Recherche d’un point singulier dans une région

Comme indiqué à la partie 7.1.1, la construction des arbres couvrants nécessite de choisir un point unique dans une région qui sert de racine.

Axiome du choix

D’un point de vue formel, le choix de ce point unique relève de la problématique de l’axiome du choix. Cet axiome est défini comme suit :

Étant donnée une famille d’ensembles non vides, il existe une fonction qui à chacun d’entre eux associe un de ses éléments. Cette fonction est appelée fonction de choix.

Cette formulation littérale correspond à la formulation mathématique suivante où

P(E) est l’ensemble des sous-parties de E :

l’axiome du choix conduit parfois à certains résultats contraires aux conceptions usuelles et implique l’existence d’objets étranges ou contre-intuitifs. Un exemple de ces étrangetés, cité ici sans explication et à titre d’illustration anecdotique, est la décomposition paradoxale de Banach-Tarski qui, en utilisant l’axiome du choix permet de démontrer qu’il est possible de découper une sphère en un nombre fini de morceaux et de les déplacer par une suite de mouvement rigides (translation et rotation), en permettant à certaines pièces de traverser d’autres pour les rassembler en formant deux copies de la sphère d’origine.

Finalement, l’axiome du choix peut paraître d’un intérêt limité et c’est pour- quoi certains mathématiciens se montrent plus satisfaits d’une démonstration s’ils peuvent éviter d’avoir recours à cet axiome. Cependant, il est utilisé sans réticence particulière surtout dans des variantes plus faibles telles que l’axiome du choix dé- nombrable qui est la restriction de l’axiome du choix à une famille dénombrable de sous-ensembles de E.

Recherche d’un point singulier dans une région

Un parallèle peut être établi entre le problème de la détermination d’un point singulier dans une région et la nécessité ou non d’avoir recours à l’axiome du choix. Les situations où l’axiome du choix est nécessaire pour conclure sur l’existence d’une fonction de choix sont les suivantes : il s’agit de cas où il est impossible de choisir de manière algorithmique entre deux ou plusieurs processeurs lequel sera utilisé comme point singulier (racine). Dans le cadre du traitement d’image, ce cas de figure peut se produire dans une région autonome, qui ne connaît ni son orientation, ni sa position dans l’image. Dans ce cas, une région de type carré de 4 processeurs est invariante par rotation d’angle multiple de π₂, et chacun des proces- seurs a donc un rôle parfaitement invariant par rotation. Le recours à la fonction de choix existant de manière théorique est donc nécessaire pour choisir un processeur racine unique.

Les cas de figure, pour lesquels le recours à une fonction de choix que l’on ne peut déterminer serait nécessaire, sont donc les situations où la région ne connaît rien sur son orientation et sa position. Dans le cas contraire, il est toujours pos- sible de choisir par exemple l’ensemble des pixels les plus à droite, puis le pixel le plus en haut parmi cet ensemble. De la sorte nous obtenons une fonction de choix parfaitement déterministe sur toute région de l’image. Ainsi, dans le cas où la fonction de choix ne peut être définie (son existence est assurée d’un point de vue théorique, mais en pratique cela ne sert à rien), il est nécessaire d’ajouter une information dans les régions de manière à rendre cette fonction définissable. Une telle information peut être la notion d’orientation ou de position dans l’image.

7.1. L’arbitre asynchrone, un élément indispensable aux prefix associations

Recherche d’un point singulier dans une région à l’aide d’opérateurs abstraits

Nous étudions à présent l’effet de l’ajout de l’information d’orientation ou de position de la région en termes algorithmiques, et en termes de coût d’implantation. Considérons tout d’abord le cas de l’ajout de l’information de position. Cette infor- mation revient à étiqueter chacun des pixels de la région avec ses coordonnées en abscisse et en ordonnée. La détermination d’un point unique dans la région est dans ce cas très simple : il suffit de déterminer par exemple quel pixel est le plus en bas à droite, ce qui est fait en appliquant consécutivement un minimum sur les ordon- nées, ce qui permet de sélectionner tous les pixels de la région ayant une ordonnée minimale, puis de sélectionner parmi ces pixels celui qui a une abscisse minimale. La complexité algorithmique de cette opération est donc enO(log(L)+log(l)) avec

L et l la longueur et la largeur de la rétine (on ne peut en effet pas se limiter à la

taille de la région considérée, car on ne connaît pas sa taille).

