Notion de reproductibilité

Pour calculer la reproductibilité d’une bosse, il est nécessaire de définir sa « distance » par rapport aux bosses des autres cartes, puis de recenser le nombre de bosses qui lui sont

« proches » sur toutes les autres cartes. Une estimation de la probabilité de présence de la bosse sur les enregistrements est alors obtenue. L’amplitude des bosses n’est pas prise en considération : on a observé un nombre non négligeable de bosses de faible amplitude, mais néanmoins reproductibles.

4.1.1 Distance

Les axes qui définissent le plan temps-fréquence correspondant à des grandeurs physiques différentes, il convient d’avoir recours à des quantités sans dimensions pour définir une distance dans ce plan. Une solution naturelle consiste à rapporter la distance temporelle à la résolution des ondelettes en temps, et la distance fréquentielle à leur résolution en fréquence. Ainsi, la distance non dimensionnelle δx entre deux points localisés à la même fréquence, et séparés par un intervalle de temps δt = σt (une fois la résolution temporelle), doit être égale à

la distance non dimensionnelle δy entre deux points simultanés, distants en fréquence de δf = (f1 – f2) = σ_f (une fois la résolution fréquentielle, σ_fétant la résolution à la fréquence

moyenne _f ).

Donc si δt = σt et δf = σf, alors δx = δy

D’un point de vue pratique, il est plus commode de rapporter la distance en temps à la période T : pour deux points situés à la même fréquence f = 1/T, on a δx = δt / T = f δt. Ainsi la distance adimensionnelle entre deux bosses de même fréquence séparées d’un temps δt est proportionnelle à la fréquence commune de ces bosses : plus la fréquence est élevée, plus ces bosses sont facilement séparables puisque la résolution en temps est meilleure à haute fréquence qu’à basse fréquence.

En conséquence, pour deux bosses simultanées centrées aux fréquences f1 et f2, on a :

δ y= σt σ_f f₁+ f₂ 2 δ f = 49 π δ f f₁+ f₂

avec δf = (f1 – f2). La distance en fréquence entre deux bosses simultanées est ainsi rapportée à leur fréquence moyenne.

Fin alement, la distance (illustrée en Figure 38) entre deux bosses b1 (f1, t1) et b2 (f2, t2) est égale à :

d b

( )

Figure 38 : distance entre deux bosses b1 (f1, t1) et b2 (f2, t2).

4.1.2 Détection de zones reproductibles

Les B bosses obtenues en modélisant N cartes sont regroupées itérativement au sein d’un voisinage de taille Θ par l'algorithme suivant :

- Initialisation

o _{Calculer la matrice de distances entre les bosses de toutes les paires possibles} de bosses appartenant aux différentes cartes

- Formation des groupes

o _{Pour chaque bosse b}

r(r = 1, …B), trouver son plus proche voisin sur chaque carte (excepté la carte d’où br provient); on note br,c le plus proche voisin de la

bosse br dans la carte c (c = 1 à N – 1).

o _{Parmi ces bosses, on s’intéresse aux bosses {}

br ,k} ( k =1...Kr, Kr≤N−1) telles que

d (br, br , k)<Θ, où Θ est un rayon choisi a priori (par des considérations qui seront expliquées plus loin). Ces bosses forment un groupe

Gr, contenant K_r bosses

br ,k situées à une distance de br inférieure à Θ ; on note Dr la quantité

Dr= d (br, br , k) k=1

K_r

∑

- Sélection et élimination des bosses

o _{Parmi les groupes G}r ( _r=1...B), trouver le(s) groupe(s) {Gr0} contenant le

plus grand nombre de bosses Kr0 : K_r0 =max_r(K_r).

o _{Au sein de(s) {G}r0}, trouver le groupe le plus compacte Gz, i.e. le groupe pour

lequel

Dz =minr0(Dr0), avec le taux de reproductibilité R = Kz/N : donc, le taux de reproductibilité d’un groupe est la proportion de signaux modélisés qui ont au moins une bosse dans le groupe.

o _{Trouver les bosses}

br ,nau voisinage de br : toutes les bosses sur tous les signaux telles que

d (br, br , n)<Θ. Supprimer les bosses br ,nde l’ensemble des bosses.

o _{Itérer la formation de nouveaux groupes {Gr}} jusqu’à ce que le plus grand groupe contienne moins de deux bosses.

Les groupes {G_z} obtenus sont les zones reproductibles qui nous intéressent, ils forment une carte de reproductibilité décrivant les zones reproductibles des signaux dans l’espace temps- fréquence.

La distance maximale Θ a une influence sur le nombre de groupes {G_z}, ainsi que sur l’aire de ces groupes. Plus Θ est petit, plus les bosses doivent être proches pour être considérées comme voisines. En conséquence, une petite valeur de Θ sélectionne des petites zones englobant des bosses très reproductibles, alors que de grandes valeurs de Θ créent des groupes moins bien localisés mais qui contiennent plus de bosses (Figure 39). Le choix de Θ correspond donc à un compromis entre la précision de la localisation temps-fréquence et le regroupement de suffisamment de bosses. En l’absence d’informations a priori, la valeur de seuil produisant le maximum de groupes Gz devrait être choisie, et les groupes ayant un taux

Figure 39 : exemples de cartes de reproductibilité avec Θ = 2, 5 et 8 – pour des signaux (N=195) issus de rats en activité libre ; chaque rectangle représente un groupe, les croix représentent les centroïdes des groupes, les limites du rectangle sont définies par les bosses les plus éloignées du centroïde. Pour Θ = 5 et

8, on n’a affiché que les groupes ayant un taux de reproductibilité > à 20 % . Avec Θ = 2, on a une représentation efficace des activités oscillatoires, qui peut être plus utile pour l’étude de signaux. Avec Θ =

5 on a une représentation beaucoup plus synthétique, qui peut être plus utile pour la classification de signaux. Avec Θ = 8, on a une représentation inadaptée, les groupes représentant des zones de l’espace

temps-fréquence trop grandes : rappelons que ces signaux sont issus de rats en activité libre, donc ne possédant pas d’activités reproductibles, or les taux de reproductibilité mesurés sur cette représentation s’élèvent jusqu’à 71% ; de plus les zones s’étendent sur toute la gamme de fréquences étudiée (de 20 à 100

Hz).

Nous présenterons, dans le chapitre V, des résultats obtenus avec cet algorithme. Pour vérifier si une zone donnée est significative, ou si cette reproductibilité est le fruit du hasard, on pourrait avoir recours à une mesure d’un taux de reproductibilité, en fonction des fréquences, calculé à partir d’enregistrements effectués en dehors de la tâche étudiée : par exemple, en

enregistrant les activités LFP de rats se comportant librement pour les comparer à celles de rats effectuant un tâche de mémorisation d’odeurs, comme nous le décrirons dans le chapitre V.