5.2 Probl` eme Smast
5.2.4 Remarques
Les deux variantes suivantes du probl`eme Smast peuvent se r´esoudre en adaptant l’algorithme de programmation dynamique de la Proposition 5.34 :
5.3. BIBLIOGRAPHIE 135 1. une variante pond´er´ee Weighted-Smast, dans laquelle on dispose d’une collection T sur L, d’une fonction de coˆut w : L → R+, et o`u l’objectif
est de trouver un ensemble L0 ⊆ L de coˆut maximum tel que T |L0 est compatible. Ce probl`eme peut se r´esoudre en adaptant l’algorithme de la Proposition 5.34 de la fa¸con suivante : on remplace l’´equation du Lemme 5.36 par Smast(π) = w(P (π)), o`u par convention w(X) =P
x∈Xw(x).
2. une variante Constrained-Smast, dans laquelle on dispose d’une col- lection T sur L, d’un ensemble d’´etiquettes L0 ⊆ L, et o`u l’objectif est
de trouver un ensemble L0 ⊆ L contenant L0 et de cardinal maximum
tel que T |L0 est compatible. Etant donn´ee π position dans T , posons C(π) = L0 ∩ A(π), et d´efinissons Smast(π) comme la taille d’un plus
grand ensemble L0 ⊆ A(π) tel que C(π) ⊆ L0 et C|L0 est compatible. On adapte alors les relations de r´ecurrence de la Proposition 5.34 comme suit : – on adapte le Lemme 5.36 : soit π une position terminale, alors Smast(π) =
|P (π)| si C(π) ⊆ P (π), Smast(π) = −∞ sinon.
– on d´efinit Succ(π) comme l’ensemble des positions π0 successeurs de π
telles que C(π0) = C(π), et on pose Smast1(π) = max
π0∈Succ(π)Smast(π
0)
– on d´efinit Dec(π) comme l’ensemble des paires (π1, π2) d´ecompositions
de π telles que C(π1) ∪ C(π2) = C(π), et on pose
Smast2(π) = max
(π1,π2)∈Dec(π)
(Smast(π1) + Smast(π2))
– on calcule Smast(π) = max(Smast1(π), Smast2(π)).
Pour finir, on ´evoque deux questions ouvertes concernant la complexit´e pa- ram´etrique et l’approximabilit´e de CSlcs. Ces questions sont analogues `a celles soulev´ees pour Slcs en Section 5.1.
1. Quel est le ratio d’approximabilit´e de CSlcs en fonction du param`etre k ? Un algorithme d’approximation `a un facteur Ω(log k) pourrait avoir un int´erˆet pratique.
2. Le probl`eme est-il soluble en temps pO(k)nc? Un tel algorithme serait pr´ef´erable en pratique `a l’algorithme en O((2k)p× kn2) de la Proposition
5.31, lorsque k est faible.
5.3
Bibliographie
[1] Aho (A. V.), Sagiv (Y.), Szymanski (T. G.) et Ullman (J. D.). – Inferring a tree from lowest common ancestors with an application to the optimization of relational expressions. SIAM Journal on Computing, vol. 10, n˚ 3, 1981, pp. 405–421.
[2] Bodlaender (H.L.), Downey (R.G.), Fellows (M.R.), Hallett (M.T.) et Ware- ham (H.T.). – Parameterized complexity analysis in computational biology. Computer Applications in the Biosciences, vol. 11, n˚ 1, 1995, pp. 49–57.
136 CHAPITRE 5. PROBL `EMES SLCS ET SMAST [3] Bodlaender (H.L.), Downey (R.G.), Fellows (M.R.) et Wareham (H.T.). – The parameterized complexity of sequence alignment and consensus. Theoretical Computer Science, vol. 147, n˚ 1–2, 1994, pp. 31–54.
[4] Bodlaender (H.L.) et Engelfriet (J.). – Domino treewidth. Journal of Al- gorithms, vol. 24, 1997, pp. 94–123.
[5] Bodlaender (H.L.), Fellows (M.R.) et Hallett (M.T.). – Beyond NP- completeness for problems of bounded width : Hardness for the W hie- rarchy (extended abstract). In : Proceedings of STOC 1994. pp. 449–458. – ACM.
[6] Bodlaender (H.L.), Fellows (M.R.) et Hallett (M.T.). – The hardness of perfect phylogeny, feasible register assignment and other problems on thin colored graphs. Theoretical Computer Science, vol. 244, n˚ 1, 2000, pp. 167–188.
