d'un POVM {Πb}la partie "B", alors la matrice densité de l'autre partie sera ρA = _{pB=T r}T rBΠ_ABbρ(AB)_Πbρ(AB). Donc, la version quantique de Eq.3.57sera dénie comme suit :

C(A|{Π_b}) = S(ρ(A)) −X k

pB(k)S(ρA|k) (3.58)

cette quantité correspond à l'information mutuelle classique obtenue avec {Πb}et les corrélations classiques totales sont obtenues en maximisant C(A|{Πb}) sur tout les POVM {Πb} [49]. La discorde quantique est ainsi dénie comme la diérence entre les corrélations totales I(ρ(AB)) et les corrélations classiques C(A|B) :

D(A|B) = I(ρ(AB)) − C(A|B). (3.59)

Pour mieux illustrer le concept de la discorde, nous proposons une étude dont l'objectif est d'estimer cette quantité pour des états cohérentes déformés [56] couplé à un environnement décohérent. Nous avons choisi d'analyser des états déformés bimodes. En fonction du facteur de déformation, ces états peuvent présenter ou non de l'intrication [57, 58, 59,60,61, 62, 63, 64, 65,66,67,68,69], mais en revanche ils présentent toujours de la discorde, sauf s'ils approchent de la limite classique alors qu'ils deviennent factorisables. Ainsi, on rappelle qu'un état cohérent déformé peut s'écrire sous la forme suivante :

|Z, f i = N_f ∞ X n=0 αn √ n!f (n)!|ni, Nf = [expf[|α| 2_]]−1 2 , α ∈ C. (3.60)

avec Z est l'amplitude cohérente, f est le facteur/fonction de déformation et "expf" est la forme déformée de la fonction exponentielle [70]. Ceci dit, alors on peut construire, à la base de l'état de Eq.3.60, la version déformée des quatre états de Bell dénie comme suit :

|φ±if = _N1(|Z; Zif ± | − Z; −Zif),

Dans notre étude, on va considérer le modèle d'un canal dissipatif dans lequel évolue l'un de ces quatre états. Ainsi, on va estimer l'évolution de la discorde et voir sa variation en fonction des paramètres initiales (amplitude, déformation, l'amortissement induit par la décohérence...). Par conséquent, l'interaction entre le système bipartite et l'environnement peut être modélisée par l'Hamiltonien :

HD = ω 2(A

†_{A + AA}†_{), (3.62)}

où A et A† _{sont les opérateurs d'annihilation et de création déformés donnés par :}

A = af (ˆn) = f (ˆn + 1)a , A†= f (ˆn)a†= a†f (ˆn + 1) (3.63) avec ω une grandeur homogène assimilée à une fréquence angulaire appelée pulsation propre de

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