2.5 Cas particulier de la représentation de Steinberg
2.5.4 Représentation de Steinberg et correspondance de Jacquet-Langlands
Dans cette partie, on suppose seulement que l’extension K/F est quadratique modérément ramifiée (elle peut être non ramifiée ou totalement ramifiée).
Remarque 2.5.4.1. Comme en 2.4.3, on note JL la correspondance de Jacquet-Langlands :
JL :R2
0(GL2(∆))→ R20(GLn(K))
Notons Π la représentation de Steinberg de GL2(∆). Alors, d’après [SZ2], JL(Π) est la représen-
tation de Steinberg de GLn(K) où n = 2δ (et δ est l’indice de ∆).
Une conséquence immédiate du corollaire 4.2 de [M] est le fait suivant :
Théorème 2.5.4.2. La représentation de Steinberg JL(Π) de GLn(K) n’est pas GLn(F)-distinguée.
Ainsi Π n’est pas D×-distinguée et son image par la correspondance de Jacquet-Langlands n’est
pas GLn(F)-distinguée.
Démonstration. D’après le corollaire 4.2 de [M], la représentation de Steinberg JL(Π) de GLn(K)
est GLn(F)-distinguée si et seulement si le caractère trivial est ηn−1-distingué où η est le caractère
quadratique de F× associé à K/F. Or, ici n est pair et le caractère trivial n’est pas η-distingué.
On en déduit que JL(Π) n’est pas GLn(F)-distinguée.
Un résultat de multiplicité 1 en
caractéristique nulle
A.1
Rappels sur les paires de Gelfand-Kazhdan.
Dans cette partie, on note G un groupe topologique localement compact, totalement discon- tinue, unimodulaire. Soit F un corps local non archimédien.
Définition A.1.0.3. Soit H un sous-groupe fermé de G. On suppose que H\G est muni d’une
mesure invariante à droite, qu’il existe une anti-involution continue i de G telle que i(H) = H et que toute distribution bi-H-invariante de G est fixée par i. On dit alors que (G, H) (ou plus précisément (G, H, i)) est une paire de Gelfand-Kazhdan.
Définition A.1.0.4. Soit H un sous-groupe fermé de G. On dit que le couple (G, H) est une
paire de Gelfand si pour toute représentation lisse irréductible π de G on a : dim(HomH(π, 1))× dim(HomH(eπ, 1))≤ 1
(où eπ désigne la contragrédiente (lisse) de π).
Le résultat suivant est démontré dans un cas particulier dans [GK2] et plus généralement dans [Gro] (proposition 4.2) :
Théorème A.1.0.5. Une paire de Gelfand-Kazhdan est en particulier une paire de Gelfand.
Dans la suite, notre objectif sera de montrer qu’un certain couple (G, H) est une paire de Gelfand. Pour cela, nous utiliserons un résultat plus général, donné dans [GK2] :
Définition A.1.0.6. Soit X une variété algébrique définie sur F. Soit G un groupe algébrique
défini sur F qui agit sur X de manière algébrique. On note X = X(F) et G = G(F). On dit que la paire (X, G) est régulière si pour tout x dans X l’application :
G→ G.x, g 7→ g.x est une submersion.
Remarque A.1.0.7. Pour tout x dans X, il existe au plus (à multiplication par un réel stric-
tement positif près) une mesure positive µx sur G.x qui soit G-invariante.
Théorème A.1.0.8. Soit (X, G) une paire régulière. On suppose qu’il existe σ un automorphisme
algébrique de X, défini sur F, tel que :
1. Pour tout x dans X, on a σ(G.x) = G.x. 2. Pour tout x dans X, on a σ(G.x) = G.x. 3. L’automorphisme σ fixe les mesures µx.
Alors σ fixe toute distribution G-invariante sur X.
Remarque A.1.0.9. Si l’automorphisme σ est d’ordre fini, alors la troisième condition est
satisfaite.
A.2
Théorème de Hilbert 90 généralisé.
