Représentations temps-fréquence
5 Recherche de la meilleure décomposition
Rappelons que l’objectif de notre recherche est la détection et l’étude de motifs temps- fréquence contenus dans des signaux électrophysiologiques (LFP et électro- encéphalogrammes). Nous discutons ici le problème du choix de la représentation en ondelettes dans l’optique du problème que nous cherchons à résoudre. Cette discussion aura deux lignes directrices : la parcimonie et la pertinence (voir chapitre IV).
Pour atteindre les objectifs définis ci-dessus, il est nécessaire de trouver une décomposition satisfaisant deux critères :
- le nombre de coefficients produit par la transformation en ondelettes est le plus petit possible (parcimonie).
- le résultat contient le plus d’informations possible, et renseigne le mieux possible sur la localisation, dans le temps, des événements fréquentiels (pertinence).
5.1 Non pertinence des transformées discrètes
Pour bien comprendre ce qui se produit lors d’une DWT en ondelettes orthogonales, on va représenter la distribution d’un ensemble d’ondelettes espacées des pas de translation t : on pourrait s’attendre, en échantillonnant le signal avec ces pas discrets, à ce que les ondelettes sélectionnées décrivent le signal par un pavage sans recouvrements entre ondelettes. Cependant, la réalité est un peu plus complexe (Figure 29) : le produit scalaire défini par l’équation (16) peut en effet être nul malgré l’existence d’interférences entre ondelettes.
Figure 29 : recouvrement des ondelettes orthogonales dans la DWT. En haut : pavage des ondelettes, telle qu'il serait sans recouvrements entre ondelettes. En bas : organisation réelle du pavage temporel du signal
par les ondelettes selon les pas discrets t : on constate que le pavage est recouvrant22 - les pointillés
représentent les limites dans lesquelles les coefficients sont représentés sur une carte temps-fréquence orthogonale dyadique (Figure 30). On conserve, grâce aux interférences entre les ondelettes, des corrélations nulles, ce qui respecte l’orthogonalité. Le même type de recouvrement existe entre les bandes
de fréquences
Une zone donnée du plan temps-fréquence représente donc l’énergie d’une portion du signal d’origine plus large que cette zone (celle qui correspond à la largeur de l’ondelette).
De même, entre les ondelettes placées à différentes dilatations, on observe de fortes interférences ; ce sont ces interférences qui assurent un produit scalaire nul entre des ondelettes recouvrantes : ces interférences sont destructives dans le produit scalaire de l’équation (16).
La constatation de ces superpositions entraîne la remarque suivante : puisque les ondelettes ont une durée supérieure au pavage, un coefficient d’ondelette donné représente une portion du signal qui est partiellement superposé avec les portions de signal représentées par les coefficients suivants. Puisque l’évolution du signal entre deux pas de temps (ou de dilatation) dyadiques n'est pas représentée (ces coefficients ne sont pas calculés), la transformée discrète localise mal les composantes fréquentielles : elle n’est donc pas pertinente pour notre problème, alors qu’elle le serait pour un problème de compression du signal, par exemple. Cette critique est également valable pour les paquets d’ondelettes, eux aussi fondés sur des décompositions discrètes en ondelettes orthogonales. En revanche, les transformées continues ne posent pas ce problème (Figure 30). En résumé, on a donc des transformées :
- discrètes par ondelettes orthogonales (par paquets de préférence) : optimales pour ce qui est de la parcimonie, mais non pertinentes pour notre problème ;
- continues et complexes : optimales pour ce qui est de la pertinence, mais non parcimonieuses.
En utilisant les ondelettes, il existe donc deux solutions à notre problème : corriger les représentations discrètes et orthogonales pour qu’elles deviennent plus pertinentes, ou corriger les représentations continues et complexes pour qu’elles deviennent plus parcimonieuses. La première solution reviendrait à créer un nouveau type de transformée en ondelettes « semi- orthogonales », permettant d’exploiter les performances des paquets d’ondelettes tout en représentant mieux les zones de transition (en créant des paquets intermédiaires). La seconde approche mène à ce que nous appelons « modélisation en bosses » (voir chapitre IV).
Après quelques essais préliminaires, la première solution semblait plus complexe à mettre en œuvre que la seconde. Nous avons donc fait le choix de tester tout d’abord les performances des modèles en bosses – choix qui s’est avéré justifié puisque les bosses répondent à notre problème. La première solution reste néanmoins une piste de recherche ouverte.
Figure 30 : comparaison entre la transformée continue CWT (axe des fréquences linéaire) et les transformée discrète en ondelettes orthogonales DWT (simple ou par paquet, axe des fréquences dyadique). (a) Signal contenant trois oscillations de fréquences 20, 40 et 70 Hz (l’oscillation de 20 Hz dure
longtemps, les autres sont plus courtes, celle de 40 Hz est au début du signal et celle de 70 Hz à la fin du signal) ; (b) transformée continue du signal (par ondelettes de Morlet complexes), sur laquelle les activités
oscillatoires sont bien localisées : les axes horizontaux représentent le temps, les axes verticaux les fréquences ; (c) transformée discrète dyadique en ondelettes orthogonales du signal (par Symlets) : on voit
que la représentation n’est pas aussi fiable qu’avec la transformée continue (l’oscillation longue à 20 Hz est représentée par un ensemble de coefficients disparates entre 10 et 40 Hz) ; (d) transformée par paquets
d’ondelettes (Symlet, sélection de l’arbre de décomposition par le critère de meilleur entropie de Shannon) : la représentation est plus lisible que la représentation discrète classique, mais reste toujours
moins fiable que la transformée continue pour l’analyse du signal (l’oscillation à 20 Hz est toujours représentée par des coefficients variant entre 10 et 40 Hz). Les défauts d’affichage des ondelettes discrètes