Le recalage d’un bˆatiment sur un MNS consiste en une optimisation d’un poly`edre mod´elisant ce bˆatiment sur ce MNS. Par souci de vraissemblance, nous imposons la non auto-intersection de la surface poly´edrique du mod`ele recal´e d´ecrivant le bˆatiment. De plus, pour simplifier le probl`eme et par coh´erence avec la nature 2.5D du MNS, le mod`ele poly´edrique recherch´e ne comporte pas de surplomb. Ceci simplifie la contrainte de non auto-intersection de la surface globale en une contrainte de non auto-intersection de chacune des faces poly´edriques en empˆechant les intersections globales de repliement.
Figure 9 – Recalage de bˆatiment `a topologie variable (bˆatiment filaire projet´e sur une orthopho- tographie).
La probl´ematique d’optimisation d’un maillage sur une observation a suscit´e de nombreuses recherches. [HDD+93] propose d’optimiser une surface triangul´ee en modifiant les coordonn´ees de
ses sommets. Appliqu´ee `a notre contexte poly´edrique, cette approche n´ecessite une triangulation arbitraire pr´ealable des faces du poly`edre initial afin de se ramener `a une surface triangul´ee o`u les sommets peuvent bouger librement. En effet, une surface triangul´ee n’impose plus aucune contrainte g´eom´etrique de coplanarit´e sur les sommets d´elimitant chaque face. Cette approche est efficace mais elle pr´esente deux principaux inconv´enients dans notre contexte. Premi`erement, cette triangulation arbitraire des faces fend les fa¸cades et les pans de toit de grandes diagonales sans r´ealit´e physique ou s´emantique. Deuxi`emement, cette m´ethode n’apporte aucune garantie de non auto-intersection de la surface triangul´ee recal´ee. Plus r´ecemment, [CSAD04] adopte l’approche duale en n’optimisant non plus la position des sommets mais les ´equations des plans supportant
Figure 10 – Recalage de bˆatiment `a topologie variable (visualisation 3D de la surface MNS et du bˆatiment).
les faces des poly`edres. Cette approche semble plus appropri´ee `a notre contexte o`u tant la donn´ee MNS que la s´emantique des mod`eles portent plus sur ses faces que sur ses sommets. L`a encore la surface optimis´ee ne pr´esente aucune garantie de non auto-intersection. De plus cette m´ethode ne maintient le poly`edre en cours d’optimisation qu’implicitement `a travers une partition de la donn´ee de recalage. Ainsi, une r´egion correctement d´etect´ee peut-ˆetre scind´ee en de multiples faces durant la phase finale d’export poly´edrique.
5 6 4 6 3 4 4 4 4 3 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3 3 3 3 4 4 6 3 4 7 5 6 5 5 5 5 5 6 5 5 4 5 5 6 5 4 5 4 6 4
Figure 11 – L’optimisation non contrainte d’un poly`edre demande (`a gauche) soit une trian- gulation pr´ealable `a une optimisation des coordonn´ees des sommets [HDD+93], (`a droite) soit
une tri´edralisation pr´ealable `a une optimisation des ´equations de plans supportant les faces poly- ´edriques.
La difficult´e de cette optimisation poly´edrique provient de sa double nature : combinatoire au niveau de sa topologie (e.g. liste des identifiants de sommets adjacents `a chaque face) et continue au niveau de sa g´eom´etrie (e.g. coordonn´ees des sommets ou, de mani`ere ´equivalente, ´equations des plans supportant chaque face). Une propri´et´e suppl´ementaire de l’approche propos´ee est la recherche d’une certaine forme d’hyst´er´esis : le poly`edre recal´e doit ˆetre le plus topologiquement proche possible du poly`edre initial. Ceci implique des modifications topologiques parcimonieuses pour ne remettre en cause la topologie du bˆatiment initial que si n´ecessaire. Ainsi un bˆatiment ambig¨u sera recal´e le plus fid`element possible `a une topologie initiale qui aura peut-ˆetre n´ecessit´e l’intervention humaine d’un op´erateur. Nous ne chercherons pas `a expliciter et `a quantifier cette notion de distance topologique entre deux poly`edres, ni `a la mettre en comp´etition avec la distance
3. Recalage cin´etique `a topologie variable de toits poly´edriques 29
g´eom´etrique en cours d’optimisation. Cette propri´et´e de parcimonie d´ecoulera naturellement et implicitement de l’approche cin´etique propos´ee et d´evelopp´ee au chapitre 6.
