Conclusion

Dans ce chapitre, après avoir rappelé les équations de Navier-Stokes dans un

cadre général, nous en avons déduit les équations sur les sauts des différentes

variables du modèle en présence d’une surface de discontinuité. Ces équations font

apparaître le flux de masse Φm à travers l’interface.

Cette surface représentant l’interface entre nos deux phases liquide et gazeuse

et puisqu’on a choisi d’utiliser des équations d’état séparées pour chaque phase (au

lieu d’une équation générale comme la loi de Van der Walls), nous avons modifié

en conséquences les équations de sauts pour prendre en compte les phénomènes

particuliers se produisant à l’interface :

– l’effet de la tension de surface dû à une différence, de chaque côté de

l’in-terface, des interactions entre molécules de notre fluide. On modélise cet

effet en ajoutant un terme source, proportionnel à la courbure de l’interface,

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0 1 2 3 4 5 6 Temps t [s]

Nombre d’itérations pour le couplage

Figure2.4 – Nombre moyen d’itérations nécessaires pour le couplage gaz/liquide,

pour t∈[0,0.44]

dans les équations de sauts correspondant à la conservation de la quantité

de mouvement et de l’énergie ;

– le changement de phase (vaporisation ou liquéfaction) se produisant à

l’inter-face. La température y étant à saturation, toute différence à l’interface, du

flux de chaleur entre la phase gazeuse et liquide, est absorbée par l’interface

(sous forme de chaleur latente) et se traduit par un changement de phase.

On modélise ce phénomène en faisant apparaître, dans l’équation du saut de

l’énergie, l’enthalpie du fluide dont le saut à travers l’interface est connu et

dépend de la température de saturation. Ce saut est appelé chaleur latente.

De ces équations de sauts, on a extrait un florilège de relations utiles entre

les sauts des différentes variables du système et on a adopté une simplification

courante de l’expression du flux de masse en fonction du saut du flux de chaleur

et de la chaleur latente.

Enfin, on a considéré le cas d’un film de liquide sur une couche de vapeur. Ce

cas est alors modélisable par un système unidimensionnel dont on a explicité les

équations. On a ensuite discrétisé ce problème et comparé avec succès les résultats

numériques avec une solution analytique d’un cas simplifié.

Chapitre 3

Modélisation de l’effet Leidenfrost

Dans le chapitre précédent, nous avons étudié un cas très particulier de

caléfac-tion pouvant se simplifier en un problème à une dimension. Nous allons maintenant

considérer un cas plus général en dimension trois : l’effet Leidenfrost appliqué à

une goutte d’eau.

Dans cette optique, nous devons modifier notre modèle pour prendre en

consi-dération les problématiques soulevées par la simulation numérique comme la

re-présentation et le suivi de l’interface liquide/vapeur.

3.1 Représentation des interfaces

En effet pour la caléfaction en film, grâce à l’hypothèse d’uniformité de la

couche vapeur, la connaissance de l’interface se réduit simplement à sa hauteur

au-dessus de la plaque chauffante. En l’absence de cette hypothèse, l’interface peut

prendre une forme quelconque et se pose alors la question de sa représentation.

Kim et Lowengrub, dans leur article [Kim 06], recensent les méthodes les plus

communes de suivi et de capture d’interface. On va brièvement en faire le tour

avant de se concentrer sur la méthode choisie dans notre modélisation.

3.1.1 Méthodes de suivi d’interface

Dans les méthodes de suivi d’interface, l’interface est définie par des marqueurs

Lagrangiens, c’est à dire advectés avec l’interface. Cette interface est reconstruite

explicitement à partir de ces marqueurs pour permettre le calcul des quantités

intéressantes comme la normale ou la courbure.

Dans cette catégorie, on pourrait citer la méthode d’intégrale de frontière

([Hou 01]) et la méthode de frontière immergée ([Peskin 02]). Cette description

ex-plicite est justement leur intérêt principal. En contre-partie et comme pour d’autres

méthodes à base de description Lagrangienne (méthode particulaire par exemple),

se pose le problème de la densité de ces marqueurs au fil du temps. En effet,

l’ad-vection de ces marqueurs va modifier leur répartition le long de l’interface, créant

ainsi des zones plus denses et d’autres moins denses où la précision de

représen-tation de l’interface va être modifiée. Il faut alors re-distribuer régulièrement ces

marqueurs en utilisant des méthodes appropriées (voir par exemple [Magni 11]).

De plus, le changement de topologie comme la rupture ou la coalescence d’une

même phase n’est pas nativement gérée par ces méthodes et nécessite l’ajout de

procédures spécifiques et compliquées.

3.1.2 Méthodes de capture d’interface

À contrario, il existe des méthodes où l’interface est décrite implicitement,

sou-vent par une ligne de niveau d’une fonction, et qui gèrent nativement le changement

de topologie.

Dans la méthode Volume-of-fluid (VOF, voir [Hirt 81]), cette fonction décrit

la fraction volumique d’une phase donnée dans chaque cellule de la discrétisation

du domaine. L’interface est alors reconstruite, advectée et la fraction volumique

recalculée.

Dans la méthode de champ de phase (voir [Anderson 98]), l’interface raide est

remplacée par une zone interfaciale d’épaisseur non nulle dans laquelle les différents

termes du modèle sont régularisés. Les différentes phases sont suivies grâce à un

paramètre physique constant sur chaque phase et variant aux interfaces, comme

la concentration massique ou la densité.

La méthode Level-Set, quant à elle, assimile l’interface à la ligne de niveau 0

d’une fonction advectée de la même manière que l’interface. Quand cette fonction

représente la distance signée à l’interface, elle permet facilement de retrouver des

quantités géométriques utiles comme la normale à l’interface, sa courbure ou son

étirement au cours du temps. Couramment, et comme pour la méthode champ de

phase, les quantités sont régularisées sur une zone interfaciale d’épaisseur donnée.