On introduit les notations suivantes pour toute la suite :
Notation A.2.0.10. On considère K/F une extension quadratique séparable de corps locaux non
archimédiens. On suppose que F est de caractéristique nulle. On note Γ = Gal(K/F) ={Id, σ0}.
Soit A une F-algèbre centrale simple d’indice n. SoitD une F-algèbre à division centrale d’indice d telle que :
A≃ Mm(D)
On note l = n2= m2
× d2. On fixe (b
1,· · · , bl) une base de A sur F. On pose AK= A⊗FK. On
a l’injection canonique de K dans AK :
K֒→ AK, k7→ IdA⊗ k
AK est une K-algèbre centrale simple. On considère B = (b1⊗ 1, · · · , bl⊗ 1) une K-base de AK.
Soit G = A×K.
Remarque A.2.0.11. On remarque que Γ agit naturellement sur AK : σ.(a⊗ k) = a ⊗ σ(k); a ∈ A, k ∈ K Donc pour tout µ1,· · · , µl∈ K, on a :
σ.(µ1(b1⊗ 1) + · · · + µl(bl⊗ 1)) = µσ1(b1⊗ 1) + · · · + µσl(bl⊗ 1)
Par conséquent, si c∈ AK est donné par ses coordonnées dans la base B, c = (µ1,· · · , µl), alors
pour tout σ∈ Γ, on a :
σ(c) = (µσ
1,· · · , µσl)
On a donc une action naturelle de Γ sur G.
Pour démontrer le théorème de Hilbert 90 dans notre cas, nous commençons par rappe- ler un résultat d’indépendance algébrique des automorphismes (cf. [Bour1], chapitre 5 (Corps commutatifs), paragraphe 10 (Extensions galoisiennes), partie 7 (Indépendance algébrique des automorphismes), Théorème 4) :
Théorème A.2.0.12. Soit E un corps infini, L une extension galoisienne de E de degré fini m.
Soit{σ1,· · · , σm} = Gal(L/E). Soit Ω une extension quelconque de L. Soit P ∈ Ω[X1,· · · , Xm]
tel que pour tout x∈ L, P (σ1(x),· · · , σm(x)) = 0. Alors P = 0.
Corollaire A.2.0.13. Soit E un corps infini, L une extension galoisienne de E de degré fini m.
Soit {σ1,· · · , σm} = Gal(L/E). Soient N ≥ 1 et N.m variables indépendantes Z1,· · · , ZN.m.
Soit P ∈ L[Z1,· · · , ZN.m] tel que, pour tout x1,· · · , xN ∈ L, on a :
P (xσ1 1 ,· · · , x σm 1 , x σ1 2 ,· · · , x σm 2 ,· · · , x σm N ) = 0 Alors P = 0.
Théorème A.2.0.14. (Théorème de Hilbert 90 généralisé)
Tout 1-cocycle de Γ dans G est un 1-cobord, i.e. : H1(Γ, G) ={1}
Démonstration. Considérons ϕ : Γ→ G, σ 7→ ϕ(σ) = gσ un 1-cocycle. Alors, pour tout σ, τ ∈ Γ :
ϕ(στ ) = ϕ(σ).σ(ϕ(τ ))
Montrons que ϕ est un 1-cobord, i.e montrons qu’il existe b dans G tel que, pour tout σ dans Γ : ϕ(σ) = b−1σ(b)
On remarque que ϕ(Id) = ϕ(Id2) = ϕ(Id).Id(ϕ(Id)) = ϕ(Id)2 donc ϕ(Id) = 1. Ainsi, pour tout
b dans G, on a ϕ(Id) = b−1Id(b). Puisque Γ = {Id, σ
0}, il suffit de trouver b dans G tel que
ϕ(σ0) = b−1σ0(b).
