La démarche d’évaluation continue a inévitablement des conséquences financières 64

A aprendizagem significativa está estritamente associada à capacidade de compreensão de uma determinada estrutura, seja em relação a um sistema numérico, seja em relação aos números racionais, de como estão inseridos nesse contexto. Por isso, aprender frações, de forma significativa, torna-se mais fácil para o aluno, quando ele tiver que retomar ou reformular o conceito matemático daquilo tiver esquecido.

Faz-se necessário, portanto, compreender como os números racionais são ensinados nas escolas e se é possível um uso social das frações (esclarecendo, por exemplo, como a fração é utilizada no cotidiano, como ocorre sua aprendizagem, se está de acordo com a forma significativa, ou seja, vinculada à prática). Torna-se válido o questionamento: por que não se aplica essa metodologia? Poder-se-ia começar a entender a forma como refletia Tales, ou seja, a questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos. (Boyer, 1974. p. 33). Esta reflexão leva-nos a repensar a metodologia.

2.2 As dificuldades e os erros na aprendizagem dos Números

Racionais: compreendendo suas naturezas e procedências.

No livro “Números Decimales ¿Por que? ¿Para que?” Centeno (1988)

aponta para a utilidade da compreensão de certos erros cometidos pelos alunos durante o processo de aprendizagem. Se o professor não conhece os erros dos alunos ou não os compreende ou os compreende mal, dificilmente poderá criar

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AGUAYO, A. M. Pedagogia Científica. 5ª ed. São Paulo : Companhia Editora Nacional, 1951. p. 338.

condições necessárias para provocar o progresso e a reorganização das suas idéias.

Em situações apropriadas, nas quais o aluno fracassou ao resolver um problema, ele pode analisar seu fracasso através dos erros cometidos. Assim, pode considerar como sua estratégia, voltar à ação intelectual do aluno, para compreender o porquê não se saiu bem naquele momento. Chegado aí, pode refletir seu modo de fazer e redirecionar sua ação intelectual a partir das hipóteses anteriormente usadas. Perceber-se-á, ao final de um processo, que uma adaptação ocorrerá àquela situação problema, confirmando-se, portanto, o aluno como protagonista de sua aprendizagem.

Em suas reflexões didáticas sobre as causas dos erros Centeno diferencia o que seja dificuldade, conflito, obstáculo e erro.

A dificuldade surge como algo que impede a boa execução do entendimento imediato de uma coisa. A dificuldade pode proceder de diversas causas: aquela relacionada com o conceito aprendido, em decorrência do método utilizado pelo professor, aquela que decorre do conhecimento que o aluno possui previamente e aquela que decorre da própria disposição de aprender do aluno.

Conflito significa choque ou oposição entre formas contraditórias de interpretar uma mesma situação. Fala-se de conflito cognitivo quando duas idéias contraditórias se chocam e produzem um desequilíbrio que pode provocar dúvida e produzir erros. Esse se produz porque as relações que se têm como válidas em uma etapa anterior, entram em contradições com outras novas ou com uma nova reorganização das antigas.

O Obstáculo pode-se entender, primeiramente, como algo que faz difícil ou impossível o prosseguimento, para a consecução de um fim. Contudo, Centeno (1988, p.145) cita que Bachelard (1975) em Física e Brousseau (1976) em Matemática, argumentam que um obstáculo é um conhecimento válido em um determinado contexto e que, como tal, pode durar muito tempo, enquanto não aparece um conflito.

Os obstáculos põem uma resistência à mudança necessária para aceitar um modelo mais amplo e esta resistência pode explicar a lentidão da evolução de alguns conceitos e inclusive seu retrocesso.

Em geral, são dificuldades que impedem uma aproximação ao objeto de conhecimento, ou seja, o obstáculo epistemológico implica em uma dificuldade ou confusão situadas no processo de produção de um conhecimento.

Uma melhor compreensão das dificuldades da aprendizagem dos números racionais poderá ser mais bem esclarecida se forem consideradas as interferências havidas em sala de aula, decorrentes de possíveis obstáculos. Há que se considerar como obstáculos certos bloqueios que acometem a compreensão do trabalho que está sendo desenvolvido.

Brousseau (1983 citado por Centeno 1988, p.146) distingue três tipos de obstáculos: os de origem epistemológicas14, os de origem ontogenética e os de origem didática.

Os obstáculos epistemológicos são os que podem aparecer tanto no desenvolvimento histórico dos conceitos, como nos conceitos espontâneos dos alunos, que em geral, como já foi dito, são dificuldades que impedem uma aproximação ao objeto de conhecimento, ou seja, o obstáculo epistemológico implica em uma dificuldade ou confusão situadas no processo de produção de um conhecimento.

Os obstáculos ontogenéticos são relativos ao desenvolvimento da criança, que são os que provêm de limitações (neurofisiológicas, entre outras) na capacidade cognitiva do sujeito, em dado momento de seu desenvolvimento mental.

Os obstáculos didáticos são os que provêm do método educativo escolhido para ensinar.

