Collections de triplets al´ eatoires et pseudo-al´ eatoires

Cette section porte sur des propri´et´es de collections de triplets compl`etes construites d’une mani`ere al´eatoire ou pseudo-al´eatoire. On montre que pour une collection de triplet al´eatoire, g´en´er´ee selon un mod`ele uniforme, la fraction maximum de triplets qui peuvent ˆetre satisfaits par un arbre est approximati- vement 1/3 (Proposition 6.10). On adapte ensuite une construction de [2] pour obtenir une construction d´eterministe d’une collection de triplets ayant des pro- pri´et´es similaires (Proposition 6.13, Corollaire 6.14).

Introduisons les notations suivantes. Soit un ensemble L de cardinal n, et soit < un ordre total arbitraire sur L. Soit k ∈ N. On note Lk l’ensemble des tuples (x1, ..., xk) avec xi ∈ L pour tout i. On note [L]k l’ensemble des

tuples (x1, ..., xk) ∈ Lk avec x1 > ... > xk. On note hLik l’ensemble des tuples

(x1, ..., xk) ∈ Lk ayant des coordonn´ees distinctes.

Par commodit´e, une collection de triplets simple R sera assimil´ee `a une fonction partielle R : hLi3

→ Z3, telle que : pour tout x0, x1, x2 ∈ L dis-

tincts, R(x0, x1, x2) = i si et seulement si xi+1xi+2|xi ∈ R. En d’autres termes,

R(x0, x1, x2) indique l’´el´ement s´epar´e des deux autres par un triplet de R. No-

tons que la fonction R est d´etermin´ee par sa restriction `a hLi3_.

On d´ecrit maintenant une construction d’une collection de triplets al´eatoire. Consid´erons la collection de triplets compl`ete R sur L g´en´er´ee par le processus al´eatoire suivant : pour chaque t ∈ [L]3_{, R(t) est un ´el´}

ement choisi dans Z3selon

une loi uniforme. La Proposition suivante montre que pour la collection ainsi construite, la proportion maximum de triplets satisfiables est d’environ 1/3. Proposition 6.10. Soit µ = 1₃ n₃
. Soit δ(n) une fonction telle que δ(n) = Ω(log n_n ). Avec probabilit´e ´elev´_{ee : Mtc(R) < (1 + δ(n))µ.}

D´emonstration. Fixons δ. Etant donn´e un arbre binaire T sur L, on calcule la probabilit´e que n(R, T ) d´evie de son esp´erance d’un facteur 1 + δ. Etant donn´e un triplet t ∈ rt(T ), notons χ(R, t) la variable indicatrice valant 1 si t ∈ R et 0 sinon. Observons que n(R, T ) est la somme de variables al´eatoires i.i.d. :

n(R, T ) = X

t∈rt(T )

χ(R, t)

Notons que E[χ(R, t)] = 13 et donc E[n(R, t)] = 1 3

n

3
= µ. Par application des

bornes de Chernoff `a la variable al´eatoire n(R, T ), on obtient donc : P[n(R, T ) > (1 + δ)µ] ≤ exp(−cµδ2)

6.2. PROBL `_{EME MTC} 147 pour une certaine constante c. En appliquant les bornes d’union, on obtient :

P[Mtc(R) > (1 + δ)µ] ≤ X

T

P[n(R, T ) > (1 + δ)µ] ≤ 2n log nexp(−cµδ2)

On conclut en observant que si δ = Ω(log n_n ), alors cµδ2 _{= Ω(n log}2_{n), et donc}

l’expression ci-dessus tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini.

On d´ecrit maintenant une construction d´eterministe d’une collection de tri- plets pseudo-al´eatoire. Elle utilise la construction alg´ebrique suivante, qui g´en´eralise la construction de [2] en introduisant un param`etre additif q. La construction ori- ginale de [2] fournit un q-coloriage des hyperarˆetes de l’hypergraphe r-uniforme complet, avec les propri´et´es pseudo-al´eatoires ´enonc´ees dans le Lemme 6.12 ci- dessous.