On notera ϕ(σ0) = gσ0= (λ1,· · · , λl) (sa décomposition dansB). Pour tout c ∈ AK, on forme la
série de Poincaré : b =X σ∈Γ ϕ(σ)σ(c) = c + gσ0.σ0(c) Soit τ0∈ Γ, alors : τ0(b) = τ0( X σ∈Γ ϕ(σ)σ(c)) =X σ∈Γ τ0(ϕ(σ))τ0(σ(c)) = X σ∈Γ ϕ(τ0)−1ϕ(τ0σ)τ0σ(c) = ϕ(τ0)−1( X σ∈Γ ϕ(τ0σ)τ0σ(c)) = ϕ(τ0)−1b
Pour montrer que ϕ est un 1-cobord, il suffit de montrer que l’on peut choisir c tel que b soit inversible, i.e tel que NrdAK(b)6= 0 (où NrdAK désigne la norme réduite de AK).
Montrons ceci en raisonnant par l’absurde. Supposons que pour tout c∈ AKon ait NrdAK(b) = 0.
Soient µ1,· · · , µldans K, soit c = (µ1,· · · , µl), alors :
NrdAK(c + gσ0.σ0(c)) = 0 avec σ0(c) = (µσ10,· · · , µlσ0) et gσ0 = (λ1,· · · , λl). Et donc : gσ0.σ0(c) = gσ0.( X i µσ0 i (bi⊗ 1)) = X i µσ0 i (gσ0(bi⊗ 1))
La norme réduite étant polynomiale en les coordonnées, il existe P dans K[Z1,· · · , Z2×l] tel que :
NrdAK(c + gσ0.σ0(c)) = P (µ1, µ2,· · · , µl, µ
σ0
1 ,· · · , µ
σ0
On en déduit que, pour tout µ1,· · · , µl∈ K :
P (µ1, µ2,· · · , µl, µσ10,· · · , µ
σ0
l ) = 0
On peut appliquer le corollaire précédent car F est un corps infini, K est une extension galoisienne de F de degré fini m = 2. Avec les notations du corollaire, on a N = l, σ1= Id et σ2= σ0. On
en déduit que, pour tout µ1,· · · , µl dans K :
P (µ1, µ2,· · · , µl, µ1σ0,· · · , µσl0) = 0
donc P = 0 dans K[Z1,· · · , Z2×l]. Ainsi, pour tout x1,· · · , x2×l∈ K, on a :
P (x1,· · · , x2×l) = 0
On choisit x1, x2,· · · , xl ∈ K tels que c0 = (x1,· · · , xl)∈ G (on peut choisir pour c0 l’élément
neutre de G). On pose y1 = y2=· · · = yl = 0. Alors P (x1, x2,· · · , xl, y1,· · · , yl) = 0. De plus,
P (x1, x2,· · · , xl, y1,· · · , yl) correspond à :
NrdAK(c0+ 0) = NrdAK(c0)
Or NrdAK(c0)6= 0 puisque c0∈ G, ce qui est absurde puisque P = 0. On en déduit qu’il existe
c∈ AK tel que b = c + gσ0.σ0(c)∈ G. Par suite ϕ est un 1-cobord et on a bien le résultat.
A.3
Résultat de multiplicité 1.
Théorème A.3.0.15. La paire (G, H) est une paire de Gelfand-Kazhdan.
Démonstration. Pour montrer ce résultat, bien connu dans le cas déployé, nous allons utiliser le théorème A.1.0.8 en adaptant la preuve de [Ser] à notre contexte.
