As publicações relativas ao uso de tecnologias em educação matemática indicam a possibilidade de construção de ambientes virtuais que permitem ao indivíduo indagar e/ou investigar objetos da Matemática. As situações colocadas podem estimular a indagação, experimentação e formação de conjecturas, com participação ativa do estudante em todo o processo (FRANCHI, 2002; BORBA e PENTEADO, 2001).
Segundo Kawasaki (2008) é comum encontrarmos em pesquisas que
uma das principais vantagens, ao incorporar as tecnologias computacionais nos processos de ensinar/aprender matemática, é a possibilidade de visualizar e manipular as ideias matemáticas (objetos virtuais matemáticos). Tal possibilidade decorre do fato de alguns softwares (ou aplicativos) matemáticos serem capazes de transformar situações algébrico-simbólica em situações espaço-geométricas. Parece haver consenso entre educadores matemáticos sobre o valor pedagógico da visualização no ensinar, no aprender e, até mesmo, no ‘fazer’ matemática. Dessa forma, recursos visuais (não necessariamente, os computacionais) sempre foram utilizados, por professores, para introduzir ideias matemáticas abstratas e complexas. No caso do ensino de Cálculo, alguns educadores exaltam, no uso do computador, a possibilidade de visualizar e alterar uma representação gráfica, simultânea e continuamente articulando-a, de forma dinâmica, às suas representações numérica e algébrica. (KAWASAKI, 2008, p. 43, grifos da autora) A mesma autora ainda nos conscientiza de que, ao utilizarmos o computador, é possível admitir que a Matemática esteja sendo produzida de uma maneira diferenciada à Matemática produzida através da utilização do lápis-e-papel. Isso ocorre porque, em geral, as propostas educacionais para a construção da Matemática por meio do uso do computador “não assumem a ideia tradicional de uma matemática ‘pronta’ ou ‘acabada’ a ser ensinada, mas admitem também a possibilidade de se ‘fazer’ matemática em uma atividade de aprendizagem” (KAWASAKI, 2008, p. 49). Isso vai ao encontro do que foi colocado por Tall ao incentivar uma abordagem corporificada do Cálculo, em que
trabalhamos as ideias a partir da percepção, antes de introduzirmos qualquer simbolismo (TALL, 2002, p. 11).
O ambiente informatizado parece-nos oferecer um possível local para o desenvolvimento de atividades que visam a transitar pelos Três Mundos da Matemática. De fato, muitas pesquisas indicam que o uso de tecnologias é um meio favorável para o aluno desenvolver hipóteses e/ou conjecturas. Conforme nos diz Franchi (2007),
a Informática facilita as visualizações, possibilita testar mudanças relacionadas a características algébricas de conceitos matemáticos e observar as variações resultantes no aspecto gráfico. A comparação entre as representações gráficas, algébricas e numéricas, a observação e a reflexão sobre o observado podem levar à elaboração de conjecturas. Borba e Penteado (2001, p.39) afirmam que as conjecturas surgem com frequência em aulas utilizando tecnologias como o computador ou as calculadoras e que, se debatidas com a classe, podem levar a descobertas. (FRANCHI, 2007, p. 184)
Kawasaki (2008) faz referência a Tikhomirov (1981) para explicar que a atividade humana, quando mediada pelo computador, “altera de forma qualitativa a estrutura da atividade intelectual humana, reorganizando a memória, as formas com que passamos a armazenar a informação e com que organizamos a sua busca” (p. 48).
Para dar ao Cálculo um significado humano devemos tirar vantagens de softwares de manipulação (TALL, 2002, p. 9). Os alunos podem manipular diferentes tipos de gráficos, desde aqueles mais simples até os que possuem irregularidades, que exigiriam um tratamento matemático em um sentido formal. Dessa forma, pode-se criar uma abordagem corporificada, que pode dar fundamento significativo para as mais refinadas ideias da Análise (TALL, 2002, p. 10).
A utilização de tecnologia pode ajudar as percepções de ideias matemáticas, favorecendo uma abordagem corporificada.
Um exemplo de corporificação no Cálculo, segundo Tall (2002), é a verificação de que a derivada em relação a x, de cos(x) é igual a –sen(x), pois o gráfico da derivada de cos(x) é o gráfico da função sen(x) de “cabeça para baixo”. Essa não é uma prova formal, mas é considerada aceita no mundo corporificado: a verdade está estabelecida, pois é possível “ver acontecer” a partir da comparação entre os gráficos.
