Théorème de recollement de rocade
3. Recollement de rocade sur une surface épaissie
xz(s), 1, 1 − yz(s) tan(xz(s)) + z et donc z′(s0) = −tan(xz(0))1 yz′(0) > 0 car tan(xz(0)) > 0.
3. Recollement de rocade sur une surface épaissie
On distingue deux cas en fonction du nombre de composantes connexes de la courbe de découpage intersectées par γ0.
3.1. L’arc d’attachement rencontre trois composantes distinctes de la courbe de découpage. Soit S une surface convexe munie d’une courbe de découpage Γ et d’un arc d’attachement γ0. On note Γ0 la composante connexe de Γ rencontrée par l’intérieur de γ0. On suppose que γ0 rencontre trois composantes connexes de Γ différentes. On se place dans S × [−1, 1] muni d’une équation de contact de forme (F2) (voir section 2.1). On considère l’arc d’attachement du bord
γ0× {1}.
Les seules cordes de Reeb de γ0× {1} sont alors dans U′
0. L’arc [−xmax, xmax] × {1}×{0} est la seule intersection de γ0×{1} avec U′
0. On définit la classe d’homotopie d’une corde de Reeb de l’arc d’attachement comme classe d’homotopie de l’union de cette corde et du segment de l’arc d’attachement reliant ses deux extrémités.
Proposition 8.12. Pour tout k ∈ N∗, il y a exactement une corde de Reeb ck
parcourant k fois le facteur S1. De plus, toutes les cordes de Reeb sont de ce type. Enfin, pour K > 0 et pour une perturbation dans la forme (F2) assez petite, pour tout k ∈ J1, KK la période de la corde ck est arbitrairement proche de 2kπ et ses extrémités arbitrairement proches de Γ0× {1}.
3. RECOLLEMENT DE ROCADE SUR UNE SURFACE ÉPAISSIE 83
Démonstration. On relève le voisinage U′
0de Γ0 fourni par la forme (F2) à [−xmax, xmax] × [−1, 1] × R. L’image δ0 de γ0× {1} sur S+ par le flot de Reeb est une courbe lisse. Dans les coordonnées de U′
0 on paramètre δ0 par ]−smax, 0[ −→ [0, xmax] × {0} × R
s 7−→ (x(s), z(s))
en suivant la notation de l’équation 20. On a 0 < z(0) < 2π. Par la proposition 8.11, on a lim
s→−smax
z(s) = +∞ et z′(s) > 0 si δ(s) ∈ γ0. Par conséquent δ0intersecte en un unique point tous les segments [−xmax, xmax] × {1} × {kπ} pour tout k entier strictement positif et n’intersecte que ces segments (voir figure 2). On choisit un collier de trivialisation Sck ne rencontrant pas le cône positif engendré par les vecteurs ∂
∂y et ∂ ∂z.
Proposition 8.13. Dans la trivialisation Sck, on a ˜µ(ck) = 1.
Démonstration. Soit s0tel que la corde cksoit issue du point {s0}×{1}×{0}. Considérons une bande B constituée de l’image de ck par le flot de ∂
∂y pour des temps petits. Soit cηla corde de Reeb de S × {1} issue du point {s0+ η} × {1} × {0}. La corde cη ne rencontre pas la bande B par la condition 21.
On se place dans la base (R, e1, e2) fournie par la trivialisation symplectique. On note v la projection de ∂
∂y sur le plan Vect(e1, e2). Alors v ne rencontre pas e1, vaut
e2 en t = 0 et −e2en t = T (ck). Par ce qui précède, dRt· e1ne rencontre pas v. De plus dRT(ck)· e1est dans le quart de plan négatif. En écrivant dRt· e1= r(t)eiθ(t)
on obtient θ(T (ck)) ∈ [π, 2π] (voir figure 3) et donc ˜µ(ck) = 1.
t angle v θ π 2 2π
Figure 3. Relevé des angles entre e1et v et angle θ
En appliquant le théorème de recollement de rocade 8.3, on obtient le résultat suivant.
Corollaire 8.14. Soit K > 0, K 6= πZ. Il existe un modèle de recollement de
rocade le long de γ0 tel que pour tout l ∈ N∗ avec l < K
2π, le nombre de nouvelles orbites périodiques homotopes à [Γ0]l soit exactement le cardinal de
κ = (k1, . . . , km) ∈ (N∗)l, l = k1+ · · · + km
/{permutations cycliques}. De plus, le choix de trivialisation Sck induit un choix cohérent de trivialisation des nouvelles orbites périodiques et l’indice de Conley-Zehnder d’une nouvelle orbite est le nombre de lettres du mot associé.
