Conclusion

Grâce aux résultats des théorèmes 1.3.1.8, 1.4.2.9, 1.4.3.15 et 1.3.2.17, on a les conditions nécessaires et suffisantes de GLm(D)-distinction suivantes pour les représentations cuspidales de

niveau 0 de GLµ(∆), image d’une cuspidale de niveau 0 par Jacquet-Langlands :

Théorème 1.5.0.16. Soit π ∈ R2

0(GLµ(∆)) une cuspidale de niveau 0, image d’une cuspidale

de niveau 0 de GLn(K) par la correspondance de Jacquet-Langlands, et (Kn/Kδ, χ) la paire ad-

missible modérée associée à π (en particulier χ est un caractère modéré de K×

n, et on note χ la

restriction de χ à _O×_Kn vue comme caractère de k×_K,n).

∗ Si K/F est non ramifiée et n est pair, la représentation π n’est pas GLm(D)-distinguée.

∗ Si K/F est totalement ramifiée et n est impair, la représentation π est GLm(D)-distinguée

si et seulement si n = 1 et π est le caractère trivial de K×_.

∗ Si K/F est non ramifiée et n est impair. Soit τ un générateur du groupe de Galois Gal(kK,n/kD).

Alors, la représentation π est GLm(D)-distinguée si et seulement si χ est trivial sur F× et

s’il existe α dans le groupe de Galois Gal(kK,n/k∆) tel que χ−1◦ α = χ ◦ τ.

∗ Si K/F est totalement ramifiée et n est pair. Soit l0 le corps résiduel de Kn/2. On fixe ̟K

telle que ̟2

K= ̟Fet η dans k_K,n× \l×0 tel que η2∈ l×0. Alors, la représentation π est GLm(D)-

distinguée si et seulement si χ est trivial sur F×_{, χ est trivial sur l}×

0 et χ(̟K)χ(η) =−1.

En utilisant ces conditions, on montre que la correspondance de Jacquet-Langlands préserve la distinction pour les cuspidales de niveau 0 au sens suivant :

Théorème 1.5.0.17. Si ρ ∈ R2

0(GLn(K)) est une cuspidale (de niveau 0), alors ρ est GLn(F)-

distinguée si et seulement si JL(ρ) est GLm(D)-distinguée.

Démonstration. Soit ρ _{∈ R}2

0(GLn(K)) une cuspidale de niveau 0 de paire admissible modérée

associée (Kn, χ). Soit π = JL(ρ). On a vu en 1.1.0.5 que π est une représentation cuspidale (de

niveau 0) de GLµ(∆) et que la paire admissible modérée associée à π est aussi χ.

∗ Supposons que l’extension K/F est non ramifiée. D’après le théorème 1.3.1.8 (cas d = 1), on sait que ρ est GLn(F)-distinguée si et seulement si n est impair, χ est trivial sur

F× et χ−1 ≃kK χ◦ τ où hτi = Gal(kK,n/kF). De même, en utilisant les théorèmes 1.3.1.8

et 1.4.2.9, on sait que π est GLm(D)-distinguée si et seulement si n est impair (donc d est

impair), χ est trivial sur F× _{et χ}−1 _≃

k∆ χ◦ eτ où heτi = Gal(kK,n/kD). Il nous suffit donc

de regarder le cas où d et n sont impairs. Dans ce cas, on a le diagramme d’extensions de corps fini suivant :

kK,n= k∆,m k∆ m kK d _ssss s s s s s s s 2 K K K K K K K K K K K kD 2 KK_KK KK_KK KK_K d ssss ssss sss kF

Rappelons que χ est un caractère kK-régulier.

Supposons tout d’abord que ρ est GLn(F)-distinguée, alors n est impair, χ est trivial sur

F× et χ−1 _≃

kK χ◦ τ. Montrons que χ−1≃k∆ χ◦ eτ. On a hτi = Gal(kK,n/kF) donchτ

2

i = Gal(kK,n/kK). Il existe k dans Z tel que χ−1 = χ◦ τ ◦ τ2k = χ◦ τd◦ α avec α = τ2k+1−d

et τd _{= eτ . La restriction de α à k}

∆, α|k∆, appartient au groupe de Galois Gal(k∆/kK) (car

2k+1_{−d est pair). Fixons ϕ un générateur de Gal(k}∆/kK) et eϕ un élément de Gal(kK,n/kK)

qui prolonge ϕ. Il existe alors r_{∈ Z et γ dans Gal(k}K,n/k∆) tel que α = eϕr◦ γ. Ainsi :

