3-1 Recherche d’une paroi idéale

II-3-1-1 Problème posé

Le problème posé ici consiste à chercher la composition d’une paroi multicouche pour avoir une bonne isolation thermique et une grande inertie thermique. On a donc une optimisation à deux objectifs :

- maximiser la résistance thermique de la paroi

- maximiser la capacité thermique intérieure de la même paroi.

L’étude est centrée sur les variations journalières de température, de période 24h.

II-3-1-2 Les contraintes du problème

Les contraintes du problème sont les suivantes :

- la résistance thermique doit être supérieure ou égale à une valeur minimale. Cette résistance minimale est la valeur « garde fou » de la réglementation thermique RT2005 (2.2 m2.K/W) ;

- l’épaisseur totale de la paroi doit être égale à une valeur fixée.

II-3-1-3 Les variables du problème

La paroi est composée de N couches parallèles d’un matériau homogène et isotrope. Les variables du problème sont définies de la façon suivante :

- l’épaisseur d’une couche quelconque i (Li) comprise entre de 0 et 300 mm (épaisseur totale de la paroi),

- la conductivité thermique de la couche i (λi) qui est dans l’intervalle entre 0.048 (isolant) et 1.731 W.m-1.K-1 (matériau conducteur),

- la masse volumique de la couche i (ρi) qui est comprise entre 32 et 2243 kg/m3 - et la chaleur massique de la couche i (Ci) qui varie de 840 à 2510 J.kg-1.K-1.

Les valeurs limites des paramètres thermophysiques ont été données sur la base des propriétés des matériaux constituant les parois types ASHRAE (en excluant l’acier qui constitue un cas particulier). Les matériaux que l’on va ainsi déterminer sont des matériaux fictifs, mais dont les propriétés thermophysiques varient dans des limites plausibles et raisonnables.

Les variables sont regroupées dans un vecteur (x)de dimension 4N, N étant le nombre fixé de couches constituant la paroi, comme suit :

1 1 1 1 2 2 2 2 N N N N

x=[L ,λ ρ, , C , L ,λ ρ, , C ,....L ,λ ρ, , C ] (II-2)

L’épaisseur d’une couche peut être égale à 0. Dans ce cas, cette couche n’est pas comptabilisée dans le nombre de couches de la paroi. Ainsi, le nombre N apparaît comme le nombre maximal de couches que peut contenir une paroi, le nombre effectif de couches pouvant être inférieur à N. Pour éviter les divergences dans les calculs, une couche i dont la masse est négligeable (ρ_iL_i <2 kg.m−2 selon les Règles Th-I de la RT 2000 [RT 2000]) a une matrice prise égale à

i

1 R 0 1

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦, Ri étant la résistance thermique de cette couche.

II-3-1-4 Les résultats du problème et analyse

Nous présentons dans ce qui suit les résultats d’optimisation d’une paroi d’épaisseur totale de 30 cm constituée de quatre couches. La figure Fig. II-5 présente le front des parois Pareto- optimales. Cette courbe présente trois parties intéressantes :

- une partie où la capacité thermique varie très peu (parois A à B) ; on peut en déduire la capacité asymptotique,

- une autre partie où la variation de la capacité thermique en fonction de la résistance thermique est pratiquement linéaire (parois D à G) ; une augmentation de la résistance au dessus d’une certaine valeur entraine une dégradation très forte de la capacité thermique, - et une zone de transition entre les deux premières parties (parois C à D).

2 3 4 5 6 7 8 0 100 200 300 400 500 600 Résistance thermique (m2.K/W) C a pa c it é t h erm iqu e i n té ri e u re (k J /(m 2 .K )) A B C D E F G

Fig. II-5 : Capacité thermique en fonction de la résistance thermique des parois optimales

La composition de toutes les parois optimales sont données dans l’annexe 2. Nous présentons néanmoins dans le tableau II-1 respectivement l’épaisseur, la conductivité thermique, la masse volumique et la chaleur massique de chaque couche des parois sélectionnées sur le front de Pareto. Les couches sont numérotées de l’intérieur vers l’extérieur du bâtiment.

La première couche de toutes les parois situées entre A et D du front de Pareto est constituée d’un matériau ayant les propriétés thermophysiques maximales. Cette couche a une épaisseur constante pour les parois se trouvant dans la première partie du front de Pareto (parois A à B). Cette valeur constante est égale au quart de la longueur d’onde (

4

Λ_{) du matériau lourd (λ=1.731}

W.m-1.K-1 ; ρ=2243kg/m3 ; C=2510 J.kg-1.K-1), soit 145 mm. Ce résultat confirme ce que nous avons déjà montré au chapitre I et qu’il est donc inutile d’avoir une couche massive d’épaisseur supérieure à

4 Λ

Tab.II-1 : Détails des parois sélectionnées sur le front de Pareto

Couche 1 Couche 2 Couche 3 Couche 4

L λ ρ C L λ ρ C L λ ρ C L λ ρ C Paroi A 145 1.731 2243 2510 105 0.053 165 2201 45 1.236 1618 2363 5 1.330 1974 1818 Paroi B 145 1.731 2243 2510 114 0.043 115 2186 36 0.043 383 2312 5 0.043 1972 2508 Paroi C 120 1.731 2243 2510 7 0.043 2242 2510 172 0.043 138 1374 1 0.043 1972 2444 Paroi D 82 1.730 2243 2510 10 0.043 2243 2510 207 0.043 141 915 1 0.043 2208 2482 Paroi E 0 - - - 59 1.730 2242 2510 21 0.043 2242 2510 220 0.043 71 2510 Paroi F 22 1.664 2243 2510 15 0.043 2242 2510 262 0.043 62 891 1 0.043 2182 2460 Paroi G 0 - - - 23 0.043 2242 2510 202 0.043 54 913 75 0.043 59 2507 L (mm) ; λ (W.m-1 .K-1) ; ρ (kg/m3) ; C (J.kg-1.K-1)

Les parois de la première partie du front mettent en évidence un fait intéressant : la deuxième couche de ces parois est isolante. Ce résultat est intéressant car il montre que l’isolation en « sandwich » n’altère en rien l’inertie d’une paroi à condition que l’épaisseur de la couche massive soit supérieure ou égale à

4 Λ

.

Lorsque l’épaisseur de la première couche est inférieure à 4 Λ

(parois C à G), la deuxième couche est mise à contribution pour le stockage de l’énergie thermique. Pour cela, la capacité calorifique volumique (ρ ) de cette deuxième couche prend sa valeur maximale. La conductivité thermique C est quant à elle minimale pour assurer l’isolation thermique. Les dernières couches sont isolantes pour toutes les parois du front sauf pour celles se trouvant dans la première partie (parois A à B). Ces dernières couches ne contribuant pas au stockage de l’énergie, leur capacité calorifique volumique prend des valeurs qui semblent n’obéir à aucune règle.

Les résultats présentés ici montrent la composition d’une paroi idéale d’un point de vue isolation thermique et inertie thermique. Trois types de matériaux entrent dans la composition d’une telle paroi avec les propriétés thermophysiques données dans le tableau suivant.

Tab.II-2 : Matériaux composant une paroi idéale

Conductivité thermique Masse volumique Chaleur massique

Matériau 1 λmax ρmax Cmax

Matériau 2 λmin ρmax Cmax

Matériau 3 λmin ρ C

Le matériau 3 peut être un isolant classique. Par contre, les matériaux 1 et 2 n’existent pas. Le matériau 1 serait du béton lourd avec la chaleur massique du bois tandis que le matériau 2 serait un isolant avec le poids du béton lourd et la chaleur massique du bois.