Dans le contexte de la reconstruction de bˆatiment, [VT05] propose une m´ethode de recalage g´eom´etrique de bˆatiments poly´edriques sur des donn´ees images. Cette m´ethode vise `a un ajustement g´eom´etrique d’un bˆatiment topologiquement juste et ne remet donc pas en cause sa topologie. Ainsi, il ne garantit aucune propri´et´e de non intersection sur le poly`edre recal´e. Cette m´ethode ne peut donc pas ˆetre appliqu´ee directement dans notre contexte : une topologie initiale erron´ee doit ˆetre remise en cause. A l’inverse, de nombreuses approches de reconstruction de bˆatiment optimisent d’abord la g´eom´etrie par la recherche de r´egions planes puis cherchent `a retrouver une topologie compatible avec la g´eom´etrie d´etect´ee. Ainsi, [Tai05] d´etecte des plans puis effectue une recherche combinatoire d’un bˆatiment parmi l’arrangement de ces plans, cette m´ethode souffrant d’une explosion combinatoire d`es que le nombre de plans d´etect´e est cons´equent. De son cot´e, [EAH08] essaie de retrouver la topologie du bˆatiment poly´edrique `a partir d’une segmentation en r´egions planaires d’un MNS. Ce probl`eme est mal pos´e et l’approche propos´ee repose sur des heuristiques soumises `a de multiples param`etres difficilement r´eglables.
Au niveau de nos contributions, le chapitre 4 propose une solution simple au probl`eme du reca- lage g´eom´etrique d’un poly`edre `a topologie fix´ee bas´e sur une r´eestimation it´erative ind´ependante des ´equations de chaque plan supportant chaque face du poly`edre. Cette estimation non-contrainte et ind´ependante des plans porteurs n’est possible que si tous les sommets sont tri´edraux (adjacents `a 3 faces uniquement). En effet, un sommet non-tri´edral est localis´e `a l’intersection de 4 plans ou plus, et cette intersection est en g´en´eral vide. Le chapitre 5 modifie la topologie initiale du poly`edre afin que le recalage pr´ec´edent soit aussi applicable lorsque des sommets ne sont pas tous tri´edraux. Nous introduisons ce probl`eme nouveau de g´eom´etrie algorithmique, et le nommons tri´edralisation. Ces deux chapitres coupl´es r´ealisent une m´ethode duale `a une triangulation suivie d’une optimisa- tion des coordonn´ees des sommets [HDD+93]. Enfin, le chapitre 6 apporte la garantie recherch´ee en modifiant parcimonieusement la topologie du poly`edre recal´e au cours du recalage : il n’aura aucune face auto-intersectante.
=
+
Figure 12 – Les superstructures d´etect´ees permettent de r´eduire les emprises des pans de toit principaux afin de ne les r´eestimer que sur la donn´ee ne correspondant pas `a des superstructures d´etect´ees.
Le recalage d’un poly`edre tri´edral 2.5D sur un MNS est r´ealis´e it´erativement, pour chaque face ind´ependamment, jusqu’`a convergence. La projection verticale d’une face sur le MNS permet de r´eestimer son plan porteur. C’est `a cette ´etape que les superstructures pr´ec´edemment d´etect´ees sont utilis´ees pour ne r´eestimer le plan porteur que sur les r´egions du MNS ne correspondant pas `a des superstructures, r´eduisant ainsi le biais d’estimation. L’estimation simple propos´ee minimise l’erreur verticaleLpint´egr´ee sur la r´egion du MNS dans la projection de la face `a r´eestimer r´eduite
par les projections des diff´erentes superstructures d´etect´ees.
Au niveau des extensions possibles de cette phase de r´eestimation g´eom´etrique au cours du re- calage, un sch´ema num´erique d’ordre sup´erieur permettrait d’obtenir des propri´et´es de convergence num´erique am´elior´ee. De plus, le MNS n’intervenant qu’`a cette ´etape de r´eestimation des plans et non aux ´etapes de tri´edralisation et d’´evolution cin´etique, il est possible d’´etendre facilement la m´ethode propos´ee `a d’autres types de donn´ees (images brutes, LIDAR...) et de modifier la mesure d’erreur pour permettre par exemple la r´eestimation de la position des fa¸cades. Enfin, une certaine robustesse pourrait ˆetre r´eintroduite en effectuant une r´eestimation contrainte des plans porteurs
qui pourraient alors conserver des propri´et´es de symm´etrie, d’horizontalit´e ou mˆeme des sommets non tri´edraux. Cette derni`ere extension permettrait de recaler des superstructures d´etect´ees comme un ensemble de plans contraints.