Une calibration de ces modèles est nécessaire pour assurer leur bonne interprétation. Les essais de cisaillement avec les éprouvettes chapeau effectués précédemment sont ex-
ploités de nouveau pour calibrer les modèles d’endommagement. Leur calibration par méthode inverse couplée aux éléments finis nous a permis d’extraire l’angle de Lode ainsi que la triaxialité pour chaque condition opératoire. Bien que cette base de données soit assez riche dans le plan de température/vitesse de déformation, elle s’avère limitée quant au niveau de triaxialité et d’angle de Lode. Par conséquent, il s’agit de réaliser d’autres essais présentant des valeurs différentes en η et θ afin de s’assurer de la bonne calibration de ces modèles sur une plage étendue de ces deux paramètres. Le choix s’est porté sur un essai de traction et un autre en compression. L’approche par méthode inverse couplée aux éléments finis est de nouveau choisie pour le dépouillement des essais complémentaires dans le but d’affiner les résultats en termes de triaxialité et d’angle de Lode. Dès lors, une procédure de recalage en effort est mise en place pour s’assurer de la bonne interprétation des résultats de ces deux derniers essais.
4.3.1 Optimisation et exploitation des résultats
L’éprouvette en compression se résume à un cylindre de diamètre initial d0 = 8mm et de longueur initiale h0 = 12mm. Une attention particulière a été portée sur le parallélisme des faces des éprouvettes afin d’assurer la qualité et la répétabilité des essais. Concernant l’éprouvette de traction, elle a été prélevée par découpe jet d’eau sur une plaque de 0.1mm d’épaisseur. Un trou dans chaque extrémité a été réalisé pour assurer sa bonne fixation et s’affranchir du glissement des mors lors des essais.
a b
Figure4.5 – Éprouvettes d’essai : a) traction b) compression
La répétabilité des essais a été validée à travers trois essais réalisés dans les mêmes conditions opératoires. Tous les essais ont été effectués à une vitesse de sollicitation de 0.1mm.s−1et à la température ambiante (20◦C). La figure4.5montre les zones de rupture de ces deux essais. Il est clairement perceptible que dans les deux essais, la rupture s’est produite suivant un plan de glissement bien déterminé. Cependant, en observant l’évo- lution de la déformation pendant l’essai de traction, un phénomène de striction, dans la zone utile est remarqué. Il est suivi par une rupture suivant un plan de cisaillement. Cet effet n’est pas observé dans l’essai de compression.
En effet, un écoulement radial s’intensifie lors du déplacement et la géométrie de l’éprouvette tend vers une forme de tonneau. Pour un taux de déformation bien déterminé,
x x x x x x x y
3D
Axi-symétrique
Axi-symétrique
Surf.rigide Surf.rigide Zone simulée Ux=0 URz = 0 Ux=0 URz = 0 Uy=0 URz = 0 Uy=0 URz = 0 Encastrée Uy Uy Uy a b c Adiabatique Adiabatique Adiabatique Adiabatique 15 0 m m 8 mm Epaisseur = 1 mm 35 mm 10 m m 6 mmFigure 4.6 – Géométries et conditions aux limites des modèles de calibration le frottement aux interfaces devient très important et une fissuration de la zone équatoriale du bord libre d’éprouvette s’initie et se propage suivant la diagonale du cylindre. Ces deux modes de rupture témoignent de l’influence de la triaxialité sur le mode de rupture des éprouvettes.
Dans un deuxième temps, le modèle axisymétrique en éléments finis d’éprouvette cha- peau a été revisité et deux autres modèles en éléments finis sous Abaqus-Explicit ont été élaborés. Ils sont présentés dans la figure 4.6. À partir des propriétés de symétrie et de révolution, seul un quart du problème de compression a été modélisé comme le montre la figure 4.6.b. Il est maillé en éléments quadrilatères axisymétriques, couplés en température-déplacement et avec une intégration réduite (CAX4RT).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Déplacement (mm) Fo rc e (K N ) Expérimentale (compression) Numérique (Compression) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 Déplacement (mm) F or ce ( N ) Expérimentale (Traction) Numérique (Traction)
a
b
Figure 4.7 – Comparaison expérimentale/numérique après optimisation : (a) cas de la traction (b) cas de la compression
A (MPa) B (MPa) n
Traction 880 992 0.015
Compression 880 837 0.251
Tableau 4.2 – Paramètres optimisés de la loi de comportement pour les essais de traction et de compression
Malgré la faible épaisseur de l’éprouvette de traction, une modélisation tridimension- nelle a été choisie suite à des comparaisons avec un modèle en déformation plane. Les éléments sont couplés en température-déplacement avec une intégration réduite. Pour chaque modèle, un déplacement est imposé au nœud de référence pilotant la surface afin d’exercer le mouvement à une vitesse de sollicitation de référence. Dans le cas du test en compression, les enclumes sont représentées par une surface rigide. Aucun échange thermique avec le montage ou le milieu extérieur n’est autorisé.
La nouvelle loi de plasticité couplée en température et vitesse de déformation est de nouveau utilisée pour décrire le comportement thermomécanique des éprouvettes.
Seuls les paramètres d’écrouissage (B et n) sont optimisés. Étant donné que la limite élastique A est supposée indépendante du mode de sollicitation. La figure4.7montre l’évo- lution de l’effort en fonction du déplacement suite au processus d’optimisation. L’identifi- cation inverse (FEU-F) menée sur les deux éprouvettes a conduit à une bonne description des courbes expérimentales avec une erreur acceptable. Le tableau4.2 synthétise les va- leurs des paramètres optimisés de la loi de plasticité pour chaque essai.
