Recombinaison Hamiltonienne et discussion

Dans la discussion des pathologies et leur solution, à aucun moment nous avons explicité pourquoi, dans le cas Hamiltonien, aucun problème n’est observé. Dans ce cas, les interactions dans les deux canaux particule-trou et particule-particule sont égales,

¯

v

ρρ

=

v¯

κκ

= ¯v .

(3.18)

De plus, contrairement à une théorie EDF, l’antisymétrisation est entièrement prise en compte dans le cas Hamiltonien, c’est-à-dire

¯v

iiii

= 0

. L’équation (3.16) devient alors

E

N CG

(0, ϕ)

=

1

2

∑

i

¯

3.1. Analyse critique des méthodes MR-EDF 53

En utilisant les expressions de

δρ

ii

[ϕ]

,

δκ

?_i¯ı

[ϕ]

et

δκ

¯ıi

[ϕ]

, on voit que

δρ

ii

[ϕ] δρ

ii

[ϕ] =−δκ

?i¯ı

[ϕ] δκ

¯ıi

[ϕ] .

(3.20) Donc, dans le cas Hamiltonien, les composantes pouvant éventuellement diverger séparément se recombinent pour donner

0

. En pratique, les valeurs des corrections sont grandes mais s’annulent grâce à la recombinaison entre les canaux de particule-trou et particule-particule (ci-dessus). Ainsi dans le cas Hamiltonien, les termes du canal particule-trou et du canal particule-particule qui pris séparément divergent, se compensent exactement et conduisent à une énergie régulière en tout point. Dans les théories fonctionnelles, le fait de prendre des interactions

v¯

ρρ et

v¯

κκ différentes empêche cette recombinaison. La méthode proposée pour régulariser l’énergie consiste à enlever les parties divergentes prises séparément dans les deux canaux. En particulier, cela explique pourquoi lorsque la fonctionnelle sous-jacente n’a pas de dépendance en densité et que la même interaction est utilisée dans ses deux composantes, tout en imposant exactement l’antisymétrisation, on obtient des énergies projetées régulières.

La recombinaison dans le cas SR-EDF :

On peut également remarquer que la notion de recombinaison existe lors de la construction de la fonctionnelle SR-EDF[74,86]. En effet, le canal de self-interaction est commun à

E

ρρ

[ ˆρ

1

]

et

E

κκ

[κ, κ

∗

]

, par exemple, les termes en question dans le cas d’une fonctionnelle bilinéaire obtenue à partir d’une théorie BCS sont

E

ρρ

_{[ ˆρ}

1

_{] +E}

κκ

_{[κ, κ}

∗

_{]−−−−→}

1

2

∑

i

(¯v

_i¯ρρ_ıi¯ı

+ ¯v

_iiiiρρ

) v

4_i

+1

2

∑

i

¯

v

κκ_i¯ıi¯ı

v

_i2

(1− v

_i2

) ,

(3.21) où nous avons retiré les éléments n’intervenant pas dans la recombinaison. On remarque que dans le cas purement Hamiltonien où

v¯

_i¯ρρ_ıi¯ı

= ¯v

κκ

i¯ıi¯ı

= ¯v

et

¯v

iiii

= 0

, on a dans les sommes ci-dessus l’identité suivante

v

2_i

=

v

_i4

+ v

2_i

(1− v

2_i

) .

(3.22)

Ainsi, le choix de poser

v

4_i dans la fonctionnelle

E[ˆρ

1

]

et

v

_i2

(1− v

2_i

)

dans celle des corrélations

E[κ, κ

∗

]

semble arbitraire d’un point de vue Hamiltonien. En fait, il a été guidé par la limite HF qui correspond à

v

_i4ce qui permet de reconnaître au niveau SR-EDF

E

ρρ

_{[ ˆρ}

1

_{] +E}

κκ

_{[κ, κ}

∗

_{]−−−−−−−→}

HF

E[ˆρ

1

_{] .}

_(3.23)

Cependant le choix qui est fait de définir la fonctionnelle SR-EDF avec

v¯

κκ

6= ¯v

ρρ, brise la recombinai- son Hamiltonienne et entraîne a fortiori les problèmes que nous avons identifiés lors du passage à la description MR-EDF. Toutefois, il faut noter que dans le cadre de la DFT, briser la recombinaison est tout à fait possible et apparaît même comme une flexibilité de cette théorie.

Quelques remarques complémentaires :

•

La régularisation a été introduite ici dans le cas particulier de la fonctionnelle bilinéaire (3.8), en identifiant les termes divergents de façon empirique. Cette fonctionnelle correspond à un cas par- ticulier où la base des états à un corps est choisie de façon unique, elle diagonalise

ρˆ

1_.

