Recalage par approches globales, locales, pyramidales et multi-échelles

1.3.3.1 Approche globale, approche locale

L'opération consistant à recaler deux images par une approche iconique peut prendre en compte, de façon séquentielle, une grande quantité (voire la quasi totalité) de pixels de l'image (parfois plusieurs millions). L'approche utilisée pour le recalage est alors dite globale.

Il est également possible d'adopter une approche locale qui consiste à considérer, in- dépendamment, des sous-parties des images (pouvant aussi être appelées imagettes). Un exemple de cette mise en correspondance par bloc est le recalage par Block Matching (BM). Initialement développée pour la compression vidéo, cette méthode a par la suite été adaptée pour reconstruire des volumes histologiques en appariant de proche en proche des images 2D (Ourselin et al., 2001). Cette approche permet de privilégier une sous-partie de l'image, ou au contraire d'en écarter certaines, considérées sans information pertinente pour le recalage. Cette dernière considération peut s'avérer très utile dans le cas d'un reca- lage de coupes histologiques ou autoradiographiques car les images peuvent présenter des artéfacts inhérents au protocole d'acquisition (exemple du plissement de coupes qui peut modier l'intensité et la géométrie d'une partie de l'image). Une description plus détaillée de cette approche est présentée en annexe A (p. 175).

1.3.3.2 Approche pyramidale, approche multi-échelles

La courbe des coûts optimisée par rapport aux paramètres de la transformation géométrique peut s'avérer bruitée et irrégulière. Le risque que l'algorithme d'optimisation tombe dans un minimum local est alors accru. Pour contrecarrer ce risque, une approche pyramidale peut être employée : il s'agit d'estimer la transformation mathématique sur des images sous-échantillonnées pour capturer les principales déformations, puis d'itérer l'opération sur des images échantillonnées avec une plus grande résolution jusqu'à atteindre la pleine résolution.

1.3. Mise en correspondance d'images 27

Les transformations de recalage mises en jeu peuvent être estimées au niveau de points de contrôle répartis dans l'image (exemple de la transformation appelée Free Form Defor- mation présentée dans le paragraphe suivant). Pour optimiser l'appariement des images, l'opération de recalage peut être itérée, en augmentant progressivement le nombre de points de contrôle considérés : nous parlons alors ici d'un recalage estimé par une approche multi-échelles.

Ces approches permettent d'estimer des transformations de déformation avec un pas d'ex- ploration variable. Les processus d'itération mis en place sur des données de plus en plus résolues ou sur des grilles de points de contrôles de plus en plus denses permettent égale- ment d'optimiser le temps de calcul global.

1.3.4 Classes de transformations

Pour mettre en correspondance deux images, diérentes transformations peuvent être consi- dérées. Elles sont souvent classées en deux grandes catégories : la catégorie des transforma- tions anes et celle des non-anes. Les paragraphes suivants présentent les transformations utilisées dans ce projet de thèse.

1.3.4.1 Transformations anes

Les transformations anes applicables à une image s'écrivent sous la forme de l'équation 1.2.

∀ X ∈ Itest, Taf f(X) = A.X +

− →

t (1.2)

où X(x1, x2, ..., xN) représente l'élément (pixel) de l'espace de dimension N des coordonnées

spatiales de l'image Itest à recaler, N valant 2 en 2D, 3 en 3D ou 4 s'il s'agit d'une série

d'images dynamiques TEP ; A est une matrice réelle de dimension N ×N et −→t , un vecteur réel de dimension N symbolisant la translation appliquée. Le nombre maximum de degrés de liberté (ddl) d'une telle transformation est donc de ddl = N ×N +N ; soit 6 pour un espace en 2D et 12 pour un espace en 3D. Une transformation ane conserve le parallélisme et réciproquement.

La matrice A peut se décomposer en un produit de matrices de rotation (orthogonale et dont le déterminant vaut 1 ), d'homothétie (matrice diagonale à coecients non nuls) et de cisaillement (matrice triangulaire inférieure à diagonale nulle). Si la matrice A n'est décrite que par des paramètres de rotation, alors il s'agit là d'une transformation rigide, ayant jusqu'à 3 ddl en 2D et 6 en 3D (voir gure 1.13(a)).

Le résultat de l'application d'une transformation ane en général sur un objet 3D est illustré en gure 1.13(b).

