A disciplina de Cálculo está presente no currículo da maioria dos cursos da área de exatas e em alguns cursos de outras áreas. O Cálculo é lecionado com mais ou menos profundidade de acordo com os objetivos do curso.
Encontramos vários autores que falam da importância do ensino de Cálculo. Para Barufi (1999), o Cálculo é um curso “básico, amplo e integrador, de caráter fundamental” (p. 3), pois serve para o estudo de funções de uma ou mais variáveis, taxas de variação de
grandezas e aproximação local de funções. Esses conteúdos constituem fundamentos para vários cursos. Lachini (2001) diz que o ensino-aprendizagem de Cálculo tem dois objetivos principais, “um deles é habituar o estudante a pensar de maneira organizada e com mobilidade; o outro, estabelecer condições para que o estudante aprenda a utilizar as ideias do Cálculo como regras e procedimentos na resolução de problemas em situações concretas” (LACHINI, 2001, p. 147). Ao citar Willcox9 et al, sobre a relação do Cálculo com o mundo real, Rezende (2003) concorda com Lachini ao dizer que o Cálculo é “imprescindível para a formação do cidadão” (p. 37, grifo do autor) e também é integrador do próprio conhecimento matemático, pois é “imprescindível para o desenvolvimento e organização interna da matemática e de suas diversas áreas” (p. 37). A pesquisadora Catapani (2001) considera que a disciplina de Cálculo tem por objetivo servir de base para as carreiras diversas, devido à sua grande aplicabilidade. Franchi (1993) destaca o importante papel do Cálculo como linguagem na representação dos fenômenos da realidade e como instrumento para a resolução de problemas. Essas manifestações nos mostram a importância da disciplina de Cálculo em cursos superiores, tanto para o desenvolvimento pessoal do aluno quanto como base para as demais disciplinas.
É fato que, apesar da reconhecida importância da disciplina de Cálculo nos currículos, muitos são os problemas com o seu ensino: aulas extremamente expositivas e formais; apresentação de uma Matemática pronta, levando os alunos à memorização de fórmulas; resolução de múltiplos exercícios, resultando em um processo mecânico de aprendizagem; alunos com defasagem na aprendizagem dos ensinos fundamental e médio, comprometendo a habilidade de abstração; dificuldade de operações com o infinito; pouco entendimento do conceito de limite e de convergência.
Segundo Igliori (2009, p. 13) tanto o insucesso dos alunos no Cálculo quanto a condição privilegiada da disciplina na formação do pensamento matemático avançado têm motivado muitos estudos sobre o ensino de Cálculo, constituindo a maior parte das pesquisas no ensino superior. Catapani (2001) considera que o ensino de Cálculo tem sido amplamente discutido devido aos problemas que enfrenta, como altos índices de evasão e reprovação.
Diversas questões têm sido apontadas por estudiosos da área como causa do problema, desde a forma tradicional de ministrar a disciplina até a falta de motivação por parte de professores e alunos envolvidos com o
9 Willcox et al (1971) diz que a importância do Cálculo deriva da potência e beleza intrínsecas de suas ideias
Cálculo. Dessa forma, ao invés de desempenhar importante papel no desenvolvimento da sociedade científica e tecnológica em que vivemos, o Cálculo tem-se colocado como barreira ao acesso profissional a muitos estudantes que conseguiram ingressar nas universidades. (CATAPANI, 2001, p. 49)
Há ainda o problema de o aluno desenvolver uma dependência do professor e não uma autonomia com os conceitos matemáticos e encontrar dificuldades em sua aplicação na vida profissional. Isso, segundo Soares e Sauer (2004), decorre da forma como são ensinados:
tradicionalmente, têm sido baseados em atividades, operações, técnicas, manipulação de softwares e outros procedimentos realizados pelos alunos, por solicitação de seus professores. O conhecimento matemático é apresentado sob a forma de regras e fórmulas, execução de algoritmos, informações sobre definições, teoremas (resultados) e linguagem simbólica. (SOARES e SAUER, 2004, p. 245)
Soares e Sauer (2004) afirmam que, com isso, o aluno passa a ser passivo, inseguro e dependente do professor para decidir se os resultados encontrados estão corretos ou não. Acrescentam ainda que o aprender passa a ser “assistir a aulas, observar o que é apresentado, copiar, repetir e apresentar respostas às questões, mais ou menos próximas do que foi planejado” (p. 245).
Um dos problemas apontados no ensino de Cálculo por Rezende (2003) está em um conflito pedagógico entre o que o professor pede para o aluno e o que o professor de fato faz em sala de aula: “Se nas aulas propriamente ditas o que prevalece são as demonstrações, nas avaliações o que se pede em geral é a técnica, os cálculos de limites, de derivadas, de antiderivadas e integrais” (REZENDE, 2003, p. 13).