•

La méthode présentée ici que nous avons justifiée par l’expression des matrices densités de tran- sition, peut paraître empirique. Toutefois, elle repose sur une justification beaucoup plus profonde. Dans la référence [5], les énergies

E[ρ

0ϕ

, κ

0ϕ

, κ

ϕ0∗

]

on été calculées, dans le cas Hamiltonien, en utilisant le théorème de Wick normal (SWT) au lieu du théorème de Wick généralisé (GWT). Il a été montré que les termes pathologiques n’apparaissent pas si on utilise le SWT, contraire- ment à l’expression de l’énergie dérivée du GWT où on retrouve explicitement des contributions spurieuses en étant toutefois censées se recombiner. Ainsi, l’énergie régularisée dans le cas EDF peut directement être vue comme une extension du cas Hamiltonien basé sur le SWT et non le GWT. Comme précisé en introduction de cette section, cette régularisation est alors générale à tout type de projection et/ou de mélange de configurations.

•

La régularisation corrige non seulement des divergences observées dans les PES mais aussi des sauts.

•

La solution proposée ici pour régulariser les énergies MR-EDF, est fortement guidée par le cas Ha- miltonien. En particulier, elle ne s’applique pas a priori à des fonctionnelles non-analytiques dans le plan complexe. Par exemple, la dépendance en puissance non entière de la densité présente dans toutes les fonctionnelles modernes et qui en physique nucléaire permet de reproduire la den- sité nucléaire à la saturation, ne rentre pas dans le cadre de la solution proposée ici. De même, le terme d’échange de Coulomb Eq. (2.62) qui est généralement calculé à partir d’une approximation de Slater, a une expression en puissance non entière de la densité de proton et donc ne peut être régularisé de cette façon.

•

Le fait que le cas Hamiltonien soit automatiquement régularisé pointe du doigts que l’utilisation d’interactions effectives dans différents canaux est très délicate et pose le problème de l’extension de l’énergie SR-EDF au calcul MR-EDF.

•

Dans certains travaux, il a été proposé d’utiliser la méthode MR-EDF pour restaurer les bons nombres quantiques en utilisant une dépendance non entière de la densité projetée. C’est-à-dire que les éléments des interactions effectives ne dépendent plus des densités de transition mais de la densité projetée, on a

¯

v[(ρ

0ϕ

)

α

]

−−−−→ ¯v[(ρ

[N,J ]

)

α

] ,

(3.24) où

ρ

[N,J ] est la densité projetée sur les bons nombres quantiques de particules et de moment

3.2. Interprétation fonctionnelle de la régularisation MR-EDF dans le cas de la restauration du nombre

de particules 55

angulaire,

ρ

[N,J ]

= P

N

P

J

ρ

. Cependant, il a également été montré qu’il n’était pas possible d’étendre cette méthode au calcul des états excités notamment dans le cas de la brisure de la symétrie de parité à l’aide de la théorie du mélange de configurations MR-EDF[7].

3.2

Interprétation fonctionnelle de la régularisation MR-EDF dans le cas

de la restauration du nombre de particules

La motivation de ce travail est de donner une réponse partielle à la question de savoir où se situe la méthode MR-EDF vis à vis du cadre de la DFT et de ses extensions. En effet, les pathologies présentées précédemment ont montré que l’utilisation conjointe d’une théorie fonctionnelle avec le mélange de confi- gurations doit être appliquée avec précaution. En repartant de l’expression de l’énergie multi-référence pour la restauration du nombre de particules

E

M R−EDF

₌

∫

2π

0

dϕN (0, ϕ) E[ρ

0ϕ

, κ

0ϕ

, κ

ϕ0∗

] ,

(3.25) nous pouvons seulement dire que l’énergie MR-EDF est une fonctionnelle des densités de transition

ρ

0ϕ

et

κ

0ϕ. On ne voit donc pas, a priori, le lien avec la DFT. Normalement en DFT, on s’attend à avoir un état de référence à partir duquel il est possible de construire une ou des densités permettant d’exprimer l’énergie (

Ψ

→ ρ

1

→ E[ρ

1

]

). Le but de cette section est de démontrer que sous certaines conditions l’énergie MR-EDF peut être vue comme une fonctionnelle des densités de l’état projeté. Encore une fois, une fonctionnelle bilinéaire donnée sous la forme de l’Eq. (3.8) est utilisée avec des interactions

¯v

ρρ et

¯

v

κκ_{qui ne dépendent pas de la densité.}

Dans le document Approches fonctionnelles de la densité pour les systèmes finis appariés (Page 61-64)