χ−1= χ◦ δ, δ = eτ ◦ eϕr◦ γ On en déduit que χ◦ δ2_{= χ. Comme δ}2 _{= eτ}2_{◦ eϕ}2r_{◦ γ}2 _{∈ Gal(k}

K,n/kK), la kK-régularité

de χ impose que δ2_{= Id. Par conséquent eϕ}2r_{= eτ}−2_{◦ γ}−2_{. Puisqueheτ}2_{i = Gal(k}

K,n/k∆),

la restriction de eτ−2_{◦ γ}−2 _{à k}

∆ est l’identité. On en déduit que eϕ2r_|k∆ = ϕ2r = Id. Or ϕ

est d’ordre d donc d divise 2r, et comme d est impair, d divise r. Ainsi ϕr_{= Id et on peut}

choisir eϕ = Id. On déduit de tout ceci que :

χ−1= χ_{◦ eτ ◦ γ ≃}k∆ χ◦ eτ

Finalement, si ρ est GLn(F)-distinguée alors π est GLm(D)-distinguée.

Réciproquement, supposons que π est GLm(D)-distinguée. Alors n est impair (donc d est

impair), χ est trivial sur F× _{et χ}−1_≃

k∆ χ◦ eτ. Montrons que χ−1≃kK χ◦ τ.

Comme précédemment, on remarque que eτ = τd _{et que}

hτ2d i = Gal(kK,n/k∆). Il existe k∈ Z tel que : χ−1= χ◦ τd ◦ τ2dk_{= χ} ◦ τ ◦ τd−1+2dk On a τ2dk_{∈ Gal(k}

K,n/kK) et, puisque d− 1 est pair, il n’est pas premier avec 2n, l’ordre de

Gal(kK,n/kF), donc engendre un sous-groupe de Gal(kK,n/kF) contenu dans Gal(kK,n/kK).

Par suite, τd−1+2dk ∈ Gal(kK,n/kK) et :

χ−1_≃

kK χ◦ τ

∗ Supposons que l’extension K/F est totalement ramifiée, modérément ramifiée. On a directement le résultat en utilisant les théorèmes 1.4.3.15 et 1.3.2.17.

Cas de certaines séries discrètes

non cuspidales de niveau 0

Notation 2.0.0.18. Dans tout ce chapitre, on fixe K/F une extension quadratique séparable

modérément ramifiée de corps locaux non archimédiens. On fixe D une F-algèbre à division centrale d’indice d. On suppose que d est pair et on note ∆ le commutant de K dans_{D. Alors ∆} est une K-algèbre à division centrale d’indice δ = d/2 et on a un isomorphisme de K-algèbres :

D ⊗FK→ End∆(D) ≃ M2(∆), x⊗ k 7→ [fx⊗k: y7→ xyk]

Ainsi _D× _{est un sous-groupe de G = (End}

∆(D))×. On notera XF (resp. XK) l’immeuble de

Bruhat-Tits de_D× _{(resp. G) et j : X}

F֒→ XK l’injection naturelle entre ces immeubles.

On notera q le cardinal de kFet Q celui de k∆. On fixe (π, V ) une représentation lisse irréductible

de G, membre de la série discrète, de niveau 0, non cuspidale.

2.1

Orbites des sommets de

X

K

sous l’action de

D

×

.

Notation 2.1.0.19. On notera X0 l’ensemble des sommets de XK. Si s est un sommet de XK,

on notera_Asl’ordre héréditaire associé,Us=A×s (sous-groupe parahorique de G),Psle radical

de Jacobson associé à_As etUs1= 1 +Ps.

On fixe (e1, e2) une ∆-base de D. On note AK l’appartement standard de XK et S0 l’ensemble

des sommets de AK :

S0={sk = [e1O∆⊕ e2P∆k] : k∈ Z}

Remarque 2.1.0.20. Il est clair que D× _{agit transitivement surD}×_{, donc agit transitivement}

sur les vecteurs non nuls du ∆-espace vectoriel (à droite) de dimension 2 :_D.

2.1.1

Cas où l’extension K/F est non ramifiée.

On suppose dans cette partie que l’extension K/F est non ramifiée. D’après les calculs précé- dents sur les injections d’immeubles en 1.4.2.6, on a le résultat suivant :

Propriété 2.1.1.1. L’immeuble X_F deD× _{possède un seul sommet [O}

D] et on a :

j([OD]) = m0

où m0 est le milieu de l’ arête [s0, s1] dans l’immeuble XK.

On en déduit les_D×_{-orbites des sommets de X} K :

Proposition 2.1.1.2. Les D×_{-orbites des sommets de X}

K sont exactement les sphères de centre

m0 et de rayon k + 1/2 pour k∈ N.

