Relations géométriques entre paramètres

(2.30) −erf ^{z− zCH}3 + dhead ε !# ,

où ε est pris aussi petit que possible (typiquement ε = 10−100).

La membrane est donc décrite par une fonction continue et lisse, dont on peut contrôler finement l’asymétrie (voir la figure 2.6 page ci-contre).

2.3.2 Relations géométriques entre paramètres

Un certain nombre de grandeurs caractéristiques des bicouches peuvent être ex-traites des profils de densité électronique. Nous nous concentrerons par la suite sur la structure de la bicouche flottante. En effet, la proximité de la première membrane avec le substrat rend délicat l’exploitation de son profil. De plus, nos analyses por-teront essentiellement sur des expériences de diffusion hors-spéculaire de rayons X, et seront donc plus sensibles aux propriétés de la bicouche flottante.

0.2 0.3 0.4 2 d_3,h 2 d_4,h a₁ b₁=a₂ b₂ EDP (e − .A −3) ° D_B’ D_B 3 d_3,h 3 d_4,h c₁ d₁ c₂ d₂

Figure 2.7 – Zoom sur le profil de densité de la bicouche flottante et définition des notations utilisées. En vert (resp. bleu), domaine d’intégration dans le calcul de AL

(resp. ¯n′

w) . DB et D′

36 2. Modélisation d’une membrane fluctuante

Nous choisissons de calculer l’aire par lipide AL,i pour chaque monocouche i de la bicouche flottante par intégration du profil de densité sur l’épaisseur des chaines :

AL,i Z bi ai ρ(z)dz = n∗ ch, (2.31) avec n∗

ch le nombre d’électron total dans les chaînes, par exemple pour une molécule de DSPC n∗

ch= 274 (voir la figure 2.7).

Nous calculons également le nombre de molécules d’eau par lipide n_w comprises entre les deux bicouches [70] :

nwVw =^AL

2 (D − DB) = AL,bic2dw− AL,1dh,1− AL,2dh,2, (2.32) où Vw = 30 ˚A³ est le volume d’une molécule d’eau et AL,bic2 = (AL,1+ AL,2) /2.

Une troisième quantité intéressante à analyser est le nombre de molécules d’eau par lipide n′

w situées dans la région des têtes, calculé d’après [44] :

n^′_wVw =^ALDB^′

2 − VL, (2.33)

avec VL le volume d’un lipide, défini par la relation VL= ALDB/2. Le calcul de n′

w nous permet d’estimer le nombre de molécules d’eau par tête de lipide, et de comparer ce résultat aux expériences menées sur des phases mul-tilamellaires. Néanmoins, ce calcul purement géométrique ne prend pas en compte la densité électronique des têtes ρhead, pouvant varier selon les échantillons. Nous introduisons donc une nouvelle quantité ¯n′

w, calculée par intégration du profil de densité sur la région des têtes :

n∗ w¯n′ w = ¹ 2 2 X i=1 A_L,i Z di ci ρ(z)dz − n∗ h, (2.34) où n∗

w = 10 est le nombre d’électrons dans une molécule d’eau et n∗

h le nombre d’électrons situés dans la tête du lipide (n∗

h = 164 pour du DSPC). ¯n′

w est une estimation autre que n′

w, qui elle est purement géométrique, du nombre de molécules d’eau situées dans la région des têtes. ¯n′

w est cependant moins précise à cause du plus grand nombre de paramètres expérimentaux qu’elle fait intervenir. Afin de préciser les ordres de grandeurs de ces quantités, prenons comme exemple un profil de densité idéal symétrique correspondant à une double bicouche de DSPC en phase fluide :

ρhead ρtail ρCH3 dhead dtail dCH3 dw

0.42 e−/˚A³ 0.31 e−/˚A³ 0.28 e−/˚A³ 5 ˚A 19 ˚A 2.5 ˚A 22 ˚A Nous obtenons alors AL,bic2 = 57 ˚A², nw = 23, n′

w = 10 et ¯n′

Deuxième partie

Matériels et méthodes

1. Diffusion de rayons X sur une

membrane unique

1.1 Généralités sur les interactions rayons X-matière

Les rayons X interagissent avec la matière selon divers mécanismes (diffusion élas-tique, inélasélas-tique, absorption, ionisation, . . .). Nous ne nous intéresserons ici qu’à la diffusion Thomson : les électrons du milieu diffusant sont accélérés par le champ électrique incident Ein et réémettent un champ Esc. Cette diffusion est élastique et

k2

in = k2

sc, où kin (resp. ksc) est le vecteur d’onde de l’onde incidente (resp. diffu-sée). Les protons du noyau étant beaucoup plus lourds que les électrons du cortège électronique, ils contribuent très peu au rayonnement réémis. Le milieu diffusant est donc entièrement défini par sa densité électronique ρ(r).

Dans un milieu diffusant décrit comme un milieu continu, l’indice de réfraction complexe est donné par la relation [71] :

n= 1 − δ − iβ, (1.1)

avec δ = λ2reρ/2π. λ désigne la longueur d’onde du champ électromagnétique et

r_e = 2.818 × 10−15m le rayon classique de l’électron (dans notre cas δ ∼ 10−6).

β ≃ 10−8 décrit l’absorption des rayons X au cours du processus de diffusion, que nous négligerons par la suite.

Dans le cas d’un milieu faiblement diffusant (n proche de 1), la diffusion peut être décrite dans le cadre de l’approximation de Born : le diffuseur perturbe peu le champ incident et nous pouvons négliger les diffusions multiples. Les ondes émises par deux électrons séparés d’une distance r ne différent que d’un facteur de phase

eiq·r, où q ≡ ksc − kin est le vecteur d’onde de transfert de norme q = 4π sin θ/λ, avec 2θ l’angle de diffusion. En sommant sur tous les électrons du milieu, la section

40 1. Diffusion de rayons X sur une membrane unique

efficace différentielle de diffusion (définie comme étant l’intensité diffusée par unité d’angle solide Ω dans la direction ksc par unité de flux incident dans la direction

kin) s’écrit dans la limite continue :

dσ dΩ ^{= r} 2 e     Z dre^iq·rρ(r)     2 . (1.2)

L’intensité I(q) mesurée par un détecteur situé à une distance r et de surface élé-mentaire r2dΩ est proportionnelle à dσ/dΩ. La diffusion de rayons X permet donc d’accéder à la structure interne du système étudié, en mesurant I(q) pour différents angles d’incidence.

1.2 Intensité diffusée par un milieu stratifié plan

1.2.1 Angle critique de réflexion totale

Considérons deux milieux semi-infinis définis par leurs indices respectifs n₁ et n₂ avec n₁ > n2, séparés par une interface parfaitement plane (voir la figure 1.1). D’après les lois de Snell-Descarte l’angle réfléchi θsc est égal à l’angle incident θin, et il existe un angle critique θc en deçà duquel la réflexion est totale. θc est défini par la relation :

cos θc = ⁿ²

n₁^. (1.3)

Pour des rayons X sur une interface eau-silicium, l’angle critique est petit (θ_c ≃ 0.04◦), nous permettant d’effectuer un développement au premier ordre de l’équation 1.3 : θc ≃^q2(δ2− δ1).

1.2 Intensité diffusée par un milieu stratifié plan 41