1. Par définition on a :
G = G(F) = H(K⊗FF)≃ H(K) = (Mm(D) ⊗FK)×≃ (Mm(D ⊗FK))×
De plus, on sait qu’il existe une K-algèbre à division centrale ∆ telle que : Mm(D ⊗FK)≃ Mµ(∆)
Donc G≃ GLµ(∆). On a également :
H = H(F) = (A⊗FF)×≃ A×
d’où H ≃ GLm(D). On fixe σ un générateur du groupe de Galois Gal(K/F). Alors σ agit
naturellement sur les coefficients de Mm(D ⊗FK) :
σ.(d⊗ k) = d ⊗ σ(k)
On notera θ l’action de σ sur Mm(D ⊗FK) et donc sur G. On remarque en particulier
que θ est une involution et que H est l’ensemble des points fixes de G sous l’action de θ. On rappelle que l’on a un ismorphisme de F-algèbres (cf. [Bour2], chapitre 5 (Corps commutatifs), paragraphe 10 (Extensions galoisiennes), partie 4 (Descente galoisienne), Proposition 8 et remarque 1) :
On a H1= H(F) = (Mm(D) ⊗FF)× = (Mm(D ⊗FF))×. Or on sait il existe une extension
F⊆ L ⊆ F telle que :
D ⊗FL≃ Md(L)
(on peut prendre pour L une extension non ramifiée de degré d de F). Par conséquent D ⊗FF ≃ Md(F) d’où H1 ≃ (Mm(Md(F)))×. Par suite, H1 ≃ GLn(F). En utilisant l’iso-
morphisme α, on remarque de plus que :
G1= G(F) = H(K⊗FF) = (A⊗F(K⊗FF))×
≃ (A ⊗F(F⊕ F))×≃ ((A ⊗FF)⊕ (A ⊗FF))×≃ (Mn(F)× Mn(F))×
≃ GLn(F)× GLn(F)
On remarque également que :
G1≃ (Mm(D ⊗FF)⊗FK)×≃ GLn(K⊗FF)
On a donc G1≃ H1× H1 avec :
e
α : G1→ H1× H1, [xi,j⊗ yi,j]i,j7→ ([σ(xi,j)yi,j]i,j, [xi,jyi,j]i,j)
où G1est identifié à GLn(K⊗FF), xi,j∈ K, yi,j∈ F. Notons encore θ l’action naturelle de
σ sur les coefficients de G1. On remarque que l’action sur G1 est donnée par :
θ.([xi,j⊗ yi,j]i,j) = [σ(xi,j)⊗ yi,j]i,j
et que :
e
α([σ(xi,j)⊗ yi,j]i,j) = ([xi,jyi,j]i,j, [σ(xi,j)yi,j]i,j)
On en déduit que l’action de σ sur H1× H1 correspondante (encore notée θ), correspond
à la permutation des coordonnées. On va désormais considérer deux actions. L’une de H1× H1 sur G1: h1, h2∈ H1, g∈ G1, (h1, h2).g = h1gh−12 L’autre de H× H sur G : h1, h2∈ H, g ∈ G, (h1, h2).g = h1gh−12 On notera également : i : G1→ G1, g7→ θ(g)−1
(et on notera de même i : G→ G, g 7→ θ(g)−1).
2. D’après ce qui précède, i est une anti-involution continue et i(H) = H.
3. D’après [Bor], chapitre II, paragraphe 6, proposition 6.7, puisque F est de caractéristique nulle, pour tout x dans GLn(F), l’application :
χx: H1× H1→ H1× H1.x
est submersive. On en déduit que (G, H× H) est une paire régulière.
4. Puisque i est une anti-involution, i est d’ordre 2. Ainsi, pour tout x dans G, i fixe toute mesure positive µxsur H× H.x qui soit H × H-invariante.
