4.3 Schéma orienté pour le calcul du gradient
4.3.6 Remarques
Même si l’ordre 4 ne semble atteignable, pour le moment, que pour un type
particulier de fonction, on remarque une légère diminution de l’erreur sur
l’ap-proximation du gradient. Malgré cela, il serait intéressant d’étudier l’extension de
ce schéma pour l’approximation de la courbure et analyser sa precision en
fonc-tion de l’orientafonc-tion du gradient (voir la figure4.7) pour savoir elle présente moins
d’irrégularités que le schéma classique.
Nous projetons également d’étudier une variante de ce schéma utilisant une
base orientée non orthogonale.
4.4 Conclusion
Nous avons donc détaillé une méthodologie de discrétisation adaptée à notre
modèle, en particulier l’utilisation de schémas de transport de type WENO et
de procédure de correction de la fonction Level-Set afin de garantir ses bonnes
propriétés : distance à l’interface et conservation de la masse. La bonne prise en
compte du changement de masse est en effet cruciale dans notre phénomène. Dans
le chapitre suivant nous allons confronter nos résultats numériques à des solutions
analytiques, sur lesquelles nous allons tout d’abord nous arrêter.
Chapitre 5
Résultats et validation
numériques
Nous pouvons maintenant implémenter le code et analyser ses résultats.
5.1 Temps de vie théorique
Résumé. On se propose ici de simplifier l’effet Leidenfrost pour retrouver
certaines variables caractéristiques de ce phénomène : durée de vie de la goutte,
évolution de son volume et de la taille du film de vapeur, etc, l’idée étant de pouvoir
ensuite les comparer à des simulations numériques.
Notre point de départ est la formule (6.9), page 156 du livre de Brennen
([Brennen 05]) du temps de vie de la goutte, dont on corrigera certaines étapes
de calcul. Après quelques remarques sur le domaine de validité de ce modèle, on
notera que l’hypothèse d’incompressibilité dans le cas d’un écoulement de
Poi-seuille radial amène des absurdités (vitesse infinie, pression négative) qu’il est
possible de corriger en intégrant artificiellement le changement de phase par un
flux volumique bien choisi.
Enfin, on considérera un modèle (peut-être) plus réaliste d’un écoulement
in-compressible avec flux surfacique à l’interface liquide/vapeur dont on étudiera une
solution simple.
5.1.1 Introduction
5.1.1.1 Hypothèses
On suppose que la goutte est de forme hémisphérique de rayonR(t) et qu’elle
est en sustentation à une hauteur uniformeδ(t)au-dessus de la plaque chauffante.
La pression au niveau de la plaque, sous le bord de la goutte, est égale à pa. La
température de la goutte est supposée uniforme et égale àTsat(ce sera typiquement
la température d’ébullition du liquide à la pression pa) tandis que la plaque est
à la température Twall. On considère le cas axisymétrique, d’axe vertical passant
par le centre de la goutte et dont l’origine se situe sur la plaque ; on n’utilisera
donc le système de coordonnées cylindriques. On ne s’intéresse qu’au changement
de phase se produisant sous la goutte et on suppose que l’espace entre la goutte
et la plaque n’est constitué que de la vapeur provenant de la goutte. L’écoulement
de la vapeur sous la goutte est considéré de typePoiseuille radial. On note parρℓ
la densité du liquide considéré et par ρg la densité de sa vapeur. On les considère
constantes.
On s’intéresse au temps de vie tt(Twall, R(0))de la goutte et plus généralement
à l’évolution de son volumeV(t)et de son rayon R(t) au cours du temps.
Figure 5.1 – Modèle hémisphérique d’une goutte de liquide pour l’étude du
phé-nomène de Leidenfrost. c¥Brennen
5.1.1.2 Validité des hypothèses
Concernant la forme de la goutte, il faut s’intéresser au rapport entre
les forces gravitationnelles et la tension de surface, c’est à dire au nombre deBond
défini par
Bo= (ρℓ−ρg)gR2
oùg est l’accélération dûe à la gravité et χ la tension superficielle.
Un nombre de Bond trop grand signifie que l’effet de la tension de surface est
très faible devant la gravité et que la goutte aura probablement une forme plus plate
qu’une hémisphère ce qui peut induire des erreurs au niveau du calcul du volume
de la goutte (ou de la surface soumise au changement de phase). Au contraire, un
nombre de Bond trop faible signifie que la gravité devient négligeable devant la
tension de surface, ce qui implique que la forme de la goutte se rapprochera de
celle d’une sphère et non d’une hémisphère. À titre d’exemple, la figure 5.2 est la
photo d’une goutte d’environ 4mm de rayon. Le nombre de Bond correspondant
est ici d’environ670. Il semble raisonnable de considérer que sa forme est presque
hémisphérique.
Figure 5.2 – Photo d’une goutte d’eau d’environ 4mm de rayon sur une plaque
chauffante à plus de 200◦C. Le nombre de Bond correspondant est ici d’environ
670.
Le volume de la goutte, et donc son rayon, variant au cours du temps, cela
signifie que les formules du volume et du rayon de la goutte en fonction du temps
seront à considérer sur un intervalle de temps correspondant à un nombre deBond
raisonnable. En outre, le temps de vie calculé est à prendre avec des pincettes.
Le bas de la goutte est supposé plat. En réalité, une légère surélévation
de la goutte est présente sous la goutte. Le flux de chaleur subit par la goutte, et
donc le flux de masse à travers l’interface, ne sera alors plus uniforme (plus faible
au niveau du ménisque). Quid de la validité de l’écoulement dePoiseuille dans ce
cas là ?
L’écoulement est supposé de type Poiseuil le avec vitesse tangentielle
nulle de la vapeur au niveau de la goutte mais on peut imaginer, du fait de ce flux
de vapeur, qu’il y ait une circulation du liquide dans la goutte, suivant ce flux. On
reviendra aussi sur l’hypothèse d’incompressibilité et de Reynolds faible.
On suppose que la goutte est en sustentation mais si la température de
phase est trop faible, des instabilités de typeRayleigh-Taylor peuvent se produire
et mener au mouillage de la goutte, ce qui sort évidemment du cadre de ce
docu-ment. Le temps de vie de la goutte est donc à considérer pour une température de
la plaqueTwall suffisamment élevée.
Dans le cours de Delhaye sur les transferts de chaleur, on trouve une formule
(voir [Delhaye 90, (6) p. 5] donnant le flux de chaleur minimal nécessaire à la
stabilité d’une ébullition en film sur une plaque plane horizontale :
qmin = 0,09ρgL
A
gχ(ρℓ−ρg)
(ρℓ+ρg)2
B1
4
Dans le document
Modélisation et simulation de l'effet Leidenfrost
(Page 109-115)