Chapitre III PREMIERE LOI D’EVOLUTION TEMPORELLE DE L’ENDOMMAGEMENT POUR LES
III. 1. Loi d’endommagement temporelle issue d’une loi d’endommagement cyclique
III. 2. 1. Loi d’endommagement temporelle : contribution «monotone»... 71 III. 2. 2. Loi d’endommagement complète : contribution «monotone» et contribution «de fatigue», avec une variable d’endommagement par mécanisme ... 73 III. 3. Critère d’endommagement critique 𝒅 = 𝒅𝒄 comme indicateur de rupture pour le CMO tissé 3D ... 77 III. 4. Conclusion ... 82
Au travers du chapitre I, nous avons présenté divers modèles d’endommagement et plus particulièrement celui établi à l’ODM-CMO, prenant en compte les sollicitations monotones et celles de fatigue. Le modèle présenté dans ces travaux doit être complémentaire à ODM-CMO. Ainsi nous allons voir que nous pouvons faire un lien entre les lois en cycles et les lois temporelles, ce qui nous permettra de rendre complémentaire les deux modèles. C’est ce qui est mis en avant dans la partie (II.1). Dans un second temps (II.2), nous présentons la loi d’endommagement complète, pour les sollicitations monotones et de fatigue, qui n’utilise qu’une seule variable d’endommagement (pour les deux types de sollicitations) contrairement à tous les modèles présentés dans le chapitre I. Dans ces travaux, il est primordial de bien comprendre que la loi de comportement (du modèle établi) se base sur celle du modèle d’endommagement ODM-CMO. Il y a alors entre le modèle proposé et ODM-CMO beaucoup de choses en commun. Le modèle d’endommagement se différencie entre autre par le critère de rupture présenté en (III. 3). Nous conclurons ce chapitre en (II.4) en mettant l’accent sur une des difficultés majeures des lois (et donc des modèles) d’endommagement temporelles.
III. 1. Loi d’endommagement temporelle issue d’une loi d’endommagement
cyclique
Dans le domaine de la fatigue, le lien entre une loi d’endommagement temporelle 𝐷̇ = ⋯ et une loi d’endommagement en cycle 𝛿𝐷
𝛿𝑁= ⋯ peut être fait de façon relativement simple à condition que les équations de la loi de comportement le permettent.
La cinétique d’évolution de l’endommagement du CMO tissé permet, en étant intégrée sur un cycle de fatigue, de déterminer l’incrément d’endommagement par cycle (éventuellement au cours de l’histoire de chargement (Eq. III-1).
𝛿𝐷
𝛿𝑁= ∫
1 𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒𝐷̇ d𝑡
Eq. III-1
Dans le cas des travaux de [Gornet et Ijaz, 2011], par exemple, la loi d’endommagement temporelle 𝐷̇ = 𝑔(𝑦)〈𝑦̇〉+ pour les chargements de fatigue, définissant la fonction de 𝑔(𝑦) = 𝑒𝜆𝐷(Y𝑆𝐹)𝓈〈1
𝑆𝐹〉+. Elle est gouvernée par la force motrice équivalente Y. L’intégration sur un cycle nous permet d’obtenir la loi en cycles 𝛿𝐷
𝛿𝑁(Eq. III-2). 𝛿𝐷𝐹
𝛿𝑁 = ∫1𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒𝐷̇𝐹 d𝑡 = ∫𝑐ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑢𝑟 1𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒𝑔(𝑌)𝑌̇d𝑡
Eq. III-2
La loi intégrée (Eq. III-3) est la loi d’endommagement en cycles. 𝛿𝐷𝐹 𝛿𝑁 = 𝑒𝜆𝐷 1 + 𝓈(1 − 𝑅𝑦 𝓈+1) (𝑌𝑀𝑎𝑥 𝑆𝐹 ) 𝓈+1 Eq. III-3 où
𝑅
𝑌est le rapport de la force thermodynamique tel que 𝑅𝑌= 𝑌𝑚𝑖𝑛
𝑌𝑀𝑎𝑥
.
𝓈, 𝑆
𝐹,
𝜆 sont des paramètres.
