Représentation graphique

Grâce au dispositif décrit au chapitre 2, il est possible d'effectuer des captures dans des directions précises, ce qui permet de les projeter sur la sphère. Cependant, la sphère n’est pas développable simplement sur le plan. Il est donc nécessaire d'utiliser une seconde projection pour obtenir une image plane. D'autres études ont montré des thermographies utilisant des projections cartographiques [Asano 1996, Tamura 2001]. Puisque aucune projection cartographique de la sphère ne peut être à la fois conforme (préservation des angles) et équivalente (préservation des surfaces) le choix est délicat.

Pour étudier l'influence des surfaces de la scène sur le point de mesure, il est nécessaire de connaître l'angle solide qu'elles représentent sur la sphère, il faut donc utiliser une projection équivalente capable de la représenter entièrement. Il existe des projections équivalentes de plusieurs types : azimutale, cylindrique, sinusoïdale Mollweide, etc… Ces projections présentent des distorsions plus ou moins importantes mais toutes conservent les aires.

Asano montre la possibilité de représenter la scène en utilisant une projection sinusoïdale (Figure 34) puisque celle-ci est équivalente et garde également les

56 Imagerie 4𝜋

latitudes sous forme de lignes droites. Cependant, cette projection présente une forte distorsion aux pôles.

Figure 34. Thermographie sphérique Composée [Tamura 2001]

[Beckers 2014] suggère la projection de Mollweide pour observer et quantifier avec précision l'impact de chaque surface de la scène. La projection Mollweide permet de cartographier sur le plan la totalité de la sphère avec une faible distorsion partout [Lapaine 2011].

La projection de Mollweide est une projection pseudo-cylindrique qui représente la sphère complète dans une ellipse avec un rapport de 2:1 entre les axes (Figure 35).

57

Application des méthodes d’imagerie au rayonnement dans les scènes urbaines

Dans la projection de Mollweide, les méridiens sont répartis équidistants et les latitudes sont conservées horizontales. Puisqu’il s'agit d'une projection équivalente (les surfaces relatives de la sphère sont conservées), cela permet de mesurer directement l'angle solide de chaque surface en comptabilisant les pixels qui la représentent.

Malgré ses avantages, l'utilisation de la projection de Mollweide est restée limitée à des applications très spécifiques comme l’espace interstellaire ou le globe terrestre. La méthode 4𝜋 profite des caractéristiques géométriques de cette projection pour étudier l'environnement radiatif. Son esthétique facilite l'observation de ce qui se passe dans la scène. Pour cette raison, cette même projection peut être utilisée pour la représentation de résultats simulés.

La construction géométrique de cette projection est faite à partir de 3 équations.

𝑥 = √2𝑅 sin 𝛽 (49)

𝑦 =2√2𝑅

𝜋 ^{𝑅𝜆 cos 𝛽} (50)

2𝛽 + sin 2𝛽 = 𝜋 sin 𝜑 (51)

Dans ces équations, 𝑥 et 𝑦 représentent les coordonnées rectangulaires dans le plan de projection, tandis que 𝜑 et 𝜆 sont les coordonnées géographiques (longitude et latitude) de chaque point sur la sphère et 𝑅 son rayon. L’angle 𝛽 est calculé itérativement, en commençant par 𝛽′= 𝜑, ensuite :

𝛿𝛽′= − (𝛽′+ sin 𝛽′− ^{𝜋 sin 𝜑}

1 + cos 𝛽′^{) 𝜋 sin 𝜑} (52)

𝛽 =^𝛽

′

2 (53)

À partir de la projection sphérique de la place des Capucins de Cordoue, on déduit les caractéristiques suivantes.

58 Imagerie 4𝜋

Figure 36. Projection de Mollweide de la Place des Capuchinos.

(Cordoue - Espagne).

