La recherche du couple facteur de projection optimal, zone morte optimale . 58

( * i i R D i R Simulateur C R Optimisation numérique Sous-images SB i=1,...,

∑

= = ^SB i i i i T D R R 1 ) ( min arg ˆ β

∑

= = SB i C i iR R 1 α * i γ * i ZM

(

γ γ_SB

)

γˆ= ˆ₁,...,ˆ ) ˆ ,..., ˆ ( ˆ 1 ZMSB ZM ZM R R R =

Fig. 2.13: Allocation des débits de la QVAZM 3D par une méthode lagrangienne utilisant comme simulateur l’algorithme de recherche du couple facteur de projection optimal/zone morte optimale.

Simulateur Il est chargé de collecter les données propres au problème de minimisation. Dans notre cas ce simulateur se compose des SB fonctions distorsion-débit Ri7→ Di(Ri), i étant l’indice de la sous-bande. Ces fonctions sont obtenues par l’algorithme rapide de recherche de la zone morte optimale décrit par la suite.

Optimisation Un algorithme d’optimisation faisant appel au simulateur se charge de converger vers la solution. C’est l’algorithme de type lagrangien qui est résumé dans le sous-paragraphe 2.5.2.

Il est crucial de différencier la mise au point du simulateur de celle de l’algorithme d’optimisa-tion : le premier est spécifique au schéma de compression tandis que le deuxième est une méthode mathématique adaptée. L’algorithme d’optimisation peut donc être utilisé pour différents simula-teurs : l’algorithme proposé dans [86] a par exemple été employé avec un simulateur obtenu par quantification scalaire [87] et par QVA [89] .

Au final, en couplant le simulateur et l’optimisation, l’objectif de l’allocation optimale des débits avec la QVAZM 3D consiste à trouver les facteurs de projection optimaux bγ = (cγ₁,....,γd_SB) et les rayons de zones mortes optimaux [R_ZM = ³

\R_ZM1,...., \R_ZMSB´

pour les SB sous-bande de la TO3D. La figure 2.13 résume l’allocation de débit utilisée pour la QVAZM 3D.

2.5.1 La recherche du couple facteur de projection optimal, zone morte

opti-male

Nous allons nous attacher à résoudre le problème de recherche de la zone morte optimale, c’est-à-dire à trouver le rayon de la zone morte qui, pour un débit cible donné, minimise la distorsion.

2.5 Allocation de débits 59

Z

Z

ZM r γ

3

0 1 2 3

Région de la Zone Morte (ZM) quantifiée par le vecteur 0 Région de surcharge quantifiée sur les vecteurs Y’ d’énergie δ

ZM r δ γ ⎡ ⎤ = ⎢_⎢ ⎥_⎥

Région de quantification sur les vecteurs Y’ d’énergie δ Région de quantification normale sur les vecteurs Y’

2

1

0

Yi’

Fig. 2.14: Représentation des trois zones de quantification après projection de la source.

C’est un point crucial de la faisabilité de la chaîne globale d’allocation des débits. Nous allons montrer que ce problème peut être reformulé par un problème de minimisation d’une fonction à une seule variable : la distorsion en fonction du rayon de la zone morte. Nous réaliserons une étude des caractéristiques de cette fonction pour une sous-bande produite par une TO3D. Cela conduira à l’utilisation d’un algorithme quasi-optimal dont le coût de calcul est très inférieur à celui de l’algorithme optimal.

2.5.1.1 Reformulation du problème

On se place ici dans une sous-bande donnée, pour laquelle le débit à atteindre est RC. La recherche de la zone morte optimale est un problème de minimisation sous contrainte d’égalité. En effet, pour un débit R_C à atteindre, le couple optimal rayon/facteur de projection, noté¡

R_opt, γ_opt¢ , vérifie la relation suivante :

¡

Ropt, γ_opt¢

= arg min

(RZM,γ){D (RZM, γ)} , (2.24) sous la contrainte R (R_ZM, γ) = R_C

avec D (., .) la distorsion de la source quantifiée et R (., .) le débit.