Dans notre cas, la loi d’évolution de l’endommagement initiale va être différente. Un des objectifs est de garder la forme de la loi monotone du modèle ODM-CMO (Eq. I-18), mais lui en donner une écriture temporelle (en vitesse) 𝑑̇ = ⋯. Pour garder une certaine cohérence entre la loi monotone et la loi de fatigue, nous avons donc proposé une loi d’endommagement temporelle pour les chargements de fatigue de la même forme, aux paramètres près, que la loi monotone. La forme généralisée proposée est :𝑑̇𝑘 = (𝑑𝑠𝑎𝑡(𝑘)− 𝑑𝑘)𝛾𝑘𝑔(𝑦𝑘)〈𝑦̇𝑘〉+ Eq. III-4 𝑔(𝑦𝑘) est une fonction dépendante de la force motrice 𝑦𝑘, qui gouverne l’endommagement (en monotone et en fatigue) pour chaque mécanisme de dégradation. Nous proposons une fonction g (Eq. III-5) qui permet de retrouver la loi en monotone du modèle ODM-CMO (donnée ci-après en Eq. I-18). 𝑦0(𝑘)𝑓 est le seuil d’endommagement en fatigue et 𝑆𝑓(𝑘) et 𝓈𝑓(𝑘) sont les paramètres jouant sur la cinétique de l’endommagement de fatigue.
𝑔(𝑦𝑘) =𝓈𝑓(𝑘)+ 1 𝑆𝑓(𝑘) ( 〈𝑦𝑘− 𝑦0(𝑘)𝑓 〉+ 𝑆𝑓(𝑘) ) 𝓈𝑓(𝑘) Eq. III-5 De cette manière, en calculant l’intégrale de la fonction g entre la valeur minimale et la valeur maximale des forces motrices, sur un cycle, 𝛿𝑑
𝛿𝑁
= ∫
𝑦𝑦𝑀𝑎𝑥𝑔(
𝑦𝑘)
d𝑦𝑘𝑚𝑖𝑛 , nous obtenons la forme en cycle de la loi cinétique (temporelle) proposée (Eq. III-6), notons qu’à la décharge, 〈𝑦̇𝑘〉+= 0,
𝛿𝑑𝑘 𝛿𝑁 = (𝑑∞(𝑘)− 𝑑𝑘) 𝛾𝑘 [⟨𝑦(𝑘)𝑀𝑎𝑥−𝑦0(𝑘) 𝑓 𝑆𝑓(𝑘) ⟩ + 𝓈𝐹𝑎𝑡(𝑘)+1 − ⟨𝑦(𝑘)𝑚𝑖𝑛−𝑦0(𝑘) 𝑓 𝑆𝑓(𝑘) ⟩ + 𝓈𝑓(𝑘)+1 ] Eq. III-6
La loi fait donc apparaître les forces motrices maximale 𝑦(𝑘)𝑀𝑎𝑥 et minimale 𝑦(𝑘)𝑚𝑖𝑛, par mécanisme d’endommagement k.
La loi de fatigue proposée par [Rakotoarisoa, 2013] (Eq. III-7) est également gouvernée par les forces motrices. Le rapport de charge considéré est le rapport de la force motrice minimale sur la force motrice maximale 𝑅𝑦(𝑘) =𝑦(𝑘)𝑚𝑖𝑛 ⁄𝑦(𝑘)𝑀𝑎𝑥avec 𝑑𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑢𝑒𝑠𝑎𝑡(𝑘) , 𝑦𝑐(𝑘)𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑢𝑒, 𝛽𝑘, γk et 𝛿𝑘 des paramètres de fatigue à identifier.
𝛿𝑑(𝑘) 𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑢𝑒 𝛿𝑁 = (𝑑𝑠𝑎𝑡(𝑘) 𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑢𝑒 − 𝑑(𝑘) 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙(𝑚) )𝛾𝑘(〈(1 − 𝑅𝑦(𝑘)) 𝛽𝑘 𝑦(𝑘)𝑀𝑎𝑥(𝑚) − 𝑦0(𝑘)𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑢𝑒〉+ 𝑦𝑐(𝑘)𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑢𝑒 ) 𝛿𝑘 Eq. III-7
Prenons le cas d’un rapport de charge en force motrice 𝑅𝑦= 1 Quand le rapport de charge 𝑅𝑦(𝑘)= 𝑦(𝑘)𝑚𝑖𝑛
𝑦(𝑘)𝑀𝑎𝑥 est égal à 1, alors 𝑦(𝑘)𝑚𝑖𝑛= 𝑦(𝑘)𝑀𝑎𝑥, et donc le terme[⟨y(k)Max−𝑦0(𝑘)𝑓 Sf(k) ⟩ + 𝓈F(k)+1 − ⟨y(k)min−𝑦0(𝑘) 𝑓 Sf(k) ⟩ + 𝓈f(k)+1
] s’annule. La loi en cycle, obtenue en Eq. III-6 devient nulle pour un tel rapport de charge, δ𝑑𝑘
δN = 0.