[7] Chen (J.), Liu (Y.), Lu (S.), O’Sullivan (B.) et Razgon (I.). – A fixed- parameter algorithm for the directed feedback vertex set problem. In : Proceedings of STOC 2008, pp. 177–186.
[8] Even (G.), Naor (J.), Schieber (B.) et Sudan (M.). – Approximating mini- mum feedback sets and multicuts in directed graphs. Algorithmica, vol. 20, 1998, pp. 151–174.
[9] Fellows (M.R.), Hallett (M.T.) et Stege (U.). – Analogs & duals of the MAST problem for sequences & trees. Journal of Algorithms, vol. 49, n˚ 1, 2003, pp. 192–216.
[10] Gottlob (G.), Grohe (M.), Musliu (N.), Samer (M.) et Scarcello (F.). – Hypertree decompositions : Structure, algorithms and applications. In : Proceedings of WG 2005, pp. 1–15.
[11] Halld´orsson (M.M.). – Approximation via Partitioning. – Rapport tech- nique n˚ IS-RR-95-0003F, School of Information Science, Japan Advanced Institute of Science and Technology, Hokuriku, 1995.
[12] Hallett (M.T.). – An integrated complexity analysis of problems from com- putational biology. – Th`ese de doctorat, Department of Computer Science, University of Victoria, Victoria, B.C., Canada, 1996.
[13] Henzinger (M.R.), King (V.) et Warnow (T.). – Constructing a Tree from Homeomorphic Subtrees, with Applications to Computational Evolutio- nary Biology. Algorithmica, vol. 24, n˚ 1, 1999, pp. 1–13.
[14] Kaplan (H.) et Shamir (R.). – Pathwidth, bandwidth and completion pro- blems to proper interval graphs with small cliques. – Rapport technique n˚ 258/93, Tel Aviv University, 1993.
[15] Pietrzak (K.). – On the Parameterized Complexity of the fixed alphabet Shortest Common Supersequence and Longest Common Subsequence Pro- blems. Journal of Computer and System Sciences, vol. 67, n˚ 4, 2003, pp. 757–771.
[16] Seymour (P.D.). – Packing directed circuits fractionally. Combinatorica, vol. 15, 1995, pp. 281–288.
5.3. BIBLIOGRAPHIE 137 [17] Slivkins (A.). – Parameterized Tractability of Edge-Disjoint Paths on Di-
rected Acyclic Graphs. In : Proceedings of ESA 2003, pp. 482–493. [18] Wareham (H.T.). – The parameterized complexity of intersection and com-
position operations on sets of finite-state automata. In : Proceedings of ICIAA 2000, pp. 302–310.
Chapitre 6
Collections de triplets
enracin´es
Un triplet enracin´e est un arbre binaire enracin´e `a trois feuilles. Une collec- tion de triplets est dite compatible s’il existe un arbre contenant tous les triplets de la collection comme sous-arbre. En pr´esence d’une collection non compa- tible, on peut chercher `a la rendre compatible de trois mani`eres diff´erentes : en conservant un nombre maximum de triplets, en supprimant un nombre mi- nimum de triplets, en supprimant un nombre minimum d’´etiquettes. Ces trois d´emarches conduisent `a formuler respectivement les probl`emes Mtc, Mti et Mli ´etudi´es dans ce chapitre. On consid`ere notamment ces probl`emes restreints aux collections compl`etes, c’est-`a-dire aux collections o`u chaque ensemble de trois ´etiquettes est pr´esent dans au moins un triplet. Il existe des situations o`u l’on dispose d’un triplet pour chaque ensemble de trois ´etiquettes, par exemple lorsque chaque triplet a ´et´e obtenu par la m´ethode du maximum de vraisem- blance [7] ou par des exp´eriences d’hybridation du type Sibley-Ahlquist [14]. On dispose alors d’une collection compl`ete, ce qui pr´esente l’int´erˆet d’abais- ser la complexit´e des probl`emes Mti et Mli dans ce cas. Cette r´eduction de la complexit´e repose sur le fait que dans le cas d’une collection compl`ete, une incompatibilit´e peut ˆetre circonscrite `a un ensemble de quatre ´etiquettes.
6.1
D´efinitions et propri´et´es
Dans cette section, on introduit la notion de collection de triplets enracin´es, la propri´et´e de compatibilit´e, et on d´ecrit diff´erentes caract´erisations de cette propri´et´e.