5. Montrons que i fixe les H1× H1-orbites de G1.
On peut tout d’abord remarquer que H1est l’ensemble des points fixes de G1 sous l’action
de θ, donc pour tout h∈ H1, on a i(h) = h−1. De plus, on a l’injection de H1dans G1par
injection diagonale :
H1→ G1≃ H1× H1, x7→ (x, x)
On remarque que pour tout g∈ G1 et tous h1, h2∈ H1, on a :
i((h1, h2).g) = i(h1gh−12 ) = i(h−12 )i(g)i(h1) = h2i(g)h−11
Il nous suffit donc de montrer que g et i(g) sont dans la même H1× H1-orbite. Grâce à
l’application eα définie auparavant, on a une bijection entre G1 et H1× H1. On peut alors
voir l’action de H1× H1 sur G1 comme une action de H1× H1 sur lui même :
(h1, h2).(x1, x2) = (h1x1h−12 , h1x2h−12 )
On notera (H1× H1/∼) ses orbites. D’après le calcul précédent, l’application i permet de
définir une application :
j : (H1× H1/∼) → (H1× H1/∼), g = (x1, x2)7→ i(g) = (x−12 , x−11 )
(car l’action de θ sur H1× H1est la permutation des coordonnées donc θ(x1, x2) = (x2, x1)
et i(x1, x2) = (θ(x1, x2))−1 = (x−12 , x−11 )). Notre objectif est donc de montrer que j est
l’application identité.
On définit l’application ϕ : H1× H1 → H1, (a, b) 7→ ab−1. Cette application va nous
permettre d’identifier les H1× H1-orbites de G1aux classes de similitudes de H1. En effet,
on a :
ϕ((h1, h2).(x1, x2)) = ϕ((h1x1h−12 , h1x2h−12 )) = h1(x1x−12 )h1−1= h1ϕ(x1, x2)h−11
Ainsi, ϕ nous permet donc de définir une application :
η : (H1× H1/∼) → Ad(H1)\H1, (x1, x2)7→ Ad(H1).(x1x−12 )
où Ad(H1)\H1 désigne les classes de similitudes de H1. On vérifie rapidement que η est
une bijection. L’application η est clairement surjective puisque pour tout x∈ H1, on a :
Ad(H1).x = η((x, 1))
Pour l’injectivité, supposons que η((x1, x2) = η((y1, y2)). Il existe alors h1, h3 ∈ H1 tels
que : h1x1x−12 h−11 = h3y1y−12 h−13 Posons h2= h1x2 et h4= h3y2, on a alors : h1x1h−12 = h3y1h−14 et h1x2h−12 = 1 = h3y2h−14
Donc (x1, x2) = (y1, y2) et par suite η est injective.
On définit l’application ζ : Ad(H1)\H1→ Ad(H1)\H1 par :
Montrer que j est l’identité revient à montrer que ζ est l’identité. Or pour tout h∈ H1 il
existe x1, x2∈ H1 tels que Ad(H1).h = Ad(H1).(x1x−12 ) et :
ζ(Ad(H1).(x1x−12 )) = ζ◦ η((x1, x2)) = η◦ j((x1, x2)) = Ad(H1).(x−12 x1)
Comme x1x−12 = x2(x−12 x1)x2−1, x1x−12 et x−12 x1 sont H1-conjugués et par conséquent ζ
est l’application identité. On en déduit que i fixe bien les H1× H1-orbites de G1.
6. Montrons que i fixe les H× H-orbites de G. On pose :
S ={g ∈ G : i(g) = g} = {g ∈ G : θ(g) = g−1}
Soit ψ0 : G → G, g 7→ gi(g). On vérifie facilement (i étant une anti-involution) que pour
tout g dans G, ψ0(g)∈ S. On commence par remarquer que ψ0 est constante modulo H.
