Relations spatiales

Par le terme relations spatiales entre objets sont définis l’ensemble des caractéristiques permettant de déterminer la position relative de plusieurs objets les uns par rapport aux autres. Les relations spatiales peuvent être regroupées en deux familles selonDelaye[2011], une troisième famille, plus générale, est également ici définie :

1. les approches qualitatives, telles que le positionnement ou les rela- tions topologiques,

2. les approches quantitatives, qui cherchent à donner une mesure pré- cise de la relation entre les objets, et

3. les approches statistiques, qui modélisent l’organisation spatiales d’un très grand nombre d’objets.

Les principaux courants utiles à notre modèle sont ici développés. Pour plus d’informations sur l’état de l’art des relations spatiales, il est possible de se référer à Bloch[2005] et Delaye [2011].

Les relations qualitatives

La littérature présente de nombreux modèles visant une descriptions des relations spatiales topologiques. La mesure des relations spatiales, ainsi qu’un premier formalisme qualitatif, furent introduit par Freeman [1975]. Dans cet article, les relations spatiales entre deux objets, à l’exception de la relations Entre, sont définies de façon sémantiques, fondées sur le vocabulaire courant, et se regroupent en treize relations fondamentales :

1. A gauche, 2. A droite, 3. A côté, 4. Au dessus, 5. En dessous, 6. Derrière, 7. Devant, 8. Proche, 9. Loin, 10. Touche, 11. Entre, 12. A l’intérieur, 13. A l’extérieur.

A partir de ces treize relations et de leurs différentes combinaisons, toutes les formes d’organisations spatiales peuvent théoriquement être exprimées. Ce modèle a par la suite été complété par l’apparition d’autres modalités de relations spatiales, telles que celles de Kuipers [1978] et de Kuipers et

Levitt[1988] qui ajoutent en particulier la notion d’adjacence. Des travaux

où les auteurs donnent une interprétation sémantique précise aux relations topologiques binaires. Une modélisation formelle de ces relations est égale- ment fournie sous la forme d’une méthode calculatoire dans les travaux de

Clementini et al. [1993] ou encore via la manipulations de régions avec le

modèle RCC-8 (Randell et al. [1992]). Ce modèle a la particularité d’être encore étudié et amélioré actuellement, voir les articles deLi et Wand[2006] et, plus récemment, de Ghosh et Winter [2014].

Un autre type de relations topologiques concerne les relations tem- porelles, qui peuvent être assimilées à des relations spatiales. Parmi ces relations, il convient de faire référence aux travaux de Allen [1983] qui regroupent treize relations différentes. La figure 4.1 montre les relations topologiques d’Allen dans le cas de segments.

d (pendant) < (avant)

m (rencontre) o (chevauche)

di (contient)

fi (terminé par) si (commencé par)

mi (rencontré par) > (après) f (termine) s (commence) = (égal) oi (chevauché par)

Figure _{4.1 – Relations topologiques d’Allen. Le segment gris est l’argu-} ment, le noir est la référence.

L’idée sous-jacente des travaux ici étudiés est de caractériser des objets potentiellement complexes via une description précise des relations spa- tiales. De ce fait, ce contexte ne permet pas de reposer la description des objets sur des représentations symboliques ou binaires.

Les relations quantitatives

L’importance des relations spatiales topologiques afin de guider la re- connaissance est soutenue dans de nombreux articles dont celui de Bloch

[2003] mais les notions de distances et de directions sont également por- teuses d’informations. Les approches quantitatives regroupent des méthodes visant à mesurer précisemment les positions relatives entre objets. Les mé- thodes quantitatives floues sont utilisées dans différents domaines d’appli- cation comme l’étude d’images médicales (Bloch[2005, 1999]) et la recon- naissance de symboles écrits manuellement (Delaye et Anquetil[2011]). Ces méthodes produisent une représentation floue par directions considérées et sont, pour la plupart, inspirées des histogrammes d’angles de Miyajima et

Histogrammes de Forces introduit par Matsakis et Wendling [1999]. Cette modélisation consiste en une généralisation des histogrammes d’angles tout en intégrant la distance et est utilisée par la suite et détaillée plus en avant dans la section 4.3. Plusieurs méthodes dérivent des histogrammes de forces, telles que les ceux d’Allen, présentés parMatsakis et al.[2010a], qui ont la forme d’un groupe d’histogrammes de forces, chacun mesurant une relation spatiale d’Allen différente. Une autre approche, deDehak et al.

[2005], étend les histogrammes d’angles en deux dimensions en intégrant la distance en tant que seconde dimension.

Les relations statistiques

Cette famille de relations spatiales permet d’analyser précisemment l’organisation d’un nombre important d’objets, généralement modélisés par des points, dans un espace de dimension quelconque. Ces outils statistiques sont principalement utilisés dans les domaines d’analyse de données éco- nomiques, géographiques ou dans le cadre des images médicales telles que les images histologiques dans le but d’étudier l’organisation spatiale des cellules. Parmi ces fonctions, il convient de faire référence à la fonction K

deRipley [1976] qui modélise la distribution de la distance entre toutes les

paires de points possibles. Cette fonction a été rendue plus lisible pour un utilisateur par Besag [1977] sous la forme de la fonction L. Récemment, des travaux cherchent à améliorer la robustesse de la fonction K, comme par exemple dans l’article de Lagache et al. [2013]. D’autres statistiques telles que la fonction M deMarcon et al.[2012] ou la fonction K d’interac- tion permettent quant à elles d’étudier la colocalisation de plusieurs types d’objets différents. Malheureusement, ces fonctions imposent de pouvoir modéliser les objets par de simples points et d’en avoir une quantité suffi- sante, ce qui les rend très spécifiques quant aux applications où elles sont utilisables. Plus d’information sur ces méthodes, notamment concernant leurs hypothèses et leurs applications possibles, peuvent être trouvées dans les travaux de Marcon et Puech [2012].