Regroupement de sommets

Nous proposons d’utiliser les chemins hamiltoniens pour la synchronisation de groupes de sommets. Cette synchronisation est bas´ee sur l’ordre donn´e par la construc- tion d’un chemin hamiltonien reliant les centres des groupes. Le but est de proposer une m´ethode de synchronisation plus stable, dans un premier temps nous pr´esentons comment sont group´es les sommets, puis comment est construit le chemin en prenant en compte les cas d’ambigu¨ıt´es.

Nous effectuons une ´etape d’alignement du maillage en utilisant l’ACP (Analyse en Composantes Principales), dans le but de le positionner dans l’espace suivant la mˆeme direction. Puis nous calculons le volume englobant du nuage de sommets 3D. Ce volume est alors divis´e en un certain nombre de sous-volumes. Cela permet de calculer des groupes identiques et r´eguli`erement r´epartis, qui sont facilement calcul´es mˆeme sur un maillage modifi´e. La difficult´e de cette approche est alors de d´efinir la taille d’un sous- volume et le nombre de groupes. Un groupe contient tous les sommets inclus dans le sous-volume dont il est issu. De mani`ere g´en´erale (i.e. dans le cas d’une distribution non- uniforme), l’algorithme produit des sous-volumes vides, chaque sous-volume non vide

d´efinit un groupe Ki. La Fig.5.5, pr´esente les ´etapes de segmentation et de simplification

de notre m´ethode pour un maillage de 188609 sommets. La premi`ere ´etape consiste `a

diviser le volume englobant, comme illustr´e dans la Fig. 5.5.a. Ensuite, les sommets

contenus dans un sous-volume appartiennent `a un mˆeme groupe, ils sont color´es de la

mˆeme couleur dans la Fig.5.5.b. Finalement, les isobarycentres des groupes sont calcul´es

et pr´esent´e dans la Fig. 5.5.c. Dans la suite nous appelons un centre Ci, l’isobarycentre

d’un groupe.

(a) _(b)

(c)

Figure 5.5: _{Sur un maillage de 188609 sommets : a) Division du volume englobant,} b) construction des groupes, c) les barycentres de ces groupes.

Pour obtenir le nombre de groupes, nous choisissons une valeur approximative de sommets que nous souhaitons avoir dans chaque groupe. Comme nous ne disposons pas d’informations a priori sur la forme des nuages de points 3D, nous supposons que les |V | sommets sont r´epartis uniform´ement dans le volume englobant. Alors le nombre de

groupes not´e nbC correspond au nombre de sous-volumes. Nous notons le volume de la

une arˆete pond´er´ee not´ee eij, i6= j, i, j ∈ [0, nbC]. La valeur d’une arrˆete not´ee ω(eij)

est donn´ee par la distance euclidienne entre les deux centres. Le nombre de groupes est alors calcul´e :

nbC =

volB

ω(eij))3

. (5.7)

R´eciproquement, on peut chercher `a connaˆıtre la distance moyenne entre deux centres pour un nombre de groupe donn´e :

ω(eij) = ! volB nbC #1/3 . (5.8)

Comme nous consid´erons une distribution uniforme, le nombre de sommets_{|K| dans}

chaque groupe est constant pour chaque groupe dans le volume d’un sous-cube volC, et

de fa¸con triviale nous obtenons :

|K| = |V |

nbC

. (5.9)

Dans le cas d’une distribution uniforme, la distance ω(eij) devrait ˆetre sup´erieure

aux variations de la g´eom´etrie produites par un bruit dans la position des sommets

contre lequel le syst`eme doit pouvoir r´esister. Dans la Section 5.4, nous montrons l’in-

fluence de ces param`etres dans la robustesse de la synchronisation. Certains groupes poss`edent un trop petit nombre de sommets et ne sont pas conserv´es, car ils sont trop

instables. Les sommets des groupes supprim´es sont remis en jeu `a l’aide d’un algorithme

de type k-moyennes, dans un but de stabiliser les bords des groupes. Lorsque l’´etape

de d´ecimation est finie, on peut limiter la construction d’un chemin Hamiltonien `a ces

nouveaux sommets.

La Fig. 5.6 illustre la construction du chemin hamiltonien sur les centres. Une cl´e

secr`ete donne le premier groupe K1 et son centre est le sommet initial de la construction

du chemin. La cl´e indique la position d’un sous-cube du volume num´erot´e comme une

grille 3D, si il est vide nous d´eterminons le plus proche non vide. `A chaque it´eration,

l’algorithme v´erifie s’il y a un autre candidat `a une distance proche, inf´erieure `a ε. Ce

seuil d´epend de la distance moyenne entre deux centres.

Cependant, il ne s’agit pas de simple d´ecimation, nous utilisons les groupes comme ´el´ements principaux pour permettre des changements. En effet, la m´ethode permet une adaptabilit´e lors de la construction du chemin. Afin de d´efinir des relations entre les

Figure 5.6:_{Sch´ema de la construction it´erative du chemin hamiltonien.}

groupes, nous consid´erons qu’un groupe est voisin `a un autre si les sous-cubes aux-

quels ils appartiennent sont des voisins (i.e. les sous-cubes partagent une face et nous consid´erons un 6-voisinage). L’algorithme maintient les relations entre groupes voisins `a chaque changement d’´echelle, nous expliquons l’importance pour un groupe de connaˆıtre ses voisins, pour r´esoudre les ambigu¨ıt´es qui pourraient survenir.

Lorsqu’il existe une ambigu¨ıt´e entre deux sommets, nous proposons d’inclure une ´etape de v´erification lors de la construction du chemin hamiltonien. L’id´ee est de modi-

fier les groupes, appartenant `a l’ensemble des groupes Ek construit `a l’´etape de regrou-

pement. Le but est de supprimer les sommets centre en cause et de les remplacer par de

nouveaux sommets. La mise `a jour va changer l’organisation des groupes et leur nombre

tout en pr´eservant le sous-chemin construit aux ´etapes pr´ec´edentes. Nous ´etudions une ambigu¨ıt´e entre deux sommets et nous consid´erons deux cas :

1. Les deux sommets appartiennent `a deux groupes voisins.

2. Les deux sommets ne font pas partie de deux groupes voisins.

Cette ´etude peut ˆetre ´etendue `a plus de deux sommets, en effet nous proposons un

processus it´eratif prenant en compte le sommet dans une configuration ambigu¨e le plus proche. Par la suite, les changement apport´es changent les relations entre sommets et les cas d’ambigu¨ıt´e ´egalement. Lorsque deux sommets se retrouve ˆetre les plus proche `

a ε pr`es, le changement d’´echelle provoque une modification de EK, not´e E_K′ . Pour

changer d’´echelle dans le premier cas, nous fusionnons les deux groupes qui contiennent

les candidats et _|EK′ _{| = |E}K| − 1. Dans le second cas, nous avons divis´e ces groupes et

|E′

K| = |EK| + 2.