Les définitions ci-dessous ont pour objectif de simplifier le problème (2.24).

Dans la suite, la zone morte sera exprimée en terme de rayon normalisé r_ZM (voir figure 2.14) dont nous rappelons la définition :

r_ZM = ^RZM

γ ^(2.25)

avec RZM le rayon de la zone morte et γ le facteur de projection employé.

Redéfinissons tout d’abord les deux fonctions débit et distorsion du problème (2.24) : Définition 1 : Débit

R :R+× R+ → R+

(rZM, γ) 7→ R (rZM, γ), R (γrZM, γ) Définition 2 : Distorsion

60 l’imagerie radiologique

D : R+× R+ → R+

(r_ZM, γ) 7→ D (rZM, γ), D (γrZM, γ)

Ces deux grandeurs varient en fonction du rayon de la zone morte et du facteur de projection. Le problème (2.24) se réécrit alors :

¡

r_opt, γ_opt¢

= arg min

(rZM,γ){D (rZM, γ)} , (2.26) sous la contrainte R (rZM, γ) = RC

avec R_C le débit cible.

La deuxième partie de la reformulation consiste à transformer le problème de minimisation à deux variables (2.26) en un problème de minimisation d’une fonction unidimensionelle en considé-rant les deux fonctions suivantes :

Définition 3 On note γ∗ la fonction qui, pour un rayon donné, associe le facteur de projection permettant d’atteindre le débit cible :

γ^∗:R+→R+ (2.27)

r_ZM 7→ γ∗(r_ZM) , (2.28)

tel que R (r_ZM, γ^∗(r_ZM)) = R_C

La fonction R : γ→ R (rZM, γ)est monotone décroissante : à mesure que la source se concentre sur un nombre de couches du dictionnaire de plus en plus petit, l’entropie de la source quantifiée diminue. L’existence et l’unicité de γ^∗(r_ZM) est donc toujours vérifiée. γ^∗(r_ZM) s’obtient en résol-vant l’équation R (rZM, γ^∗(rZM))− RC = 0par une méthode classique de recherche du zéro d’une fonction [84].

Définition 4 On note D^∗ la fonction définie par :

D^∗:R+ → R+ (2.29)

rZM 7→ D^∗(rZM) = D (rZM, γ^∗(rZM))

Le problème de recherche de la zone morte optimale se formalise alors de la manière suivante : ropt = arg min

rZM

{D^∗(rZM)} (2.30)

γ_opt = γ^∗(r_opt)

Nous venons de passer d’un problème de minimisation sous contrainte d’égalité à une simple minimisation d’une fonction à une variable D∗.

2.5.1.2 Courbe débit-distorsion en fonction de la zone morte, et zone morte optimale La figure 2.15 représente un exemple de la fonction D^∗. La minimisation du problème (2.30), repose donc sur les propriétés de cette fonction. Deux propriétés sont discutées ici, la première va permettre de restreindre l’intervalle de recherche en considérant le volume de la zone morte vectorielle. La seconde traite des discontinuités de la fonction D^∗ qu’il est impératif de localiser dans l’optique de l’utilisation de techniques classiques de minimisation de fonctions continues.

2.5 Allocation de débits 61 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Zone morte Distorsion

Fig. 2.15: Courbe distorsion en fonction du rayon de la zone morte à un débit cible de 1 bit/voxel - sous-bande LHL3 de CT1.

Intervalle de recherche : Comme on peut le constater sur la figure 2.15, la fonction D∗ admet un maximum proche de zéro qui s’explique du point de vue de la quantification : pour un rayon de zone morte inférieur à 1, la zone morte n’englobe aucune couche du dictionnaire. Le gain en terme d’entropie est alors limité. Ainsi pour un même débit, l’erreur sera plus grande augmentant la fonction D^∗. Par ailleurs, lorsque le rayon tend vers zéro, la zone morte s’inscrit dans la cellule de Voronoï cubique du schéma classique de QVA : on obtient un effet inverse à celui escompté, les vecteurs de faible énergie sont projetés hors de la zone morte. La distorsion supplémentaire engendrée par les nombreux vecteurs ressortis artificiellement du Voronoï d’origine provoque le pic en 0⁺ qui apparaît sur la figure 2.15.

