sive ainsi que l’apparition d’une déformation rémanente, recouvrable partiellement sur un temps dépendant de la température de maintien.
L’effet de Mullins peut être facilement contourné. En effet, étant donné le temps néces-saire au retour à l’état de repos du matériau, il est souvent considéré que le comportement d’un élastomère après une phase de rodage suffit à générer le comportement dû à l’effet Mullins qui sera le comportement "final" de la pièce.
2.1.5 Conclusion sur les influences des paramètres extérieurs et
conditions de sollicitations
On peut constater que ce sont notamment la dépendance à la fréquence, à la tempéra-ture, à l’amplitude de déflexion et l’effet de Mullins qui caractérisent souvent le compor-tement visco-élastique. Dans [GJI 96] sont striccompor-tement exposées les différences entre un comportement visco-élastique et élastoplastique dues au frottement sec.
2.2 Modélisation du comportement des elastomères
Il s’agit ici de présenter les modèles usuels permettant d’intégrer le comportement des élastomères, et en particulier des systèmes de suspensions, à des modélisations par éléments finis. Il existe plusieurs familles de modèles : les premiers décrivent les lois de comportement matériaux, les seconds assimilient les suspensions à des assemblages d’élé-ments rhéologiques simples, les derniers représentent le comportement de la suspension
La première option pour l’intégration d’un comportement d’élastomère au sein d’une simulation numérique est la définition d’une loi de comportement caractéristique du maté-riau. On trouve dans [VER 08] un état de l’art de ces lois, et le rappel des effets à prendre en compte. Le principe de ces méthodes est de recaler une loi permettant de représenter les divers comportements d’un matériau en fonction des conditions de sollicitations. Cette loi remplace alors la loi de Hooke, ou toute autre loi éventuellement non linéaire dans la définition du matériau dans le modèle éléments finis. La mise en oeuvre passe alors par le maillage du composant élastomère.
L’identification des paramétres de ce type de modèle est effectuée à l’aide de simples tests sur des éprouvettes. Les tests de traction peuvent être réalisés sur des éprouvettes de types haltères ou bandes, des essais de compression sur des plots élancés. Les essais multiaxiaux (cisaillement pur, traction équibiaxiale) sont réalisables sur des tubes des plaques ou des disques.
Les modèles de lois de comportement sont soit des modèles hyperélastiques ou visco-élastiques. Ces lois sont avant tout phénoménologiques, les coefficients n’ont pas toujours de significations physiques. On peut trouver dans [BAN 99] un exemple de définition complète d’une telle loi.
2.2.1.1 Modèles hyperélastiques
Les hypothèses d’utilisation des lois de comportements hyperélastiques sont : une isotropie du comportement, une réversibilité totale, une non linéarité du comportement liant la contrainte et la déformation, la compressibilité. Les lois distinguent à ce dernier titre les matériaux faiblement et fortement compressibles.
La loi de comportement de base est la loi Néo-Hookéenne qui lie le travail des défor-mations W à un paramètre élastique C1et au premier invariant du tenseur des déformations I1.
W = C1(I1− 3) (2.5)
où C1 est un coefficient d’élasticité exprimé en Pa et I1premier invariant du tenseur des déformations.
proposition de Mooney en 1940 ([MOO 40]).
W = C1(I1− 3) +C2(I2− 3) (2.6)
La loi de Mooney-Rivlin est très utilisée dans les codes de calculs par éléments finis et s’exprime souvent sous sa forme généralisée :
W =
n
∑
i j
Ci j(I1− 3)i(I2− 3)j (2.7)
Les paramètres d’ordre i et j servent à enrichir la loi pour prendre en compte d’éventuelles évolutions complexes.
La loi d’Ogden est aussi souvent utilisée :
W = n
∑
i=1 2µi αi2(λαi 1 + λαi 2 + λαi 3 − 3) (2.8)Les paramétres αi et µi sont des coefficients d’élasticité. Les coefficients λ correspondent aux élongations principales.
La prise en compte de la compressibilité dans les deux dernières équations peut être fa-cilement réalisée en ajoutant le terme ∑mi=1D1i(J − 1)2ioù Diest un coefficient d’élasticité exprimé en MPa−1. Cette partie n’intervient que lorsque le volume relatif J est différent de l’unité.
2.2.1.2 Modèles viscoélastiques
Les lois viscoélastiques ont, elles aussi, leurs hypothèses. Tout comme pour les mo-dèles hyperélastiques, il faut considérer l’isotropie du comportement et la non linéarité contrainte-déformation. La dépendance au temps doit être identique pour tous les char-gements déviatoriques (comme le cisaillement), et de même pour tous les charchar-gements sphériques. La viscoélasticité est considérée linéaire. Cela implique que les réponses en contraintes dues à des sollicitations en déformations successives et réciproquement sont additives (principe de Boltzmann). La réponse en contrainte peut être obtenue depuis une décomposition ayant la forme d’un produit d’une fonction de la déformation et d’une fonction du temps.
Certains modèles viscoélastiques sont basés sur une extension des modèles élastiques instantanés. Pour les modèles de type Rivlin, les coefficients Ci j et D1
Ci j(τ) = Ci j 1 −
∑
m=1
gm(1 − exp(−τ/τm)) (2.9)
Des développements comparables sont également possibles pour les modèles d’Og-den.
2.2.1.3 Avantages et inconvénients des approches par loi de comportement
Les modèles utilisant des lois de comportements ont l’avantage d’être facilement intégrables aux codes de simulations industriels existant. En effet, leur définition n’influe pas directement sur l’agorithme du code mais uniquement sur les relations entre les para-mètres déjà existants. C’est pourquoi on retrouve d’ores et déjà ce type de modèles dans les logiciels de calculs spécialisés ou non dans le traitement des non linéarités matériaux. Le fait que ces modèles traitent le problème directement sous leur aspect matériau permet de limiter les essais nécessaires à leur recalage à une seule série de mesure pour quali-fier toutes les pièces fabriquées à partir d’un même mélange et dans les mêmes conditions.
Cet avantage est également une des faiblesses des lois de comportement, puisqu’en se basant uniquement sur le matériau, ces modèles nécessitent de traiter à part les problé-matiques liées aux contacts, jeux et éventuelles frictions aux interfaces entre les pièces "dures" et les pièces élastomères ce qui peut parfois s’avérer très difficile voire impossible.
2.2.2 Approche par les modèles rhéologiques
Dans les modèles rhéologiques, le comportement d’un matériau ou d’une structure s’effectue par un assemblage d’éléments simples représentatifs chacun d’une partie du comportement. C’est la mise en parallèle et/ou en série d’un certain nombre de ces élé-ments, dépendant de la complexité du phénomène à représenter, qui permet d’obtenir une relation entre contrainte et déformation (ou entre force et déplacement) comme celles que l’on peut trouver dans [JOH 00] pour modéliser par exemple le comportement en relaxa-tion.