Démonstration. La base (e1, e2) étant fixée, on identifie G à GL2(∆). On remarque que :

(̟2 D)δ = ̟dD= ̟F= ̟K= ̟∆δ Ainsi v∆(̟_D2) = v∆(̟∆) = 1 = v∆(t20) où : t0=  0 1 ̟∆ 0 

Il existe donc u dans GL2(O∆) (donc u fixe s0) tel que ̟D = t0u. Comme t0 échange s0 et s1,

on a :

̟_D.s0= t0.(u.s0) = t0.s0= s1

or ̟_D fixe m0, donc ̟D échange les sommets s0 et s1. De plus,O×_D ⊆ GL2(O∆) fixe s0 et m0,

donc fixe point par point l’arête [s0, s1]. Enfin, puisque v∆(̟_D2) = v∆(̟∆), ̟_D2 fixe s0, et donc

fixe point par point l’arête [s0, s1].

∗ Soit s un sommet de XK et x∈ D×, alors :

d(x.s, XF) = d(x.s, m0) = d(s, x−1.m0) = d(s, m0)

On en déduit que la_D×_{-orbite d’un sommet s de X}

Kest contenue dans la sphère de centre

m0 et de rayon d(s, m0).

∗ Soit s un sommet de XK. On distingue deux cas :

a) Si d(s0, s) = d(s1, s) + 1.

Soit sk dans l’appartement AK tel que s1∈ [s0, sk] et :

d(m0, sk) = d(s, m0)

Alors k > 0, d(m0, s) = k− 1/2 et sk = [e1O∆⊕ e2P∆k]. Les sommets s0 et s sont dans

un même appartement A. Il existe donc (f1, f2), une ∆-base deD telle que :

s0= [f1O∆⊕ f2O∆], s = [f1O∆⊕ f2P∆k]

Ainsi :

s0= [e1O∆⊕ e2O∆] = [f1O∆⊕ f2O∆]

Quitte à remplacer fi par fi̟∆l , on peut supposer que :

e1O∆⊕ e2O∆= f1O∆⊕ f2O∆

Soit d dans_D×_{tel que d.e}

1= f1. On sait que d s’écrit sous la forme d = ̟m_Dx où x∈ O_D×.

a.1) Si m est pair.

Alors, puisque v∆(̟_D2) = 1, on a :

d = ̟m_Dx = ̟m/2_∆ x′, x′ ∈ GL2(O∆)

On en déduit que d.s0= s0donc :

et donc d.(e1O∆+ e2O∆) = f1O∆+ f2O∆. De plus, puisqueP∆k ⊆ O∆ :

d.sk = [d.(e1O∆+ e2P∆k)] = [d.(e1O∆+ e1P∆k + e2P∆k)]

= [d.(e1O∆) + d.(e1O∆+ e2O∆)̟k∆] = [f1O∆+ (f1O∆+ f2O∆)̟k∆]

= [f1O∆+ f1P∆k + f2P∆k] = [f1O∆+ f2P∆k] = s

Ainsi le sommet s est dans la même_D×_{-orbite que s}

k.

a.2) Montrons qu’il est impossible que m soit impair.

Raisonnons par l’absurde. Supposons que m est impair. Alors d échange les sommets s0et s1, ainsi d.s1= s0 et : d.(e1O∆+ e2P∆) = f1O∆+ d.e2P∆∈ s0= [f1O∆+ f2O∆] On en déduit que : d.(e1O∆+ e2P∆) = f1O∆+ f2O∆ PuisquePk−1 ∆ ⊆ O∆, on a : d.sk = [d.(e1O∆+ e1P_∆k−1+ e2P∆k)] = [f1O∆+ d.(e1O∆+ e2P∆)̟_∆k−1] = [f1O∆+ (f1O∆+ f2O∆)̟∆k−1] = [f1O∆+ f1P∆k−1+ f2P∆k−1] = [f1O∆+ f2P∆k−1] Notons es = [f1O∆+ f2P∆k−1]. Alors : d(es, s0) = d(d.sk, s0) = d(sk, d−1.s0) = d(sk, s1) = k− 1

et d(es, m0) = d(sk, m0) = k− 1/2. De plus, par hypothèse, d(s1, s) = k− 1. On a donc

deux chemins géodésiques reliant s0 à s :

[s0, s1,· · · , s] et [s0,· · · , es, s]

Ces deux chemins sont égaux. Par suite, d(s1, es) = k−2 et d(es, m0) = k−2+12 = k−3/2.

D’où une contradiction. b) Si d(s0, s) = d(s1, s)− 1.