D´efinition 6.11. Consid´erons des entiers r, s > 1, un nombre premier p tel que s|p − 1, et un ´el´_{ement q ∈ Z}p. Soit g un g´en´erateur de Z∗p, soit H le sous-groupe

de Z∗

p g´en´er´e par gs, et pour chaque i ∈ [s] soit Hi le coset Hgi.

Etant donn´_{e j ∈ Z}∗

p, on pose [j]sp = i si j ∈ Hi, et on pose [0]sp = 0.

On d´efinit φr,s

p,q : Zrp → {0, ..., s − 1} tel que pour tout j = (j1, ..., jr) ∈ Zrp,

φr,s

p,q(j) = [j1+ ... + jr+ q]sp.

Etant donn´_{e un sous-ensemble A de Z}r

p, et ´etant donn´e 0 ≤ j < s, on pose :

nj(A) = |{i ∈ A : φr,sp,q(i) = j}|

Le lemme suivant, tir´e de [2], ´_{etablit que si A ⊂ Z}rp est form´e `a partir d’un

produit cart´esien et est de cardinal suffisamment grand, alors la fraction des hyperarˆetes de A ayant une couleur donn´ee est environ 1/s.

Lemme 6.12 ([2], Lemme 2.5). Soient A1, ..., Ar des sous-ensembles de Zp,

et soit A = {i ∈ [Zp]r: ij∈ Aj, j = 1...r}. Alors pour tout 0 ≤ j < s,

|nj(A) − |A|/s| ≤ cr|A|1/2(log |A|)r−1p(r−1)/2

pour une certaine constante universelle cr> 0 qui d´epend seulement de r.

Bien que la construction de la D´efinition 6.11 diff`ere de [2] par l’utilisation d’un param`etre additionnel q, un examen attentif de la preuve du Lemme 2.3 de [2] montre qu’il reste valide si l’on remplace la somme i1+ ... + irpar la somme

i1+ ... + ir+ q. Il est alors facile de voir que les Lemmes 2.4 et 2.5 de [2] restent

corrects avec la nouvelle d´efinition de [.]s

p. Par cons´equent, notre Lemme 6.12

est correct dans ce cadre.

On applique la construction de la D´efinition 6.11 avec r = s = 3 afin d’ob- tenir une collection de triplets minimalement compl`ete ayant des propri´et´es pseudo-al´eatoires. Plus pr´ecis´ement, on d´efinit la collection de triplets Rp sur

l’ensemble d’´_{etiquettes Z}p tel que pour tout (x, y, z) ∈ [Zp]3, Rp(x, y, z) =

φ3,3_p,0(x, y, z) (rappelons qu’on a x > y > z en vertu des d´efinitions ci-dessus). A titre d’exemple, la figure 6.2 repr´esente la collection de triplets Rp pour p = 7.

148 CHAPITRE 6. COLLECTIONS DE TRIPLETS ENRACIN ´ES l0l2|l1, l0l3|l1, l2l3|l0, l1l2|l3, l1l4|l0, l0l2|l4, l1l2|l4, l0l3|l4, l1l3|l4, l3l4|l2, l0l1|l5, l0l2|l5, l1l2|l5, l0l3|l5, l3l5|l1, l2l5|l3, l4l5|l0, l1l5|l4, l2l5|l4, l4l5|l3, l0l1|l6, l0l2|l6, l2l6|l1, l3l6|l0, l1l6|l3, l2l6|l3, l0l6|l4, l1l6|l4, l4l6|l2, l3l4|l6, l0l6|l5, l5l6|l1, l2l5|l6, l3l5|l6, l4l5|l6.