En conséquence, dans la majeure partie des cas, il est peu probable d’obtenir une zone morte optimale de rayon inférieure à 1. La recherche s’effectuera donc sur l’intervalle ]1, +∞[.

Discontinuités de D∗ : La fonction D∗ admet des discontinuités en l−, avec l∈N. Ces disconti-nuités proviennent du phénomène de saut de couche : le volume de la zone de surcharge tend à devenir minimal lorsque le rayon de la zone morte tend vers l⁻. Au contraire, lorsque le rayon tend vers l+, le volume de la zone de surcharge devient maximal. Or, la projection des vecteurs appartenant à ZS induit une distorsion supplémentaire. Cet accroissement s’effectue sans gain au niveau du débit puisque ces vecteurs se retrouvent sur une surface plus peuplée. En prenant en compte les deux points précédents, la recherche du minimum de la fonction D∗ va consister à effectuer une recherche dichotomique sur les intervalle de type I_l = [l, l + 1[. Par conséquent, l’algorithme optimal consiste à appliquer une méthode de recherche du minimum d’une fonction à une variable [84] sur les intervalles I_l, avec l = 1, ..., L.

Nous venons de transformer la recherche de la zone morte optimale en une application d’une technique de minimisation d’une fonction à une variable par intervalle. Cependant, cette approche est susceptible de ne pas respecter la contrainte de complexité. En effet, le calcul de D^∗ nécessite de

62 l’imagerie radiologique nombreux appels aux données. Ce point peut s’avérer dramatique lorsque la taille des sous-bandes est importante, ce qui est le cas des images médicales 3D. Il apparaît donc crucial de proposer une méthode de réglage de la zone morte vectorielle limitant le nombre de calculs effectués à partir des données.

2.5.1.3 Algorithme quasi-optimal

Nous allons maintenant présenter un algorithme rapide basé sur différentes propriétés de la courbe D^∗ [46]. La recherche de minimum par morceau peut être remplacée par une simple procé-dure itérative sur un ensemble discret de zone morte décrit par la suite (2.32). De plus, les minimas locaux de chaque intervalle I_l se trouvent sur une enveloppe convexe fournissant ainsi un critère d’arrêt. Enfin, un encadrement simple (2.36) permet de réduire à chaque itération l’intervalle de recherche du facteur de projection correspondant à la zone morte testée.

Décroissance par Morceaux : La quantification dans la zone de surcharge engendre une dis-torsion supérieure à celle de la quantification uniforme. Ce point a déjà été évoqué dans le paragraphe précédent : les vecteurs de la zone de surcharge doivent être projetés sur le réseau de manière spécifique. De plus, cette quantification augmente le débit binaire du code suffixe puisque les vecteurs sont projetés sur une couche de plus grand rayon. Ce surcoût a une influence sur la valeur de D^∗ lorsque le nombre de vecteurs concernés devient important. Il y a donc décroissance de la fonction D∗ sur les intervalles I_l : la distorsion diminue grâce à l’effet croisé de l’augmentation de la zone morte et de la diminution de la zone de surcharge. La recherche du minimum de l’intervalle Il devient dès lors :

ropt = arg min rZM∈{l−²,l∈N}

{D^∗(rZM)} (2.31)

γ_opt = γ^∗(ropt)

avec ² << 1 la constante fixant a priori la position du minimum local.

La recherche de la zone morte devient une séquence de test de valeurs de type :

r_l= l− ε (2.32)

C’est le point central de la méthode rapide que nous proposons ici, car le domaine de recherche se restreint à un ensemble dénombrable ce qui conduit à une diminution notable de la complexité : l’étape de recherche du minimum de la fonction D^∗ sur l’intervalle I_l est remplacée par le calcul de γ^∗(.)pour quelques valeurs test.