O uso do computador com o software adequado pode ser um auxiliar para trabalharmos o mundo corporificado no Cálculo, uma vez que possibilita o trabalho com o
modo de representação encenado (através da ação) e icônico (visual), enquanto os livros trazem apenas a parte icônica.
Os softwares de geometria dinâmica, por exemplo, dão ao aluno a possibilidade de explorar conceitos a partir da mudança imediata em um gráfico quando os dados são modificados. Existem alguns softwares que possibilitam a visualização, ao mesmo tempo, dos dados de maneira algébrica e geométrica, sem deixar de lado a possibilidade de explorar o gráfico em uma planilha, tudo em uma mesma interface.
Um exemplo do uso dos recursos dos softwares de geometria dinâmica (como o GeoGebra, por exemplo) é a construção de retas secantes a uma curva para explorar o conceito de derivada. Dada uma função f(x), um ponto P(x, f (x)) sobre o gráfico de f (x), determina-se um ponto Q(x+∆x,f(x+∆x))e uma reta secante à curva passando pelos pontos P e Q. Utilizando o Controle Deslizante38 é possível fazer x∆ tender a zero e observar as mudanças na inclinação da reta secante, tendendo a se tornar tangente à curva no ponto P (Figura 10).
Figura 10: Exploração do conceito de derivada por meio de retas secantes Fonte: Elaborada pela autora.
Interpretamos que, por meio de uma atividade desse tipo, seria possível não apenas a corporificação como também a proceitualização a partir da reflexão sobre a ação realizada e do uso da simbologia adequada.
Concordamos com Tall (2002), que o uso adequado de um software nos permite organizar várias atividades que podem levar o aluno a realizar experiências de pensamento, favorecendo a corporificação de conceitos de Cálculo.
Observemos que o uso do computador não é o único meio para corporificação em Matemática. Para Lima (2007), a corporificação também acontece por meio de experiências mentais em que o indivíduo pode manipular um objeto “em seu pensamento, de forma a analisa-lo e levantar conjecturas sobre propriedades do objeto ou de uma situação” (p. 74).
Ao falar sobre a construção de abordagens corporificadas para conceitos matemáticos, Tall (2002) destaca dois conceitos básicos a serem considerados, o de organizador genérico e o de raiz cognitiva:
um organizador genérico é um ambiente (ou micromundo), que permite ao aluno manipular exemplos e (se possível) não-exemplos de um conceito matemático específico ou um sistema de conceitos relacionados. uma raiz cognitiva é um conceito que é (potencialmente) significativo para o aluno no momento, embora contenha as sementes da expansão cognitiva para definições formais e posterior desenvolvimento teórico. (TALL, 2002, p. 12)39
Comumente, uma raiz cognitiva é um conceito corporificado. Por exemplo, a noção de retidão local é uma raiz cognitiva para a diferenciação e o software Visual
Cálculo pode ser o seu organizador genérico.
Tall (2012) se refere aos organizadores genéricos como ambientes (ou micromundos) que permitem a manipulação e usa o termo “genérico” para indicar que a atenção do aluno é dirigida a certos aspectos que possibilitam a corporificação do conceito, mesmo o mais abstrato.
Os softwares de geometria dinâmica, mais especificamente o GeoGebra, embora não tenham sido projetados para trabalhar um conceito matemático específico, ou uma determinada raiz cognitiva, possuem recursos que possibilitam manipular exemplos e não exemplos (exemplos em que a intuição é falha, sendo necessário a utilização da Matemática formal) de conceitos matemáticos, fundamentados em raízes cognitivas, com vistas a um posterior desenvolvimento teórico.
39 Tradução nossa para: “• a generic organiser is an environment (or microworld) which enables the learner
to manipulate examples and (if possible) non-examples of a specific mathematical concept or a related system of concepts (Tall, 1989.). • a cognitive root (Tall,1989) is a concept which is (potentially) meaningful to the student at the time, yet contain the seeds of cognitive expansion to formal definitions and later theoretical development.”
Com o uso de diferentes recursos do GeoGebra, como por exemplo as possibilidades de representação algébrica, gráfica, numérica, o uso do Zoom e do controle deslizante, é possível organizar ambientes nos quais as propostas de atividades dirijam a atenção do aluno para um determinado aspecto, possibilitando a corporificação, trabalhando raízes cognitivas e, consequentemente, lançando bases para futuras definições formais. Nesse sentido interpretamos que o ambiente construído pode ser um organizador genérico.
No próximo capítulo apresentamos o processo de construção de nossa investigação, levando em conta os fundamentos teóricos aqui discutidos.