Il s’agit alors d’extraire, pour chaque test, au niveau de la zone de localisation de la déformation, les résultats des simulations en terme d’angle de Lode et de triaxialité. Le post-traitement numérique des essais permet d’extraire des paramètres locaux comme la contrainte équivalente de von Mises, le troisième invariant ou la triaxialité. En examinant les figures4.8.a.b et c, on constate qu’une forte concentration de contrainte est observée au niveau de la zone de localisation avec des valeurs en contrainte de von Mises, triaxialité et troisième invariant très homogènes. Aucun glissement de la matière en dessous de l’enclume n’est observé. Ceci témoigne que cet essai ne semble pas être très influencé par le frottement. En revanche, ce phénomène est clairement perceptible dans le cas de l’essai de compression. Il se traduit par une augmentation de la contrainte avec la déformation plastique. L’impact couplé du frottement et de l’auto-échauffement sur les champs de déformation plastique et la contrainte équivalente de von Mises est constaté en modifiant le coefficient de frottement à l’interface de 0.2 à 0.45. Contrairement à la partie centrale de l’échantillon, l’écoulement radial est empêché par le frottement, ce qui engendre la naissance d’une contrainte importante sur les coins de l’éprouvette qui rejoignent son centre. Par conséquent, la forme en tonneau devient de plus en plus marquée. Les valeurs en triaxialité semblent très hétérogènes et dépendent de la zone visée dans les analyses (Figures 4.8.d.e et f).
Comme évoqué dans la section précédente, la rupture sur les lopins de compression s’est initiée sur la zone équatoriale de l’éprouvette. Elle se propage suivant se propage suivant un plan diagonal atteignant, par la suite, les bords libres de l’éprouvette. Les constations et les analyses précédentes sur l’essai en compression nous laissent faire référence à la zone d’initiation de la fissure.
a b c
d e f
g h i
Figure 4.8 – Évaluation des paramètres locaux en termes de triaxialité, de troisième invariant et de contrainte de von Mises pour les essais calibrés
Cependant, une striction classique, située dans la zone utile, est observée dans le cas de l’essai de traction. La zone susceptible à la rupture semble très homogène par rapport à l’essai de compression (Figures 4.8.g.h et i).
4.3.2 Base de données et mise en œuvre de la stratégie employée
Suite aux résultats présentés dans la figure 4.8, les valeurs obtenues en termes d’angle de Lode et angle de Lode normalisé sont calculées à travers les équations 4.2, 4.3 et4.4. Le tableau 4.3 présente les différents essais choisis pour l’identification des critères d’endommagement ainsi que leurs valeurs en déformation à la rupture, triaxialité, angle de Lode et angle de Lode normalisé.
Outre les essais calibrés, un essai Bulge ainsi qu’un essai de traction sur une éprouvette entaillée ont été ajoutés de la littérature afin de balayer le maximum de plage de triaxialité [Djavanroodi 2013,Lindner 2015].
L’identification des critères retenus passe par la minimisation d’une fonction des moindres carrés entre la déformation à la rupture expérimentale et celle calculée. Il s’agit d’un pro- blème d’optimisation qui ne peut être résolu que par des procédures itératives. Toutefois,
Test Éprouvette εf ηav θav θ¯ T ˙u
1 Plate de traction (e = 1mm) 0.38 0.3772 0.0577 0.9 20 0.1
2 Axi-entaillée* (r = 1.5mm) 0.33 0.69 2.16e−3 0.995 20 0.1
3 Bulge* (P = 500Bar) 0.195 0.65 5.12e−3 0.99 20 −
4 Compression (d0/h0 = 0.5) 0.41 −0.34 0.9526 −0.8144 20 0.1 5 Chapeau, Cisaillement 0.246 −0.16 0.52 −0.044 20 0.1 6 Chapeau, Cisaillement 0.213 −0.16 0.52 −0.044 20 1 7 Chapeau, Cisaillement 0.197 −0.16 0.52 −0.044 20 10 8 Chapeau, Cisaillement 0.18 −0.16 0.52 −0.044 20 100 9 Chapeau, Cisaillement 0.156 −0.16 0.52 −0.044 20 103 10 Chapeau, Cisaillement 0.344 −0.16 0.52 −0.044 300 0.1 11 Chapeau, Cisaillement 0.385 −0.16 0.52 −0.044 600 0.1 12 Chapeau, Cisaillement 0.23 −0.16 0.52 −0.044 800 100 13 Chapeau, Cisaillement 0.557 −0.16 0.52 −0.044 900 0.1
e :épaisseur d’éprouvette, r : rayon de l’entaille, d0: diamètre initial, h0: hauteur initiale, P : la pression,
ηav, θav = triaxialité et angle de Lode moyennés.
T : température en◦C, ˙u : vitesse de sollicitation en mm.s−1.
Les essais 2 et 3 sont données par [Djavanroodi 2013, Lindner 2015]
Tableau 4.3 – Base de données expérimentales : déformation à la rupture pour différents types de sollicitation
les différences structurelles et la philosophie des modèles retenus (leur dépendance en température, vitesse de déformation, triaxialité, angle de Lode...) imposent une démarche d’identification spécifique à chacun d’eux tout en gardant la même définition de la fonc- tionnelle et ceci dans un but de comparaison au niveau de la fonction à minimiser.
erreur = nbessai=13 X i=1 εexpf εnum f − 1 !2 (4.9) Les prochains paragraphes présentent l’identification des modèles retenus, et pour chacun d’entre eux, l’étape préliminaire consiste à cerner précisément l’évolution de chaque formulation de la déformation à la rupture en fonction de la triaxialité et/ou de l’angle de Lode. Dans un deuxième temps, une mise en œuvre de leur identification sera menée. Finalement, une évaluation dans le plan triaxialité-déformation à la rupture sera mise en place afin d’identifier le critère le plus pertinent.