Les trivialisations des différentes orbites périodiques fournies par le théorème de recollement de rocade sont toutes les mêmes pour des orbites homotopes car on peut toujours choisir le disque immergé prolongeant les trivialisations le long des cordes de sorte que la nouvelle trivialisation ne soit jamais tangente à ∂
3.2. Rocade triviale et rocade vrillée. Considérons (Vt= St× [−1, 1], αt) où αt est de forme (F2) (voir section 2.1) et l’arc d’attachement γt correspond à une rocade triviale (voir section 4, chapitre 1) et (Vv = Sv× [−1, 1], αv) où αv est de forme (F2) et l’arc d’attachement γv correspondant à une rocade vrillée (voir section 4, chapitre 1). On se place dans le voisinage U′
0 (fourni par la forme (F2)) de la composante connexe Γ0 de Γ intersectée par l’intérieur de γt et γv. Il existe z1
tel que l’arc d’attachement γtou γv intersecte le voisinage U′
0le long des segments [−xmax, xmax] × {1} × {0} et [0, xmax] × {1} × {z1}. On définit la classe d’homotopie d’une corde de Reeb de l’arc d’attachement comme classe d’homotopie de l’union de cette corde et du segment de l’arc d’attachement reliant ses deux extrémités.
Proposition 8.15. Pour tout k ∈ N∗, Vt et Vv admettent exactement deux cordes de Reeb ck et c′
k de γt et γv dans la classe d’homotopie [Γ0]k. De plus γv
admet une corde homotopiquement triviale c′
0. Les cordes ck relient [−xmax, 0]× {1} × {0} et [0, xmax] × {1} × {0} et les cordes c′
k relient [−xmax, 0]× {1} × {0} et [0, xmax] × {1} × {z1} (voir figure 4). Enfin, toutes les cordes de Reeb sont de ce
type.
Démonstration. Les seules cordes de Reeb qui peuvent exister sont dans U′ 0. On relève le voisinage U′
0de Γ0fourni par la forme (F2) à [−xmax, xmax]×[−1, 1]×R. L’image δ0 de γ0× {1} sur S+ par le flot de Reeb est une courbe lisse. Dans les coordonnées de U′
0 on paramètre δ0par
]−smax, 0[ −→ [0, xmax] × {0} × R
s 7−→ (x(s), z(s))
en suivant l’équation 20. On a alors lim
s→0z(s) ∈ ]0, z1[ et lim s→−smax
z(s) = +∞ par la proposition 8.11. De plus z′(s) > 0 pour tous les s tels que δ0(s) ∈ γ0. Par conséquent δ(s) intersecte en un unique point tous les segments [0, xmax]×{1}×{kπ} et [0, xmax] × {1} × {z1+ kπ} pour k ∈ N∗ et n’intersecte pas ces segments pour
k < 0. Les différentes classes d’homotopie obtenues sont expliquées dans la figure 4.
x x c′0 c1 c′1 c2 c′2 c′ 1 c1 c′2 c2 z z
cas trivial cas vrill´e
γ δ 2π 2π z1 z1 Figure 4. Cordes ck et c′ k
3. RECOLLEMENT DE ROCADE SUR UNE SURFACE ÉPAISSIE 85
On choisit des colliers de trivialisation Sck et Sc′
k ne rencontrant pas le cône positif engendré par les vecteurs ∂
∂y et ∂ ∂z.
Proposition 8.16. Dans les trivialisations Sck et Sc′
k, ˜µ(ck) = 1 et ˜µ(c′
k) = 0. Démonstration. La démonstration de résultat pour ck est la même que celle de la proposition 8.13. Démontrons le résultat pour c′
k. On reprend les notations de la preuve de la proposition 8.13 la stratégie de preuve est la même. Dans la base (R, e1, e2), la projection v de ∂
∂y sur Vect(e1, e2) ne rencontre pas e1, vaut e2 en
t = 0 et t = T (c′
k). De plus, dRt· e1ne rencontre pas v et dRT(c′
k)· e1 est dans le quart de plan positif. En écrivant dRt· e1= r(t)eiθ(t) on obtient θ(T (c′
k)) ∈ [0, π] et donc ˜µ(c′
k) = 0.
Ainsi dans le cas vrillé, le théorème de recollement de rocade crée bien une orbite contractile (associée à la corde c′
0). Dans le cas trivial, comme les structures de contact avant et après recollement de rocade sont isotopes, les homologies de contact associées doivent être les mêmes. Dans ce texte, on se contente de remarquer que les classes d’homotopie et les indices de Conley-Zehnder des nouvelles orbites périodiques obtenues ne contredisent pas ce résultat.
CHAPITRE 9