CAPÍTULO 3 METODOLOGIA
Apresentamos neste capítulo o caminho que construímos para a nossa investigação sobre a formação do conceito de convergência de sequências e séries numéricas, em um grupo de alunos cursando a disciplina de Cálculo II.
A metodologia qualitativa foi a escolhida para a pesquisa e as razões decorrem das características de todo o trabalho realizado. Procuramos apresentar e justificar as escolhas feitas na trajetória.
Como dito anteriormente, nosso interesse inicial pela aprendizagem de séries infinitas decorre de nossas experiências como discente e docente. Definir o interesse de pesquisa a partir de sua vivência é, segundo Bogdan e Biklen (1994, p. 84) uma característica de um investigador qualitativo. Os autores indicam que esse investigador parte para a pesquisa com algumas hipóteses formuladas, que funcionam como estímulo inicial, mas que podem ser modificadas e reformuladas à medida que os estudos avançam. De fato, nosso foco de pesquisa construiu-se e se delimitou à medida que os estudos teóricos foram sendo realizados. Inicialmente, procuramos entender o que poderia contribuir para a aprendizagem de séries e buscamos construir atividades com esse fim. Tínhamos a ideia de que a dificuldade dos alunos na aprendizagem estava na passagem do pensamento matemático elementar para o pensamento matemático avançado e pretendíamos desenvolver um ambiente no qual essa passagem ocorresse de maneira tranquila. Para isso, estudamos os referenciais relacionados ao Pensamento Matemático Avançado.
Um dos principais aspectos identificados nos estudos realizados foi a transição do pensamento matemático elementar para o avançado que, de acordo com Dreyfus (1991), ocorre ao se gerenciar a complexidade da Matemática, principalmente por meio dos processos de representação e abstração, e que a transição também está relacionada com os processos de intuir, descobrir, verificar, definir, provar, entre outros. Costa (2002, p. 259) indica a importância de construir atividades que propiciem a formulação de conjecturas para, posteriormente, buscar refinamento e prova. Nossa proposta é que ambientes informatizados podem ser construídos de modo a estimular a formulação criativa de conjecturas pelo estudante. Determinados softwares, em especial os de geometria
dinâmica, dão ao aluno a possibilidade de manipular a Matemática de uma maneira que não seria possível apenas com lápis e papel como, por exemplo, utilizar o zoom em locais determinados de gráficos ou figuras, visualizar a variação dos gráficos das funções quando são variados os valores dos parâmetros, plotar uma quantidade grande de pontos em um tempo curto, realizar vários cálculos de difícil manipulação ao mesmo tempo, entre outros. Há ainda a possibilidade de manipular interfaces gráficas, algébricas e numéricas. Consideramos que esses recursos podem ser usados em atividades exploratórias relativas aos conceitos matemáticos estudados, que estimulem os alunos a observar determinadas características e propriedades e, principalmente, a levantar questionamentos e usar os recursos do software para testar suas hipóteses e caminhar em busca das soluções.
Com relação aos conceitos matemáticos, identificamos a convergência como conceito fundamental para os estudos das séries infinitas. Identificamos também a importância do conceito de convergência de sequências nos estudos de convergência de séries. A partir daí, direcionamos nossa atenção para a construção de atividades que explorassem aspectos da convergência, estimulando a formação de conjecturas; porém, visando às provas formais. Não estava claro para nós como trabalhar essa formalização, se realmente deveríamos chegar às demonstrações dos teoremas ou se nesse nível seria aceitável algum outro tipo de prova ou verificação. Também tínhamos dúvidas sobre como os conceitos identificados como importantes poderiam ser construídos pelos estudantes.
Um aprofundamento nos estudos permitiu-nos conhecer um quadro teórico elaborado por Tall (2002) para explicar o desenvolvimento cognitivo da Matemática dos indivíduos, enfocando três maneiras distintas de pensar sobre a Matemática e caracterizando os Três Mundos da Matemática: o corporificado, o simbólico e o formal. Interpretamos que a corporificação poderia ser a base, o fundamento para o caminho cognitivo a ser percorrido pelos estudantes rumo ao formalismo, no momento adequado.
Delimitado nosso foco de pesquisa, elaboramos a seguinte questão norteadora para a pesquisa:
Que contribuições uma proposta pedagógica baseado na corporificação de conceitos pode trazer para a compreensão do conceito de convergência de sequências e séries em uma turma de Cálculo?