Considérons à présent le cas de l’ajout de la notion d’orientation de la région uni- quement, sans que celle-ci ne puisse connaître sa position. Cette information est nettement moins riche que la précédente dans la mesure où les relations entre pixels ne sont connues que de manière locale, et qu’il n’est pas possible de trouver un mi- nimum sur la région, les pixels n’étant pas étiquetés. Dans cette situation, il est nécessaire de procéder à l’étiquetage des pixels afin de se ramener au cas précédent. Cet étiquetage est le produit d’une association, cependant le résultat de cette as- sociation n’est pas le même dans chaque pixel (sans quoi l’étiquetage n’aurait pas d’intérêt). De plus cette association ne peut être une prefix-association, car celles-ci ont recours à la structure d’arbre couvrant, ce qui est impossible sans avoir au préa- lable un point unique comme racine. L’opérateur utilisé par l’association doit donc être idempotent (pour permettre la direct-association) et ne pas donner le même résultat dans chaque pixel. De tels opérateurs dissymétriques ont été étudiés dans la thèse de Bertrand Ducourthial [Duc00][DM98]. Ils sont appelés R-opérateurs, par extension des S-opérateurs qui sont symétriques.

Un R-opérateur permettant d’établir un étiquetage des abscisses sur une région en ne connaissant que son orientation est le suivant :

⊕ = max(E − 1, N, S, O + 1)

La numérotation est effectuée de l’Ouest vers l’Est en attribuant l’abscisse 1 aux pixels le plus à l’Ouest. De même un R-opérateur permettant d’établir un étiquetage des ordonnées du Sud vers le Nord en attribuant1 à l’ordonnée du pixel le plus au Sud et en ne connaissant que l’orientation de la région est :

⊕ = max(E, N − 1, S + 1, O)

Dans ces deux opérateurs, N , S, E et O représentent les valeurs locales placées en chacun des noeuds du réseau associatif et qui sont affectées par la relaxation du réseau.

des fonctions ayant une priorité aux bits de poids faibles dans l’ordre des calculs (fonctions telles que l’addition) avec des fonctions ayant une priorité aux bits de poids fort dans les calculs (fonctions telles que l’opérateur max).

Finalement, la contrainte minimale permettant d’extraire un point unique d’une région est l’ajout de l’information de position de la région dans l’image. Le coût algorithmique associé à cette contrainte est très faible, et le coût matériel est quant à lui nul (si l’on accepte de charger cette information depuis les bords de la rétine lorsque cela est nécessaire).

Recherche d’un point singulier dans une région à l’aide d’opérateurs implantés électroniquement

Dans le cas d’implantations électroniques telles que les rétines artificielles, il est envisageable d’utiliser les propriétés des circuits électroniques pour réaliser la fonction de choix. Une solution envisageable d’un point de vue fonctionnel est l’uti- lisation d’un arbitre permettant de sélectionner un pixel parmi n candidats. Cette solution est en réalité impossible à implanter car elle nécessiterait de pouvoir utili- ser un arbitre avec un grand nombre d’entrées, l’arbitre pouvant être déplacé selon la configuration de la région dont il faut déterminer la racine. Il serait toutefois intéressant d’étudier cette idée d’un point de vue théorique pour voir où elle se situe par rapport aux solutions proposées précédemment.

L’utilisation d’un arbitre électronique (dont la structure sera décrite à la section suivante) permet de sélectionner une entrée active parmi n. Supposons que le cir- cuit électronique soit parfait (sans aucun bruit) et que les tensions d’entrée soient rigoureusement les mêmes. Dans ce cas, la situation de chaque entrée est la même et l’arbitre a des difficultés à choisir une des entrées. Une telle situation, appelée

métastabilité ne peut converger que par ajout d’une perturbation modifiant l’état

d’une des entrées. Une telle perturbation peut être un bruit électronique, une non homogénéité des tensions des caractéristiques des transistors, une particule venant frapper un fil du circuit... La convergence de l’opération d’arbitrage est donc as- surée en pratique par une absence d’invariance spatiale, mais elle ne constitue en aucun cas une fonction de choix sur une région au sens mathématique du terme.