Théorème de recollement de rocade
2. Équation de contact sur une surface épaissie
(1) S′ = ∂V′ est convexe ;
(2) α′ est adapté à S′;
(3) α′ est arbitrairement proche de α dans V ;
(4) pour tout nouvelle orbite périodique de Reeb δ, il existe une suite finie
d’indices I = (i1, . . . , ik) ∈ Jk tels que δ intersecte SZ en un point fixe de FI = ϕ ◦ ψ′
ik◦ · · · ◦ ϕ ◦ ψ′
i1, où ϕ est l’application retour sur SZ dans la rocade.
La décomposition de l’orbite obtenue est alors la même que celle décrite à la fin du théorème 8.3.
Si les hypothèses du théorème 8.3 et de la proposition 8.6 sont vérifiées, on peut faire coïncider les deux constructions. Dans ce cas, pour un mot a en les cordes de Reeb de période inférieure à K, les deux ensembles d’indices considérés sont les mêmes, FI admet un unique point fixe et γa passe par ce point fixe.
La cœur de la proposition réside dans le fait que, pour construire une rocade avec équation adaptée au bord, il faut perturber l’équation de contact α et donc l’application retour dans la variété (en particulier au voisinage de la courbe de découpage). Les conclusions du théorème ne portent que sur l’application retour sur [λ, π − λ] × Imax et pas sur ]0, π[ × Imax (où le résultat ne serait pas vérifié).
Remarque 8.7. Pour des raisons techniques, le recollement de rocade décrit ici est effectué le long de la courbe legendrienne γ (et pas seulement le long de l’arc d’attachement). En dehors d’un voisinage de γ0, la partie ajoutée à la variété se rétracte par une rétraction de contact sur la variété de départ.
2. Équation de contact sur une surface épaissie
2.1. Modèle de perturbation. Soit S une surface convexe close de courbe de découpage Γ dans une variété (V, ξ). On se place dans un voisinage S × [−1, 1] de S. Soit γ une courbe legendrienne tracée sur S contenant un arc d’attachement. Une équation α de ξ sur S × [−1, 1] est de la forme (F1) s’il existe des coordonnées (u, v) ∈ Sn× I dans un voisinage S1de γ dans S telles que
(1) α est de la forme (F) (définition 1.8) en dehors de S1× [−1, 1] ;
(2) dans S1× [−1, 1], on a α = f(u, v)dt + cos(u)dv où pour tout v ∈ I, f(·, v) a le même tableau de variation que la fonction sinus et f(·, v) = sin pour
z proche de 0 ;
(3) il existe des coordonnées (x, y, z) dans un voisinage U′
i de chaque compo-sante connexe Γide Γ qui prolongent les coordonnées du voisinage Ui four-nies par la forme (F) et telles que ∂
∂x, ∂ ∂z = ∂ ∂u, ∂ ∂v sur S1× [−1, 1] ∩ U′ i. Lemme 8.8. Soit S une surface convexe de courbe de découpage Γ. Soient α une
équation de contact de forme (F) sur S × [−1, 1] et γ0 un arc d’attachement tracé sur S. Alors, quitte à effectuer une isotopie de ξ = ker α, il existe un prolongement legendrien γ de γ0 et une équation de contact de forme (F1).
Démonstration. On construit au voisinage de S une équation de contact α′
vérifiant (F1) et adaptée à Γ. Par le lemme de réalisation 1.5 et le lemme 1.3, les structures de contact ker α et ker α′ sont alors isotopes au voisinage de S. Pour obtenir une courbe legendrienne en position de recollement à partir de la forme (F1) il reste à perturber l’équation de contact en dehors de la zone de recollement pour que le champ de Reeb pointe vers S+ le long de la courbe de découpage. On applique une construction similaire à celle décrite dans la section 2
du chapitre 1 en annulant la perturbation dans la zone de recollement. Ainsi dans chaque U′
i, on perturbe α en
αp= f(x)dy + p(x, y, z) cos(x)dz où p est une fonction lisse vérifiant les propriétés suivantes :
(1) il existe xp
max< xmax tel que p = 1 en dehors de [−xp
max, xp max] × [−1, 1] × S1⊂ U0 et f(x) = sin(x)pour tout x ∈ [−xp max, xp max] ; (2) p(x, y) = 1 + k(x)l(y)m(z) ;
(3) k est une fonction bosse constante égale à 1 au voisinage de x = 0 ; (4) l est C∞-petite strictement décroissante sur [−1, 0], nulle en 0 et strictement
croissante sur [0, 1] avec l′′(0) 6= 0 ;
(5) m est lisse, positive, nulle dans la zone de recollement, strictement positive hors de cette zone et constante égale à 1 en dehors d’un petit voisinage de la zone de recollement.
La fonction p−1 est donc C∞-petite et αpest bien une équation de contact adaptée au bord en dehors de la zone de recollement (voir figure 1). On dira que (S × [−1, 1], αp)
x y
x y
Dans la zone de recollement Hors de la zone de recollement Figure 1. Champ de Reeb dans U′
j est de la forme (F2).
Proposition 8.9. Soient (V, ξ) une variété de contact de bord S et Γ une
courbe de découpage de S. On considère un arc d’attachement de S noté γ0. Alors, quitte à effectuer une isotopie de ξ, il existe une équation α de ξ et un prolongement legendrien de γ0 en position de recollement pour α.
2.2. Étude des orbites périodiques et des cordes de Reeb. Soient S une surface convexe de courbe de découpage Γ dans une variété (V, ξ) et γ une courbe legendrienne fermée tracée sur S contenant un arc d’attachement γ0. Soit
αp une équation de forme (F2) sur S × [−1, 1].