1.3.4.2 Déformations non anes

Le recalage de certaines images nécessite l'usage d'une transformation possédant un plus grand nombre de degrés de liberté, i.e. plus exible qu'une transformation ane. Les transformations géométriques qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme de l'équation 1.2

sont appelées transformations non anes, ou parfois transformations non linéaires par abus de langage.

Ces transformations non anes peuvent être dénies par un nombre ni de paramètres (transformations paramétriques) ou au contraire par autant de vecteurs de déplacements qu'il y a de pixels dans l'image (transformations libres). Les algorithmes utilisés peuvent minimiser simultanément un terme d'attache aux données et une énergie de régularisation (approche élastique) ou optimiser alternativement ces deux termes (approche uide). Cette dernière approche donne des résultats plus précis (localement) mais des déformations moins lisses.

Parmi les transformations élastiques, nous pouvons citer la transformation appelée Free Form Deformation (FFD), transformation paramétrique contrairement à ce que son appellation free laisse supposer. Pour déformer l'objet considéré, cette transformation s'appuie sur une grille constituée de p points de contrôle, répartis dans l'image et se- lon toutes ses directions. Sur chacun d'entre eux et pour chaque dimension est appliquée une fonction mathématique, pondérée par des coecients Ci,j,k = (cxi,j,k1 , cx

2

i,j,k, ..., c xN

i,j,k), qui

va permettre d'exprimer les vecteurs de déplacement en chaque point de l'image de façon continue (Sederberg and Parry,1986).

Cette transformation a donc N ×p degrés de liberté pour déformer l'image Itest : si l'on

considère par exemple une image 3D (N = 3) et une grille ayant 10 points de contrôle selon chaque axe du référentiel (p = 10×10×10 = 1000), la transformation FFD sera caractérisée par 3000 ddl, représentés par l'ensemble de coecients Ci,j,k, associés à chaque point de

contrôle de la grille et avec i, j, k dénis par ∀ i, j, k ∈ N3_{, i, j, k ≤ 10(dans notre exemple).}

Les fonctions B-splines cubiques, fonctions polynomiales par morceau (Coquillart,1990;Lee et al., 1997) sont souvent utilisées car elles possèdent de bonnes propriétés mathématiques (à support ni, de classe C2_{). Le champ de déplacement local (u, v, w) est alors décrit par}

l'équation 1.3 : ∀ X ∈ Itest, TF F D(X) = (x′, y′, z′) = (x + u, y + v, z + w) avec u = 3 ∑ l=0 3 ∑ m=0 3 ∑ n=0 cx_i0+l, j0+m, k0+n. Bl(r)Bm(s)Bn(t) (1.3)

1.3. Mise en correspondance d'images 29

avec B les fonctions B-splines cubiques, i0= ⌊ x/δx⌋−1et r = x/δx−⌊x/δx⌋, si δxest l'espace

entre deux points de contrôle et ⌊.⌋ la fonction partie entière. Les indices j0 (respectivement

k0) et s (respectivement t) sont dénis comme i0 et r en considérant y (respectivement z)

à la place de x. Les termes v et w sont également dénis par l'équation 1.3, en remplaçant x respectivement par y et z.

L'utilisation de la FFD pour recaler des images, notamment médicales, a démontré tant son ecacité que sa robustesse à travers de nombreux travaux centrés sur l'imagerie du thorax humain (Bardinet et al.,1996;Rueckert et al.,1999;Mattes et al.,2003), mais aussi sur celle du cerveau d'animaux (Dauguet et al.,2007).

Le résultat de l'application d'une transformation non ane sur un objet en 3D est illustré en gure 1.13(c). Notons que l'estimation d'une transformation non ane pour mettre en correspondance deux images peut, la plupart du temps, être réalisée. Cependant, si l'objet d'intérêt est très déformé, la mise en correspondance des données peut ne pas être adaptée. Pour apprécier la pertinence du recalage eectué, les paramètres de déformation estimés peuvent être appliqués à une grille formée de plans perpendiculaires et régulièrement es- pacés entre eux et dénie dans une matrice de taille équivalente à celle dénissant l'image à recaler. Une évaluation qualitative permet ensuite de visualiser les zones de l'image les plus déformées.

Figure 1.13  Représentation de l'application de transformations rigides (a), anes (b) et non anes (c) sur un objet 3D.