Comme précédemment, on choisit sk dans l’appartement AK tel que s0 ∈ [sk, s1] et

d(m0, s) = d(m0, sk). Ainsi k≤ 0, d(m0, s) =−k + 1/2 et :

sk = [e1O∆+ e2P∆k]

Il existe A un appartement contenant s et s0. Soit (f1, f2) une ∆-base deD telle que :

s0= [f1O∆+ f2O∆], s = [f1O∆+ f2P∆k]

On suppose à nouveau que :

f1O∆+ f2O∆= e1O∆+ e2O∆

Soit d dans_D× _{tel que d.e}

b.1) Si m est pair.

Alors, comme précédemment, on vérifie que :

d.(e1O∆+ e2O∆) = f1O∆+ f2O∆

Ainsi, en utilisant le fait queO∆⊆ P_∆k, on a :

d.sk = [d.(e1O∆+ e2P∆k)] = [d.(e1O∆+ e2O∆+ e2P∆k)]

= [d.(e1O∆+ e2O∆) + d.e2P∆k] = [f1O∆+ f2O∆+ f2P∆k]

= [f1O∆+ f2P∆k] = s

Ainsi le sommet s est dans la même_D×_{-orbite que s}

k. b.2) Si m est impair. Alors d.s1= s0 d’où : d.(e1O∆+ e2P∆) = d.e1O∆+ f2P∆∈ s0= [f1O∆+ f2O∆] On en déduit que : d.(e1O∆+ e2P∆) = f1O∆+ f2O∆ Puisque k_{≤ 0, on a P}∆⊆ O∆⊆ P∆k, d’où : d.sk = [d.(e1O∆+ e2P∆k)] = [d.(e1O∆+ e2P∆+ e2P∆k)] = [d.(e1O∆+ e2P∆) + d.e2P∆k] = [f1O∆+ f2O∆+ f2P∆k] = [f1O∆+ f2P∆k] = s

Ainsi s est dans laD×_{-orbite de sk.}

Soit s est un sommet de XK qui appartient à la sphère de centre m0 et de rayon k− 1/2

(où k_{∈ N}×_{). Alors, d’après ce qui précède, s et s}

k sont dans la mêmeD×-orbite. Par suite,

deux sommets de X_K appartenant à la sphère de centre m0et de rayon k− 1/2 sont dans

la même _D×_{-orbite. Ainsi, chaque D}×_{-orbite d’un sommet de X}

K contient une sphère de

centre m0.



2.1.2

Cas où l’extension K/F est totalement ramifiée, modérément ra-

mifiée.

On suppose ici que l’extension K/F est totalement ramifiée, modérément ramifiée.

En utilisant les calculs sur les injections d’immeubles de 1.4.3.4, on obtient le résultat suivant :

Propriété 2.1.2.1. On a :

j([OD]) = s0

On en déduit lesD×_{-orbites des sommets de X} K :

Proposition 2.1.2.2. Les D×_{-orbites des sommets de X}

K sont exactement les sphères de centre

Démonstration. Rappelons que l’on a fixé (e1, e2) une ∆-base deD telle que : s0= [e1O∆+ e2O∆] On remarque que_D×_=h̟ DiOD×⊆ Stab(s0), i.e : ∀d ∈ D×_{, d.s} 0= s0

∗ Soit s un sommet de XK. Soit x dansD×. Alors :

d(x.s, X_F) = d(x.s, s0) = d(s, x−1.s0) = d(s, s0)

On en déduit que la _D×_{-orbite d’un sommet de X}

K est contenue dans une sphère de

centre s0.

∗ Soit s un sommet de XK distinct de s0. On distingue deux cas :

a) Si d(s, s0) = d(s, s1) + 1.

Soit sk dans AK tel que s1∈ [s0, sk] (donc k > 0) et d(s, s0) = d(sk, s0) = k. Alors :

sk = [e1O∆+ e2P∆k]

Les sommets s et s0sont contenus dans un même appartement A. Soit (f1, f2) une ∆-base

de_D× _{telle que :}

s0= [f1O∆+ f2O∆], s = [f1O∆+ f2P∆k]

Comme précédemment, on peut supposer que :

e1O∆+ e2O∆= f1O∆+ f2O∆

Soit d dansD× _{tel que d.e1= f1. Comme d∈ D}×_{, d.s0= s0, donc :}

d.(e1O∆+ e2O∆) = f1O∆+ d.e2O∆∈ [f1O∆+ f2O∆]

Par conséquent :

d.(e1O∆+ e2O∆) = f1O∆+ f2O∆

Ainsi, en utilisant le fait que_Pk

∆⊆ O∆, on a :

d.sk = [d.(e1O∆+ e1P∆k + e2P∆k)] = [d.e1O∆+ d.(e1O∆+ e2O∆)̟k∆]

= [f1O∆+ f1P∆k + f2P∆k] = s

Ainsi le sommet s est dans la mêmeD×_{-orbite que sk pour k = d(s0, s).}

b) Si d(s, s0) = d(s, s1)− 1.