Tendo essa questão como referência, nos propusemos as seguintes tarefas: (1) aprofundar os estudos teóricos sobre o Pensamento Matemático Avançado e sobre os Três
Mundos da Matemática; (2) explorar os recursos do software de geometria dinâmica GeoGebra, com vistas à sua utilização como ambiente para realização de atividades relativas à pesquisa; (3) elaborar atividades para exploração do conceito de convergência de sequências e séries infinitas; (4) implementar as atividades em sala de aula e registrar o processo de desenvolvimento; (5) analisar a implementação tendo como referencial para tal análise os quadros teóricos: Pensamento Matemático Avançado e Três Mundos da Matemática.
Nosso objetivo principal era verificar em que medida o desenvolvimento de atividades baseadas na corporificação dos conceitos, buscando a transição entre os mundos corporificado e simbólico, com utilização do GeoGebra, favorece a compreensão da convergência de sequências e séries. Nesse sentido, a metodologia qualitativa se mostrou adequada, pois, segundo Fernandes (1991), ela busca a compreensão mais profunda dos problemas, a fim de “investigar o que está ‘por trás’ de certos comportamentos, atitudes ou convicções” (p.3).
Decidimos aplicar as atividades elaboradas em um contexto natural de sala de aula. Para tanto, escolhemos classes de Cálculo Diferencial e Integral II, sob responsabilidade da pesquisadora.
Bogdan e Biklen (1994) afirmam que a investigação qualitativa possui cinco características principais:
1. Na investigação qualitativa a fonte direta de dados é o ambiente natural, consistindo o investigador o instrumento principal. [...]
2. A investigação qualitativa é descritiva. [...]
3. Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do que simplesmente pelos resultados ou produtos. [...]
4. Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma indutiva. [...]
5. O significado é de importância vital na abordagem qualitativa. [...] (BOGDAN e BIKLEN, 1994, p.s 47 – 51) Entendemos que nossas escolhas estão de acordo com as características acima. A primeira característica coloca o ambiente natural como fonte direta de coleta de dados e trata da importância do investigador que deve se introduzir no ambiente a ser pesquisado e recolher dados, por meio de um bloco de anotações ou com o auxílio de equipamentos de vídeo e áudio, que terão importante papel na análise. É o pesquisador quem revê os materiais registrados, sendo o seu entendimento o principal instrumento de análise. No caso da nossa pesquisa, o ambiente foi o da sala de aula da pesquisadora. Desse modo a
pesquisadora, atuando como docente na condução das atividades da pesquisa, estava naturalmente inserida no ambiente a ser pesquisado e pôde coletar os dados, usando diferentes modos de registro das atividades que conduziu.
A investigação qualitativa é descritiva, pois seus dados são expressos por palavras e figuras, ao invés de números. Os resultados obtidos são baseados nos dados registrados e são enunciados para ilustrar e substanciar a apresentação. Eles são analisados usando toda a sua riqueza e respeitando a forma em que foram transcritos ou registrados. No caso da nossa pesquisa, os instrumentos utilizados permitiram uma detalhada descrição da forma como as atividades se desenvolveram em sala de aula, constituindo importante material para a análise.
O processo é mais atraente que o resultado para o pesquisador qualitativo, pois ele está mais interessado em saber como as pessoas negociam os significados, como começam a utilizar determinados termos, ou ainda, como determinadas noções passam a fazer parte do senso comum. De fato, embora nos interessássemos pelos resultados finais em termos da aprendizagem de convergência de sequências e séries, nos preocupamos em acompanhar o processo de formação desses conceitos em cada etapa das atividades propostas.
A quarta característica nos diz que o pesquisador não recolhe os dados com o objetivo de confirmar as hipóteses previamente definidas, mas que as abstrações são construídas à medida que os dados recolhidos vão sendo agrupados. A forma de analisar os dados começa de uma maneira mais geral e se torna mais fechada, vai afunilando, com o passar do tempo. O investigador utilizará parte do estudo para perceber quais são as questões mais importantes. No caso da nossa pesquisa, não tínhamos uma hipótese previamente estabelecida a ser provada. Buscamos identificar as possíveis contribuições das atividades para a formação do conceito de convergência.
Por fim, é dito que o significado é de vital importância na abordagem qualitativa. Os investigadores estão interessados no modo como os participantes da pesquisa interpretam os dados coletados e fazem questão de se certificarem de que estão a aprender as diferentes perspectivas adequadamente. Ainda estabelecem estratégias e procedimentos que os permitem dar considerações do ponto de vista do investigado. Das cinco características citadas anteriormente, esta quinta não nos parece estar presente em nossa pesquisa.
Apresentamos a seguir o contexto e as características gerais da pesquisa de campo realizada.