Pour la loi de fatigue du modèle ODM-CMO (Eq. III-7), la grandeur (1 − Ry(k))β𝑘devient nulle également du fait que Ry(k) = 1. Les deux lois de fatigue sont équivalentes pour le rapport de charge en force motrice 𝑅𝑦= 1.
Prenons maintenant le cas d’un rapport de charge en force motrice 𝑅𝑦= 0 Lorsque le rapport de charge 𝑅𝑦(𝑘) = 𝑦(𝑘)𝑚𝑖𝑛
𝑦(𝑘)𝑀𝑎𝑥 est nul, alors 𝑦(𝑘)𝑚𝑖𝑛= 0. Les deux lois sont équivalentes. Pour notre loi (Eq. III-6), la partie faisant intervenir la force minimale 𝑦(𝑘)𝑚𝑖𝑛
disparait puisque y(k)min− 𝑦0(𝑘)𝑓 < 0 et alors la partie positive ⟨y(k)Max−𝑦0(𝑘) 𝑓 Sf(k) ⟩ + 𝓈f(k)+1 = 0. Notre loi en cycle devient (Eq. III-8) :
𝛿𝑑𝑘 𝛿𝑁 = (𝑑𝑠𝑎𝑡(𝑘)− 𝑑𝑘) 𝛾𝑘𝓈𝑓(𝑘)+ 1 𝑆𝑓(𝑘) ⟨𝑦(𝑘)𝑀𝑎𝑥−𝑦0(𝑘) 𝑓 𝑆𝑓(𝑘) ⟩ + 𝓈𝑓(𝑘)+1 Eq. III-8
La loi en cycle de fatigue du modèle ODM-CMO est alors équivalente (Eq. III-9) puisque (1 − Ry(k))β𝑘 = 1. 𝛿𝑑1 𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑢𝑒 𝛿𝑁 = (𝑑∞(1) 𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑢𝑒 − 𝑑1 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙(𝑚) )𝛾1(〈𝑦(1)𝑀𝑎𝑥 (𝑚) − 𝑦0(1)𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑢𝑒〉+ 𝑦𝑐(1)𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑢𝑒 ) 𝛿1 Eq. III-9
La contribution «de fatigue» de la loi temporelle et celle de la loi en cycles du modèle ODM-CMO, gouvernées par les forces motrices, sont donc équivalentes pour des chargements cycliques pour les rapports de charge extrêmes en force motrice 𝑅𝑦= 1 et 𝑅𝑦= 0. La Figure 47 montre les évolutions de l’endommagement pour une chargement monotone tout d’abord puis pour un chargement de fatigue 𝑅𝑦= 0. La montée en charge atteint une valeur de contrainte maximale, les cycles de fatigue qui suivent sont à amplitude constante dont la contrainte maximale est celle atteinte à la fin du chargement monotone et la contrainte minimale est nulle. L’évolution continue (pour les deux chargements) de la loi d’endommagement temporelle est représentée en bleu. L’évolution discontinue de l’endommagement par le modèle ODM-CMO est représentée en rouge. Pour le chargement monotone, l’évolution est continue (cette contribution n’a pas encore été décrite, elle sera rendue identique pour les deux modèles ODM-CMO et 𝑂𝐷̇𝑀 au paragraphe suivant. Par contre, pour le chargement de fatigue, l’état d’endommagement est calculé à chaque fin de cycle (principe de la loi en cycles). Si l’on s’intéresse donc au chargement cyclique, à chaque fin de cycle, l’évolution continue (𝑂𝐷̇𝑀) en bleue atteint l’incrément d’endommagement (ODM-CMO) en rouge.
Figure 47 : Equivalence entre le modèle ODM-CMO et 𝑂𝐷̇𝑀 pour un chargement de fatigue à rapport de charge nul