En effet, si g∈ G et h ∈ H :
ψ0(gh) = ghi(h)i(g) = ghh−1i(g) = ψ0(g)
On peut ainsi considérer l’application suivante, qui est bien définie : ψ1: G/H → S, gH 7→ gi(g)
Nous allons vérifier que ψ1 est surjective et pour cela nous allons utiliser le théorème de
Hilbert 90 généralisé. En utilisant les notations du théorème, on a Γ ={Id, σ} et : H1(Γ, G) ={1}
Soit s∈ S, alors sθ(s) = 1 = ssσ. On définit l’application :
ϕ : Γ→ G, σ 7→ s, Id 7→ 1 On vérifie facilement que ϕ est un 1-cocycle :
ϕ(σId) = s = ϕ(σ)σ(ϕ(Id)) ϕ(σ2) = 1 = ssσ= ϕ(σ)σ(ϕ(σ))
D’après le théorème de Hilbert 90 généralisé, ϕ est un 1-cobord. Il existe donc g∈ G tel que, pour tout τ dans Γ, ϕ(τ ) = gτ (g)−1. En particulier, pour τ = σ, on a :
ϕ(σ) = gσ(g)−1⇔ s = gi(g) = ψ1(g)
Donc ψ1est bien surjective. On a donc ψ1: G/H ։ S. On remarque de plus que pour tout
g∈ G et tout h ∈ H, on a :
ψ1(hg) = hgi(g)i(h) = h(ψ1(g))h−1 = Ad(h).ψ1(g)
L’application suivante est donc bien définie :
ξ : H\G/H → Ad(H)\S, HgH 7→ Ad(H).(gi(g))
(où Ad(H)\S désigne les classes de H-conjugaison de S). Par surjectivité de ψ1, ξ est
clairement surjective. Montrons qu’elle est injective. Soient g1, g2∈ G tels que ξ(Hg1H) =
ξ(Hg2H), alors :
Il existe donc h∈ H tel que :
g1i(g1) = hg2i(g2)h−1= (hg2h−1)(i(hg2h−1))
d’où (hg2h−1)−1g1= i(g−11 (hg2h−1)). Posons x = g−11 (hg2h−1), alors i(x) = θ(x)−1= x−1
donc x = θ(x) et x∈ H. Par suite g−11 (hg2h−1)∈ H et hg2h−1 ∈ g1H donc Hg1H = Hg2H.
L’application ξ est donc bien injective. On remarque que : i(h1gh2) = h−12 i(g)h−11
pour tous h1, h2 dans H et tout g dans G. L’application suivante est donc bien définie :
j : H\G/H → H\G/H, HgH 7→ i(HgH) = Hi(g)H
Montrons que l’application j est l’identité. L’application ξ étant bijective, on peut définir : Λ = ξ◦ j ◦ ξ−1 : Ad(H)\S → Ad(H)\S
Pour montrer que j est l’identité, il suffit de montrer que Λ est l’identité. Or on remarque que pour tout s∈ S il existe g ∈ G tel que s = gi(g) et :
Λ(Ad(H).s) = Λ(ξ(HgH)) = ξ◦ j(HgH) = ξ(Hi(g)H) = Ad(H).(i(g)g) On a donc :
Λ : Ad(H)\S → Ad(H)\S, Ad(H).(gi(g)) 7→ Ad(H).(i(g)g)
Il faudrait montrer que pour tout g∈ G, gi(g) et i(g)g sont conjugués dans H. Or i(g)g = g−1(gi(g))g donc ces deux éléments sont conjugués dans G.
Pour montrer notre résultat, il suffit de vérifier que deux éléments de S conjugués dans G sont conjugués dans H. Soient s1et s2∈ S tels qu’il existe g ∈ G tel que :
s1= g−1s2g⇒ gs1= s2g
On considère l’injection :
K֒→ AK, λ7→ 1 ⊗ λ
AK étant une K-algèbre centrale simple, K× est dans le centre de AK.
