Recommandation

A teoria de controle moderno supõe uma medida de índice que permitaavaliar quantitativamente o desempenho requerido do sistema. Essa medida é necessária para operação de sistemas de controle adaptativos modernos, para otimização paramétrica de sistemas e para projeto ótimo de sistemas.Em sistemas de controle modernos, “um índice de desempenho é uma medida quantitativa do desempenho de um sistema e é escolhido de modo que a ênfase seja dada às especificaçõesimportantes dos sistemas” (Dorf& Bishop 2001). O índice de desempenho também é chamado de função de custo.

Um sistema é considerado de controle ótimo quando seus parâmetros são ajustados de modo que o índice alcance um valor extremo, geralmente um valor mínimo (Coelho & Coelho, 2004). Um índice de desempenho, para ser útil, deve ser um número sempre positivo ou nulo. Então, o melhor sistema é definido como o sistema que minimize este índice(Dorf&Bishop, 2001).

Um índice de desempenho muito utilizado na prática é a integral do quadrado do erro, ISE (Integral ofthesquareoftheerror), que é definido como:

∫ _(3.6)

O limite superior _{é um tempo finito escolhido arbitrariamente, de modo que a integral} tenda a um valor estacionário, sendo conveniente escolher _{como o tempo de assentamento.} Esse critério irá discriminar sistemas excessivamente superamortecidos de sistemas excessivamente subamortecidos.O valor mínimo da integral ocorrerá para um valor de compromisso do amortecimento.Matuš e Prokop(2010)apresentaram um estudo comparativo entre diferentes técnicas de síntese de controladores para um sistema de velocidade de fluxo de ar quente, utilizando o índice ISE e o valor máximo de overshoot para comparação entre osdesempenhos dos controles projetados.

Outro critério de desempenho utilizado é o da integral do valor absoluto do erro, IAE (Integral oftheabsolute magnitude oftheerror), que pode ser descrito como:

∫ _(3.7)

Um índice que reduz a contribuição de grandes erros iniciais no valor da integral de desempenho e penaliza os erros que acontecem mais tarde na resposta, é apresentado na equação (3.8).

∫ _(3.8)

Tal índice é designado como a integral do tempo multiplicado pelo valor absoluto do erro, ITAE (Integral of Time multipliedbyAbsoluteError). Outro índice semelhante é o da integral do tempo multiplicado pelo quadrado do erro ITSE (Integral of Time multipliedbySquaredError)(Dorf&Bishop, 2001).

∫ _(3.9)

O índice ITAE fornece a melhor seletividade dentre os índices de desempenho, isto é, o valor mínimo da integral é prontamente discernível ao serem variados os parâmetros do sistema. A forma geral da integral de desempenho é

∫ _(3.10)

onde _{é uma função do erro, do sinal de entrada, do sinal de saída e do tempo. Podem ser} obtidos inúmeros índices baseados em combinações de valores das variáveis e do tempo. É importante observar que a minimização do IAE ou de ISE é quase sempre de significado prático.

Um sistema de controle é otimizado quando o índice de desempenho selecionado for minimizado, verFigura 3.2.Contudo, o valor otimizado dos parâmetros depende da definição do ótimo, isto é, do índice de desempenho (Dorf& Bishop, 2001).

Os coeficientes que minimizam o critério de desempenho ITAE para uma excitação em degrau foram determinados para a função de transferência em malha fechada genérica, conforme a equação (3.11), ressalte-se que existem diversas formas de funções de transferência disponíveis na literatura (D’ůzzo&Houpis, 1978 e Dorf&Bishop, 2001). Essa função é bastante simples, pois possui apenas um fator de ajuste, o , para alcançar o desempenho desejado (Faccin, 2004).

(3.11)

Dentre as várias formas de função de transferência disponíveis na literatura, utilizamos a forma descrita em (3.11). Podemos observar que o sistema com função de transferênciaem malha fechada do tipo visto em (3.11)possui um erro nulo para uma entrada do tipo degrau, um número _{de polos e nenhum zero. Neste trabalho,aplicamos, dentre outras, uma técnica} que utiliza critérios de desempenho para se chegar a um comportamento desejado para um sistema em malha fechada e, assim, projetar o controle adequado. Tal técnicafoi discutida emBoyd e Barratt (1991).

Otimizamosos coeficientes de (3.11) com relação ao critério ITAE, considerando que as mudanças no valor da referência são do tipo degrau, para isso utilizamosa Tabela 3.1.

Tabela 3.1 - Funções de transferência com coeficientes ótimos baseados no critério ITůE para uma entrada tipo degrau unitário. Fonte: D’ůZZO e HOUPIS (1978).

Ordem Denominador 1 2 3 4 5 6

O comportamento dinâmico dessas funções é perfeitamente especificado através de sua ordem _{e do parâmetro} (ver Figura 3.1). A especificação pode ser substituída pelo tempo de assentamento alcançável para a função desempenho desejável. Dessa forma, determina-se o tempo do modelo em malha aberta e, baseado nele, especifica-se um tempo de assentamento desejado para a função de desempenho alcançável, que tentará reproduzir o comportamento do sistema em malha fechada. A especificação do tempo de assentamento é convertida para o correspondente valor de através de um processo automático, após definidaa ordem da função desempenho alcançável desejada. Como essas funções possuem estrutura fixa, foi determinado seu tempo de assentamento para a escala de tempo normalizada(Dorf& Bishop, 2001). Esses valores são mostrados na Tabela 3.2.

Como os valores do tempo de assentamento normalizado para cada ordem específica da função desempenho alcançável são fixos,o valor do parâmetro equivalente aumaespecificação de tempo de assentamento para uma ordem específica é dado pela equação (3.12). Para os padrões até a sexta ordem, o tempo de assentamento normalizado é limitado inferiormente a cinco por cento do valor estacionário.Assim, o tempo de assentamento pode ser usado produzindo resultados satisfatórios. Para concluir, essas funções são compatíveis com modelos de fase mínima, ou seja, não apresentam tempo morto, polos e zeros positivos (Skogestad&Postlethwaite, 1996).

(3.12)

Tabela 3.2–Tempo de assentamento normalizado para cada ordem das funções utilizadas como padrões.

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A Tabela 3.2 mostra o tempo normalizado para cada ordem do sistema, sendo prática para o cálculo da frequência natural e para a obtenção do polinômio característico desejado do sistema de controle realimentado. Podemos ver, na Figura 3.1, o comportamento do sistema ITAE para as diferentes ordens. Na Figura 3.2, é possível comparar alguns dos índices de desempenho discutidos nesta seção.

Figura 3.2 - Índices de desempenho

Desses um dos critérios mais utilizados na prática é o ITAE, que apresentavantagemem relação aos outros por ser menos sensível aos erros que acontecem logo após a perturbação (Campos&Teixeira, 2006).Na Figura 3.2, é possível notar que o índice ITAE, quando minimizado, apresenta um fator de amortecimento de aproximadamente _{. Utilizamos esse} índice para projeto de um PID com desempenho robusto conforme sugerido em (Dorf& Bishop, 2001).