Lemme 8.10. Pour une perturbation p adaptée, les orbites périodiques sont
exactement les courbes Γi×{0} pour i = 0 . . . n et ces orbites sont toutes hyperboliques
paires.
Démonstration. Le champ de Reeb est donné par (voir figure 1)
(19) Rαp = 1
p− k′(x)l(y)m(z) cos(x) sin(x)
l′(y)k(x)m(z) cos(x)
p sin(x)− k′(x)l(y)m(z) cos(x) cos(x)
2. ÉQUATION DE CONTACT SUR UNE SURFACE ÉPAISSIE 81
dans la zone p 6= 1 et donc dans la zone k = 1 au voisinage de x = 0 on obtient
Rαp= 1 1 + l(y)m(z) l′(y)m(z) cos(x) (1 + l(y)m(z)) sin(x) cos(x)
Dans la zone k = 0, les orbites de Reeb ont toutes des extrémités sur le bord de V et il n’y a donc pas d’orbite périodique. Dans la zone k 6= 0, les courbes Γi× {0}, pour i = 0, . . . , n, sont clairement des orbites périodiques. Il reste à montrer qu’il n’y en a pas d’autres.
Dans un ouvert U′
i fourni par la forme (F2), on découpe le plan des (x, y) en quarts de plans séparés par les droites x = 0 et y = 0. Dans un quart de plan ouvert fixé, la coordonnée du champ de Reeb sur ∂
∂y (donnée dans 19) est de signe constant pour une perturbation avec l assez petit. Par conséquent, toute orbite incluse dans un quart de plan ouvert pour des temps assez grands ou assez petits ne peut pas être périodique.
Par ailleurs, par la forme du champ de Reeb au bord (voir figure 1), les quarts de plans xy ≥ 0 sont stables par le flot de Reeb, leurs bords ouverts ne sont pas stables et toute orbite périodique passant par un point des quarts de plans xy < 0 entre dans un quart de plan xy ≥ 0. Par conséquent, l’orbite Γi× {0} est la seule orbite périodique de U′
i.
Pour montrer que ces orbites sont hyperboliques paires, on utilise la linéarisation du flot ϕt le long de Γi× {0}. Dès que l’orbite sort de la zone m = 0, on obtient
tr dϕt(0, 0, 0)|ξ > tr dϕ0(0, 0, 0)|ξ= 2. Soit Γ0la composante connexe de Γ rencontrée par l’intérieur de γ0. On se place dans le voisinage U′
0= [−xmax, xmax] × [−1, 1] × S1de Γ0fourni par la forme (F2) (voir section 2.1). L’image de [−xmax, 0[× {1} × {0} sur [0, xmax] × {1} × S1 est une courbe lisse. Soit smax la borne supérieure de l’ensemble de s ∈ [0, xmax] tel que l’image de [−s, 0] × {0} × {0} sur [0, xmax] × {0} × S1 par le flot de Reeb soit bien définie. Le réel smax est strictement positif. On relève la coordonnée S1 à R et on paramètre cette image δ0 en
(20) δ0: ]−smax, 0[ −→ [0, xmax] × {0} × R
s 7−→ (x(s), z(s)) .
On pose M0= {z, m(z) = 0} et z0= sup{z, [0, z] ⊂ M0}. Alors, lim
s→0δ0(s) = (0, z0) (voir figure 2).
z 2π
z0 x
Figure 2. Image de γ0 sur S+
Proposition 8.11. Pour une perturbation p adaptée, les cordes de Reeb de
S× {1} issues de [−xmax, 0[× {1} × {0} sont contenues dans U′
d’une telle corde sont (s0, 1, 0) et (x(s0), 1, z(s0)) avec z(s0) ∈ ˚M0, alors x′(s0) < 0
et z′(s0) > 0. De plus, si smax< xmax, on a lim s→−smax
z(s) = +∞.
Démonstration. Pour toute perturbation assez petite, les cordes de Reeb issues de [−xmax, 0[× {1} × {0} sont incluses dans U′
0 et plus précisément dans la zone pour laquelle k = 1 si l est choisi assez petit. En effet, avant la perturbation toutes les orbites de Reeb en dehors des Γ0× {t} ont des extrémités au bord de V . Par ailleurs, par construction (voir figure 1) les cordes de Reeb restent incluses dans la zone y > 0.
Dans U′
0, la composante Rz est minorée par un réel strictement positif. Si
smax < xmax, on a lim s→smax
T (s) = +∞ où T (s) est la temps de retour sur S × {1} de point (s, 1, 0). Ainsi lim
s→−smax
z(s) = +∞.
Soit c la corde de Reeb issue du point γ0(s0) = (s0, 1, 0). On note δz0 = (xz0, yz0) l’image de γ0dans le plan z = z0. La courbe δz0 est lisse,
x′z0(0) = −1 et y′
z0(0) = −cos21(x
0)z0. En étudiant le signe de d
dz xz(0) − xz(η) et d
dz yz(0) − yz(η) pour η assez petit, on montre que pour tout z ≥ z0, on a
(21) x′z(0) ≤ −1 y′z(0) ≤ −cos21(x
0)z0.
En la coordonnée z(s0), les inégalités précédentes s’appliquent. Comme z est dans l’intérieur de M0, l’image sur S × {1} de δz(s0) est
s→ xz(s), 1, 1 − yz(s) tan(xz(s)) + z et donc z′(s0) = −tan(xz(0))1 yz′(0) > 0 car tan(xz(0)) > 0.