Comme gs1= s2g, on a (λg)s1= s2(λg) pour tout λ∈ K×. Soit λ dans K×. On applique
θ à l’égalité précédente :
θ(λg)s−11 = s−12 θ(λg) donc θ(λg)s1= s2θ(λg)
On en déduit que pour tout λ∈ K× :
(λg + θ(λg))s1= s2(λg + θ(λg))
Comme λg + θ(λg) est invariant sous l’action de θ, on a : λg + θ(λg)∈ Mm(D)
Il nous suffit donc de trouver λ∈ K× tel que λg + θ(λg) soit inversible. Or :
λg + θ(λg) = λσθ(g)(g−1θ(g) + λ λσId)
Comme λσθ(g) est inversible, il suffit de trouver λ
∈ K× tel que g−1θ(g) + λ
λσId soit
inversible. On fixe L/K une extension telle que AK se déploie sur L :
AK⊗KL≃ Mp(L)
Alors AK֒→ Mp(L) et pour tout x∈ AK:
NrdAK(x) = detMp(L)(x) et x∈ A × K ⇔ detMp(L)(x)6= 0 Soit λ∈ K×, alors : NrdAK(g−1θ(g) + λ λσId) = detMp(L)(g−1θ(g) + λ λσId) = χg−1θ(g)(− λ λσ) Donc g−1θ(g) + λ
λσId est inversible si et seulement si −λλσ n’est pas dans le spectre de
g−1θ(g). Par théorème de Hilbert 90, on a :
ker(NK/F) ={ λ
λσ : λ∈ K×}
Il nous suffit donc de montrer que ker(NK/F) est infini. On a le morphisme de groupes :
K×→ ker(NK/F), λ7→ λ λσ
qui est surjectif et de noyau F×. On a ainsi l’identification :
ker(NK/F)≃ K×/F×
On vérifie facilement que K×/F× est infini en l’identifiant à P1(F), l’ensemble des droites
de F2. On en déduit le résultat, c’est-à-dire que deux éléments de S conjugués dans G sont
conjugués dans H.
D’après le théorème A.1.0.8, i fixe toute distribution bi-H-invariante sur G. Par conséquent, (G, H) est bien une paire de Gelfand-Kazhdan, et donc une paire de Gelfand.
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Résumé
Soit K/F une extension quadratique modérément ramifiée de corps locaux non archimédiens. Soit GLm(D) une forme intérieure de GLn(F) et GLµ(∆) = (Mm(D) ⊗FK)×. Alors GLµ(∆) est
une forme intérieure de GLn(K), les quotients GLµ(∆)/GLm(D) et GLn(K)/GLn(F) sont des
espaces symétriques. En utilisant la paramétrisation de Silberger et Zink, nous déterminons des critères de GLm(D)-distinction pour les cuspidales de niveau 0 de GLµ(∆) qui sont l’image d’une
cuspidale par la correspondance de Jacquet-Langlands, puis nous prouvons qu’une cuspidale de niveau 0 de GLn(K) est GLn(F)-distinguée si et seulement si son image par la correspondance
de Jacquet-Langlands est GLm(D)-distinguée. Enfin, dans le cas particulier où µ = 2 et m = 1,
nous regardons le cas des séries discrètes de niveau 0 non cuspidales, en utilisant le système de coefficients sur l’immeuble associé à la représentation, donné par Schneider et Stuhler.
Mots clés : Représentations membres de la série discrète de niveau 0, corres- pondance de Jacquet-Langlands, paire admissible modérée, critères de distinction, immeuble de Bruhat-Tits, système de coefficients.
Jacquet-Langlands correspondence and distinguishness. Abstract
Let K/F be a tamely ramified quadratic extension of non-archimedean locally compact fields. Let GLm(D) be an inner form of GLn(F) and GLµ(∆) = (Mm(D) ⊗FK)×. Then GLµ(∆) is
an inner form of GLn(K), the quotients GLµ(∆)/GLm(D) and GLn(K)/GLn(F) are symmetric
spaces. Using the parametrization of Silberger and Zink, we determine conditions of GLm(D)-
distinction for level zero cuspidal representations of GLµ(∆) which are the image of a cuspidal
level zero representation of GLn(K) by the Jacquet-Langlands correspondence. We also show
that a level zero cuspidal representation of GLn(K) is GLn(F)-distinguished if and only if its
image by the Jacquet-Langlands correspondence is GLm(D)-distinguished. Then, we treat the
case of level zero non supercuspidal representations when µ = 2 and m = 1 using the coefficient system of the Bruhat-Tits building associated to the representation by Schneider and Stuhler.
Keywords : Level 0 discrete series representations, Jacquet-Langlands corres- pondence, tame admissible pair, distinguishness, Bruhat-Tits building, coefficient system.