Convexité : Les minima locaux de chaque intervalle I_l se trouvent sur une enveloppe convexe. Cette propriété est toujours vérifiée lorsque le gain apporté par la zone morte est significatif (voir figure 2.15). Par conséquent, D^∗(r_l+1) > D^∗(r_l) implique que r_l est le rayon recherché. La recherche de la zone morte peut encore être accélérée en étudiant l’intervalle de recherche de γ^∗(.).

Encadrement du facteur de projection :

Le calcul de la fonction γ^∗(.), c’est-à-dire l’obtention du facteur de projection permettant d’at-teindre le débit cible pour une zone morte donnée, nécessite l’emploi de techniques de recherche de zéro d’une fonction, également coûteuses du fait de l’appel aux données. Nous proposons de diminuer le nombre de calculs en encadrant le domaine de recherche du zéro.

Soient R¹_ZM, R²_ZM ∈ R+ deux rayons de zone morte tels que R¹_ZM < R²_ZM , on note γ^∗₁ et γ^∗₂ les facteurs de projection correspondants, permettant d’atteindre le débit cible R_C. On a

2.5 Allocation de débits 63 Il s’agit là du principe même de la zone morte : pour un débit cible donné, plus le rayon de la zone morte est grand, plus les vecteurs hors zone morte sont quantifiés finement et donc plus le facteur de projection est petit.

Il en est de même si l’on exprime la zone morte en nombre de couches correspondant à la zone morte projetée :

Soient r1, r2 ∈R+ tels que r1 < r2 alors,

γ^∗(r₁) > γ^∗(r₂) (2.34)

Posons maintenant R¹_ZM = r₁γ^∗₁ et R_ZM² = r₂γ^∗₂, avec γ^∗₁ = γ^∗¡ R¹_ZM¢ et γ^∗₂ = γ^∗¡ R²_ZM¢ . En supposant que R1 ZM < R2 ZM,on a : r₁γ∗ 1 < r₂γ∗ 2 ⇔ r1 r2γ∗ 1< γ∗ 2 D’où l’encadrement suivant :

r1 r₂^γ

∗

1 < γ^∗₂ < γ^∗₁ (2.35)

Cette relation va permettre de réduire de manière significative le domaine de recherche de γ^∗. En effet, si l’on considère la suite (r_l)_l∈N définie plus haut, on obtient l’encadrement suivant :

rl r_l+1^γ

∗(r_l) < γ^∗(r_l+1) < γ^∗(r_l) (2.36) avec r_l= l− ε ∀l ∈N.

Il est également possible d’ajouter d’autres encadrements qui seront détaillés dans le chapitre 4. Ils sont basés sur une logique d’importance des sous-bandes dans le schéma complet. Ainsi, pratiquement, quatre ou cinq itérations suffisent à trouver γ^∗.

Nous allons maintenant présenter l’algorithme rapide basé sur les 3 propriétés décrites ci-dessus. L’algorithme proposé est sous-optimal : il n’assure pas de trouver le minimum global en raison du choix arbitraire de l’ensemble des valeurs test r_k. Toutefois, les tests ont montré qu’un choix du type ² = 0, 1 permet d’obtenir des résultats presque identiques à ceux correspondant à la zone morte optimale. La figure 2.16 confirme ce résultat et montre que l’algorithme rapide permet d’améliorer la distorsion par rapport au schéma QVA.

Algorithme rapide (quasi optimal) de recherche de la zone morte Algorithme 1 Début

Initialisation de ε

Initialisation du débit cible R_C

Initialisation de la zone morte : r₀= 0 Calcul de D^∗₀ = D^∗(r0) et de γ^∗₀ arrˆet = 0

l = 0

Tant que (arrˆet = 0) l = l + 1 r_l= l− ε Recherche de γ^∗_l (r_l) surh_r l−1 rl γ^∗_l−1 , γ^∗_l−1i Calcul de D^∗_l = D^∗(r_l) Si ¡ D^∗_l > D^∗_l−1¢ r_opt = r_l−1 γ_opt = γ^∗_l arrˆet = 1 Fin si

Fin tant que Fin

64 l’imagerie radiologique 0 0.5 1 1.5 0 5 10 15

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