Fig. 6.2 – Les 35 triplets de la collection R7 sur l’ensemble d’´etiquettes Z7

identifi´e avec{l0, l1, l2, l3, l4, l5, l6}. Dans la construction de la D´efinition 6.11,

on choisit g = 3 comme g´en´_{erateur de Z}∗7 de sorte que gs = g3 = 6, H0 =

H = {1, 6}, H1 = {3, 4}, et H2 = {2, 5}. Par exemple, le triplet l0l2|l1 est

obtenu comme suit : on a [0 + 1 + 2]37 = 1, donc R7(l2, l1, l0) = 1, ce qui

implique que l0l2|l1 ∈ R7. Une solution optimale pour R7 est l’arbre T =

((((l0, l2), l6), l1), ((l4, l5), l3)) qui satisfait n(R7, T ) = 21.

La proposition suivante montre que Rpest pseudo-al´eatoire : pour p suffisam-

ment grand, chaque arbre binaire sur Zpest consistent avec approximativement

un tiers des triplets de Rp. Sa preuve repose sur le Lemme 6.12 et utilise le

nouveau param`etre additif q.

Proposition 6.13. Pour chaque arbre binaire T sur Zp, on a : |n(Rp, T ) − 1

3 p 3
| ≤ cp

5/2 _{log p pour une certaine constante c.}

D´_{emonstration. Fixons z ∈ Z}p. Soient Lz,1, ..., Lz,m les clades pendant le long

du chemin joignant z `a la racine dans T ; ces ensembles forment une partition de Zp\{z}. Pour tout i ∈ [m], notons nz,i le nombre de triplets de Rp∩ rt(T )

de la forme xy|z avec x, y ∈ Lz,i. On a donc : n(Rp, T ) =P_z∈ZpPinz,i.

Fixons i ∈ [m], et posons Az,i = [Lz,i]2. On va montrer que : |nz,i −

|Az,i|/3| ≤ cp3/2log p. Posons :

Lz= {x ∈ Li: x < z}

Rz= {x ∈ Li: x > z}

et partitionnons Az,i en trois ensembles A (1) z,i = [Lz]2, A (2) z,i = Rz× Lz, A (3) z,i =

[Rz]2. D´efinissons f : [Zp\{z}]2 → Z3 en posant f (x, y) = φ2,3p,z(x, y). Etant

donn´_{e A ⊂ [Z}p]2, j ∈ Z3, posons n0j(A) = |{i ∈ A : f (i) = j}|. On a donc :

nz,i= n01(A (1) z,i) + n 0 2(A (2) z,i) + n 0 3(A (3) z,i) Comme f = φ2,3

p,z, le Lemme 6.12 s’applique et donne l’in´egalit´e suivante :

pour chaque j ∈ Z3, |n0 j(A (j) z,i) − |A (j) z,i|/3| ≤ c0|A (j) z,i| 1/2_{(log |A}(j) z,i|)p 1/2

6.2. PROBL `_{EME MTC} 149 pour une certaine constante c0. En utilisant l’in´egalit´e triangulaire et en som- mant sur l’indice j, on obtient :

|nz,i− |Az,i|/3| ≤ c0|Az,i|1/2(log |Az,i|)p1/2

Posons S = P

z∈Zp

P

i|Az,i| et S0 =P_z∈ZpPi |Az,i|1/2. En sommant sur les

indices z, i dans l’in´egalit´e pr´ec´edente, on obtient : |n(Rp, T ) − S/3| ≤ cS0p1/2log p

pour une certaine constante c. On conclut en observant que S = p₃
. et que S0 ≤ p2_{(cette derni`ere in´egalit´e r´esultant du fait que pour z fix´e,}P

i|Az,i|1/2≤

P

i|Lz,i| = p − 1).

Corollaire 6.14. On a : |Mtc(Rp) −1₃ p₃
| ≤ cp5/2log p.

Observons que |Rp| = p3
. Donc, Mtc(Rp) sera proche de 13.|Rp| pour p

suffisamment grand.