Erros são definidos como aqueles utilizados no sentido de conceito equivocado, de juízo falso, contrário à verdade. Os erros podem produzir-se por desconhecimento, por dúvidas ou simplesmente pela casualidade.

Os erros epistemológicos, que se revelam no conteúdo, decorrem de hipóteses que os alunos já possuem e por isso resistem, de modo cultural, a superar os conceitos aprendidos na vivência empírica. São diagnosticados quando percebemos os alunos apresentando erros que procedem do uso enganoso de conceitos: por exemplo, concluir que

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(um meio) seja menor que

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"Episteme" significa conhecimento científico. Assim sendo, obstáculo epistemológico quer referir-se às dificuldades apresentadas pelo aprendiz para chegar ao seu objeto de conhecimento.

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(um terço). Aparentemente o aluno não domina noções de grandezas na linguagem científica, como ocorre com as grandezas fracionárias e por isso nem estabelece comparações corretas. O que levou o aluno a fazer tal inferência?

A lógica empregada decorre da generalização prematura de conceitos. O aluno verifica, nos números naturais, que o 3 é maior que o 2. A conclusão apresentada não observa o efetivo papel que o denominador possui na fração. No exemplo apresentado o aluno deveria entender que o denominador divide em partes proporcionalmente menor o inteiro; quanto maior for o valor de sua grandeza não é levado em consideração pelo aluno. Nesse sentido há uma apropriação indébita de um conceito que foi empregado inadvertidamente em outra situação.

A hipótese do aluno, de generalizar um conhecimento para outra situação é um ato inteligente. Contudo trata-se de um obstáculo para compreensão das frações, porque não demonstra conhecer conceitos fundamentais, como é o de saber que o denominador tem a propriedades da divisão. Dir-se-ia que os conhecimentos empíricos já constituídos prevalecem na aquisição de uma nova cultura experimental. Por isso, não é tarefa simples mudar de cultura experimental. Os saberes constituídos nesta instância transformam em obstáculos, porque já sedimentados pela vida cotidiana.

Os erros oriundos de obstáculos didáticos estão relacionados com a metodologia, com a perspectiva didática adotada em sala de aula pelo professor.

Ao falar sobre os obstáculos de origem didática, Brousseau faz referência às práticas pedagógicas que ocorrem em sala de aula, no sentido de identificar as reais condições decorrentes de uma situação de aprendizagem, em que o aluno cresce em busca da construção do conhecimento.

O que mais se verifica é a sugestão apressada do educador em levar o aluno a concluir ingenuamente, que ele pode empregar como universal um conceito que é, muitas vezes, particular ou restrito a uma operação ou situação, como o do tipo: a divisão sempre torna um número menor.

Esse tipo de generalização induz o aluno a acreditar que porque isso se verifica nos números naturais pode se estender ao universo dos campos numéricos, tornando-o um precipitado em conclusões lógicas. Com certeza, o educador poderá distinguir as diversas situações do emprego daquilo que ele

mencionou. Contudo, o erro se configura, porque não previu a dimensão do conhecimento do aluno, para o uso prudente de conceitos matemáticos.

Os erros provenientes de obstáculos ontogenéticos estão relacionados a limitações da capacidade cognitiva do sujeito, em um dado momento de seu desenvolvimento mental. Estes prejudicam a compreensão, o desenvolvimento do aluno em função da incapacidade biológica.

Conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais (1997, p.101) há uma explicação possível para as dificuldades no aprendizado dos números racionais, pelo fato de que seu ensino supõe rupturas com idéias construídas para os números naturais (obstáculos).

Os alunos acabam tendo que enfrentar vários obstáculos:

§ um deles está ligado ao fato de que cada número racional pode ser

representado por diferentes (e infinitas) escritas fracionárias. Se considerarmos, por exemplo

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, teremos diferentes representações

fracionárias desse número, como, L 10 5 8 4 6 3 4 2_{= = = =} .e que 2 1

ainda pode ter uma fração equivalente igual a

100 50

expressa por 0,50, uma representação decimal. Outra representação concernente aos números racionais é a percentual, bastante utilizada no cotidiano das pessoas, e no exemplo citado ,

100 50

; pode ser expresso ainda como 50%.

Mesmo a fração

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que pela sua limitação não possui uma representação fracionária equivalente com denominador 10 ou potência de 10, pode ser escrita como 0,333...

Esse obstáculo epistemológico causa dificuldade, pois quando o aluno escreve

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, 0,5 ou 50% deveria ficar claro que está representando a mesma situação-problema, o mesmo contexto.

A não compreensão dessas relações pode ter repercussões prejudiciais no aprendizado dos números racionais que constituem os obstáculos

epistemológicos, mas a omissão de intervenções por parte do professor dará origem a obstáculos ou erros didáticos.

§ outro diz respeito à comparação entre os racionais: acostumados com a

relação 3 > 2, terão que construir uma escrita que lhes parece contraditória, ou seja, 2 1 3 1 〈 .

Se a comparação se faz com frações de numeradores e denominadores maiores, como exemplo,

8 7

e

123 15