Soit k = d(s0, s) alors k > 0. On remarque que d(s, s0) = d(s−k, s0) et s0 ∈ [s−k, s1].

On a :

s_−k= [e1O∆+ e2P∆−k]

Soit A un appartement contenant s0et s. Soit (f1, f2) une ∆-base deD× telle que :

s0= [f1O∆+ f2O∆], s = [f1O∆+ f2P∆−k]

Comme précédemment, on peut supposer que :

Soit d dans_D× _{tel que d.e}

2= f2. Comme d∈ D×, d.s0= s0. Par un calcul analogue au

cas précédent, on vérifie que :

d.(e1O∆+ e2O∆) = f1O∆+ f2O∆

En utilisant que_O∆⊆ P∆−k, on a :

d.s−k = [d.(e1O∆+ e2O∆+ e2P_∆−k)] = [d.(e1O∆+ e2O∆) + d.e2P_∆−k]

= [f1O∆+ f2O∆+ f2P∆−k] = s

Il nous reste à vérifier que s−ket sk sont dans la mêmeD×-orbite.

On remarque que :

s−k= [e1O∆+ e2P_∆−k] = [(e1P∆k + e2O∆)̟−k_∆ ] = [e1P∆k + e2O∆]

Soit d dans_D×_{tel que d.e}

1= e2. Alors d.s0= s0donc d.(e1O∆+e2O∆) = e2O∆+d.e2O∆

appartient à [e1O∆+ e2O∆]. On en déduit que :

d.(e1O∆+ e2O∆) = e1O∆+ e2O∆

De plus, on a :

d.sk = [d.(e1O∆+ e1P∆k + e2P∆k)] = [e2O∆+ d.(e1O∆+ e2O∆)̟∆k]

= [e2O∆+ e1P∆k + e2P∆k)] = [e1P∆k + e2O∆] = s−k

Ainsi le sommet s est dans la même_D×_{-orbite que s}

k pour k = d(s0, s).

On en déduit le résultat annoncé.

 Nous montrons par la suite que tous les sommets d’une même_D×_{-orbite sont en fait contenus}

dans la même_OD×-orbite :

Proposition 2.1.2.3. Les O×

D-orbites des sommets de XK sont aussi les sphères de centre s0 et

de rayon k, avec k dans N. Démonstration. On a :

OD= e1O∆+ e2O∆

Pour 1_{≤ i ≤ 2, comme e}i∈ OD, on a vD(ei)≥ 0. Si on suppose que vD(e1) > 0 et vD(e2) > 0,

alors, pour tout (λ1, λ2)∈ O∆× O∆\ {(0, 0)}, on a e1λ1+ e2λ2∈ O/ _D×.

On peut donc supposer que v_D(e1) = 0. Puisque l’extension K/F est totalement ramifiée, modé-

rément ramifiée, on peut supposer que ̟2

K = ̟F et donc ̟_Dd = ̟F= ̟2K= ̟2δ∆ (avec 2δ = d).

On en déduit que ̟∆∈ ̟DOD×. Par suite,OD/OD̟∆est isomorphe au corps résiduel kD deD

et est donc un k∆-espace vectoriel de dimension 2. Or, si vD(e2) > 0, on a :

OD/OD̟∆= (e1O∆+ e2O∆)/(OD̟∆) = e1k∆

est un k∆-espace vectoriel de dimension 1. D’où une contradiction. On en déduit que vD(e1) = vD(e2) = 0.

Ensuite, on reprend la démonstration précédente : on fixe s un sommet de XK et l’on note k la

distance de s à s0. On fixe (f1, f2) une ∆-base deD telle que :

et on peut supposer que :

OD= e1O∆+ e2O∆= f1O∆+ f2O∆

Alors, il existe d dans_D× _{tel que d.s = s}

k. D’après la démonstration précédente, un tel élément

d s’écrit comme produit d’éléments dr tels qu’il existe l1 dans {e1, e2} et l2 dans{e1, e2, f1, f2}

tel que dr.l1= l2. Comme e1, e2, f1, f2∈ O×_D, on a :

dr.l1= l2⇒ vD(l2) = 0 = vD(dr.l1) = vD(dr) + vD(l1) = vD(dr)

On en déduit que dr∈ O×_D et donc d∈ O×_D.



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