6. 2. Recalage étape par étape

L’idée étant d’une part de venir modifier (augmenter ou diminuer) le paramètre d’endommagement 𝑆_𝑓(𝑘). L’impact de cette modification se voit sur la courbe de Wöhler comme présenté sur la Figure 90. Soit le modèle prévoit une rupture trop tôt et donc il faut augmenter 𝑆_𝑓(𝑘) de façon à ce que le résultat du modèle 𝑂𝐷̇𝑀 couplé soit le plus proche de la courbe de Wöhler définie par notre analyse « découplée ». Inversement, soit le modèle prévoit une rupture trop tard et il faut alors diminuer 𝑆_𝑓(𝑘).

Figure 90 : Méthodologie à suivre, pour l’ajustement de 𝑆𝑓(𝑘), suivant que la durée de vie sans recalage est surestimée ou sous-estimée

Visiblement cette modification n’est pas suffisante. Nous comparons alors les évolutions des variables d’endommagement en fonction du temps pour une sollicitation cyclique (104 cycles). Cette stratégie implique plus de précision et demande de jouer simultanément sur les paramètres S_f(k) et 𝛾_𝑘. Cette stratégie met certainement en avant les limites de l’identification basée sur l’approche « découplée ». Il se révèle difficile de superposer les cinétiques du modèle simplifié avec celles du modèle complet. Bien que les deux paramètres jouent sur la valeur de l’endommagement atteint à un nombre de cycles et sur la courbe de l’évolution de l’endommagement, le caractère non-linéaire de l’évolution de l’endommagement du modèle complet s’avère trop important, au-delà d’un certain nombre de cycles, et il est très difficile de la superposer à la cinétique du modèle simplifié. De l’expression analytique de la loi cyclique, nous déterminons une expression simple de l’endommagement (Eq. VI-20 pour k=1) à l’état 𝑡 + ∆𝑡, en fonction de l’endommagement au temps t et des autres paramètres de la loi. La valeur initiale de l’endommagement 𝑑₁= 𝑑₁(𝑡 = 0) est égale à l’endommagement atteint à la fin de la première montée en charge (calculé par la contribution «monotone»).

Eq. VI-20

Figure 91 : Recalage des paramètres 𝑆𝑓(𝑘) et 𝛾𝑘 en regardant l'évolution de l'endommagement lors d’un chargement cyclique de fatigue

L’idée est donc de jouer simultanément sur les deux paramètres de façon à ce que les évolutions de l’endommagement se superposent le plus possible, comme schématisé sur la Figure 91 (a) et b)).

Les résultats de l’identification sont présentés dans l’annexe confidentielle. La valeur des paramètres est donnée dans l’annexe confidentielle (ANNEXE 1).

Tableau 7 (annexe confidentielle): Paramètres identifiés du modèle

VI. 7. Conclusion

Dans ce chapitre, l’approche « découplée » (VI. 1. 1) du modèle 3D nous permet de déterminer les équations afin de construire les diagrammes de Haigh « asymptotiques » (VI. 1. 2) et les courbes de Wöhler (VI. 1. 3). Ces équations découlent de la contribution «de fatigue» de la loi d’endommagement temporelle intégrée pour des chargements cycliques. Les diagrammes de Haigh et les courbes de Wöhler sont alors obtenus de façon analytique et leurs calculs sont donc très rapides. L’hypothèse principale de l’approche « découplée » est de considérer que l’élasticité n’est pas couplée à l’endommagement. Cette approche, et les calculs qui en découlent, permettent de proposer une première identification des paramètres de fatigue.

Nous avons vu que dans la littérature, un grand nombre de travaux a été réalisé pour proposer divers diagrammes de Haigh généralement basés sur les travaux de [Gerber, 1874 ; Soderberg, et

Goodman, 1899] et [Boller, 1954]. Concernant les composites, les travaux se sont visiblement

focalisés sur les composites stratifiés. Le diagramme de Haigh que nous proposons ici a une forme bilinéaire. D’autres formes, plus complexes sont envisageables et ne sont pas présentées ici.

Les diagrammes de Haigh « asymptotiques », direction chaîne et direction trame, sont intimement liés par les paramètres 𝑚_𝑘𝑘, notamment 𝑚₃₃ qui joue un rôle en compression, équivalent pour les sollicitations direction chaîne et direction trame. Une démarche de construction et donc d’identification est proposée dans le but de construire des diagrammes

Endommagement critique d_crit(k)

104

Nombre de cycles à rupture

d_(k)

S_f(k)

S_f(k)

Endommagement critique dcrit(k)

104

Nombre de cycles à rupture

d_(k)

γ_(k)

γ_(k)

Sens d’évolution de Sens d’évolution de

modèle simplifié

modèle complet

cohérents dans les deux directions chaîne et trame. Des diagrammes de Haigh « asymptotique » peuvent être calculés dans la direction hors-plan, néanmoins le manque d’information expérimentale ne nous permet pas de traiter ce cas de façon approfondie.

En termes d’identification, un premier jeu de paramètre est obtenu pour trois températures, la température ambiante 20°C, une température basse -55°C et une température élevée 95°C. Dans le but de proposer un modèle d’endommagement 3D anisotherme, c’est-à-dire capable de prendre en compte des sollicitations thermomécaniques complexes, nous avons commencé à travailler sur d’éventuelles évolutions des variables du modèle en fonction de la température, dans les trois directions principales du matériau (VI. 4). Mais un manque de résultats expérimentaux à d’autres températures nous oblige à mettre en attente ces travaux. Nous avons tout de même reconstruit les diagrammes de Haigh et les courbes de Wöhler pour les trois températures (20°C, -55°C et 95°C). Au travers des identifications faites, nous avons conclu que plus la température est basse, plus la durée de vie modélisée est élevée.

La dernière étape (VI. 6) d’identification a consisté à recaler puis valider les paramètres en utilisant le modèle 𝑂𝐷̇𝑀 couplé complet, de façon numérique. Au travers des courbes de durée de vie, nous avons comparé les résultats d’identification analytique et numérique. Nous avons procédé au réajustement de deux paramètres de la loi d’évolution, en regardant à la fois les résultats donnés sur les courbes de Wöhler et sur l’évolution de l’endommagement en fonction du temps pour des sollicitations de fatigue.