Dans la scène de la Figure 36, l'angle solide du ciel ou Sky Solid Angle [Capeluto 2003] (SSA) = 2,89 sr = 0,92 𝜋 sr = 23 % de la surface de la sphère. Puisque le concept de le SSA ne dépend pas d'une surface ou de son orientation, il peut s'appliquer à n'importe quel autre élément de la scène. Par exemple, pour le sol, où il deviendrait l'angle solide du sol ou Ground Solid Angle. Pour la Figure 36 (GSA) = 5,59 sr =1,78 𝜋 sr = 44 % de la surface de la sphère. Enfin, l'angle solide du mur ou

Wall Solid Angle (WSA) = 4,08 sr = 1,30 𝜋 sr = 33 % de la surface de la sphère.

Évidemment, la somme de ces angles solides = 12,56 sr = 4 𝜋 sr = 100 % de la surface de la sphère.

Pour assurer la cohérence des graphiques et faciliter les comparaisons, les scènes sont toujours orientées vers le Sud, de sorte que les centres des projections indiquent toujours le Sud dans le plan de référence horizontal. Les deux extrémités de l'axe horizontal indiquent le Nord, elles représentent la même direction. À mi-distance entre le centre et l'extrémité gauche (droite), on trouve la direction Est (Ouest). Si l'on gradue l'axe horizontal de - 𝜋 à 𝜋, on indique toutes les directions : du Nord, à l'Est, au Sud, à l'Ouest, et, de nouveau au Nord. Les parallèles (lignes de latitude égale) apparaissent comme des lignes horizontales (chaque cercle de latitude de la sphère contient les projections de tous les points ayant le même angle zénithal, complément de la latitude).

59

Application des méthodes d’imagerie au rayonnement dans les scènes urbaines

La superposition des axes permet d'observer facilement la position du soleil. Son angle azimutal correspond au méridien tracé en pointillé et, comme la projection de Mollweide maintient les latitudes horizontales, son angle d'élévation peut être observé simplement par rapport à l'axe vertical. Ainsi, l'axe vertical marque également le midi solaire, pour l'hémisphère nord. Au moment de la mesure, le soleil avait une élévation de 66,7° et un angle d'azimut de 224,7°.

Calcul de la Tmrt par la méthode 4𝜋

Cette approche permet de mesurer les radiances dans toute la scène. Puisque la méthode 4𝜋 capture la scène entière autour d'un point, l'intégration de toutes les radiances 𝐿_𝑒 [W m-2 sr-1] sur la sphère permet de calculer l'irradiance sphérique 𝐸_𝑠𝑝ℎ [W m-2] de la scène [CIE 2020] pour chaque partie du spectre.

𝐸𝑠𝑝ℎ= ∫ 𝐿𝑒𝑑𝛺

4𝜋

(54)

En combinant les irradiances sphériques en ondes courtes et en ondes longues, on obtient le flux total.

𝜙𝑟= 𝛼𝐿𝑤 𝐸𝑒,𝑜_𝐿𝑤+ 𝛼𝑠𝑤 𝐸𝑒,𝑜_𝑠𝑤 (55)

Par ailleurs, en utilisant une partition équivalente pour la sphère, il est possible d'obtenir le même résultat directement à partir de la moyenne de la sphère, car le nombre total de carreaux (𝑁_{𝑝𝑎𝑡𝑐ℎ}) détermine l'angle solide de chacun de ses carreaux.

Ω =^{𝑁𝑝𝑎𝑡𝑐ℎ}

4𝜋 (56)

Ainsi, le 𝑇_𝑚𝑟𝑡 peut être calculé comme le flux moyen sur la sphère de Beckers.

𝑇𝑚𝑟𝑡= √ ^{∑ 𝐿𝑒} 𝑁𝑝𝑎𝑡𝑐ℎ

4

60 Imagerie 4𝜋

La méthode 4𝜋 est ainsi une alternative pour évaluer la température rayonnante moyenne, c’est surtout un outil d'analyse visuelle de l'environnement radiatif urbain. De plus, cette méthode permet une certaine discrimination spectrale. Ainsi, elle permet d'étudier l'environnement selon 3 axes, le temps, l'espace et le spectre.