Ainda para Rezende (2003, p. 324), as dificuldades de aprendizagem em um curso inicial de Cálculo vão desde “problemas de fundo emocional”, como medo de ser reprovado na disciplina, até “problemas de base” na formação Matemática do estudante. Para ele grande parte das dificuldades de aprendizagem é de natureza epistemológica, que foi por ele dividida em cinco macroespaços: discreto/contínuo, finito/infinito, variabilidade/permanência, local/global e sistematização/construção. A principal fonte de obstáculos epistemológicos seria a falta das ideias e problemas essenciais do Cálculo no ensino básico de Matemática.
São muitas as causas apontadas por Lachini (2001) para o insucesso de professores e alunos no trabalho com Cálculo.
Elas varrem um leque de explicações que vão desde o despreparo do aluno e a incompetência de professores até fatores institucionais, política implementada pelo governo e dependência de capital internacional. Sem perder de vista o contexto em que a escola está inserida, vem como os múltiplos fatores intervenientes na ação pedagógica, o pressuposto [...] é que, tanto o sucesso quanto o insucesso podem ser explicados também nas relações instituídas por professores e alunos, em torno do trabalho com o conteúdo de Cálculo. (LACHINI, 2001, p. 149, grifos do autor)
Alguns autores tecem considerações sobre como devem ser as aulas em um curso de Cálculo. De acordo com Barufi (1999), as aulas não devem ter como foco principal um “universo rigoroso e distante” (p. 150) no qual o aluno não consegue exercer qualquer tipo de crítica.
Para amenizar as dificuldades de natureza epistemológicas, Rezende (2003) sugere que “se permita às ideias básicas do Cálculo participar efetivamente da tecedura do conhecimento matemático no ensino básico” (p. 442). Isso sendo feito, “as dificuldades do ensino superior de Cálculo serão, em grande parte, superadas, tanto quanto as do próprio ensino de Matemática” (REZENDE, 2003, p. 442).
Ainda com relação à sala de aula, Lachini (2001) sugere algumas modificações para as faculdades: redefinir a sala de aula como um espaço de trabalho e não meramente um local de repasse de uma mercadoria; no caso do Cálculo, sendo o professor o entregador e o aluno o consumidor, assim, seriam modificadas também as relações entre os agentes. Sugere outras modificações que, para ele, são pequenas, mas significativas:
passar do dar e do assistir aula para o fazer aula; passar da presença- assinatura para a presença ativa em sala de aula; passar da avaliação através de provas para a avaliação através do trabalho efetivamente realizado ao longo do ano letivo; passar de um processo de memorização para um processo de incorporação. (LACHINI, 2001, p. 188)
A importância das sequências e séries, inseridas nas disciplinas básicas de cursos superiores, também tem sido destacada por diversos autores pelas possibilidades de utilização desses conceitos em diferentes contextos. James Stewart, um renomado autor de livros didáticos tenta, na introdução de um dos capítulos de seu livro Cálculo, volume 2, mostrar aos alunos a importância do conteúdo:
Muitas das funções que surgem em física-matemática e química, tais como funções de Bessel, são definidas como somas de séries assim, é importante nos familiarizarmos com os conceitos básicos de
convergência de sequências e séries infinitas. [...] Os físicos também usam séries de outra maneira [...]. Em áreas de estudo tão diversas quanto óptica, relatividade especial e eletromagnetismo, eles analisam fenômenos trocando uma função pelos principais termos da série que a representa. (STEWART, 2009, p. 640).
Na dissertação de Nunes (2001) sobre convergência de sequências numéricas, é feita referência à pesquisa da francesa Aline Robert (1982) que diz que “a convergência das sequências numéricas faz parte de um campo essencial nos fundamentos da análise matemática, campo que concerne às funções numéricas, aos limites de funções, à convergência, aos números reais” (NUNES, 2001, p. 9).
A introdução do conteúdo de sequências e séries em sala de aula não é simples. Bagni (2005, p.8) ressalta diferentes aspectos relativos aos processos cognitivos envolvidos. Na fase inicial, os alunos abordam os conceitos de uma maneira intuitiva sem uma compreensão completa do problema. Essa fase é principalmente operacional. Depois os alunos passam para uma fase de maturidade, na qual o aprendizado melhora gradativamente. O professor tem que ter profunda habilidade epistemológica para ajudar os alunos nessa transposição didática. Bagni aponta que, ao considerar uma abordagem que passa primeiro por uma concepção operacional, para então passar por uma concepção estrutural, algumas dificuldades podem ocorrer, como por exemplo, na medida em que uma série está sendo ensinada, a passagem da concepção operacional para a estrutural tem sido muito árdua por causa da necessidade de algumas noções básicas, como o conceito de limite. Outro problema apontado é a passagem de operações finitas para o infinito (BAGNI, 2005, p. 9).
Para o ensino de séries, Bagni (2005, p. 2) apresenta algumas sugestões. Segundo ele, ao introduzirmos séries em sala de aula devemos saber que os alunos geralmente consideram que uma soma de infinitos termos terá como resultado um valor infinitamente grande. Podemos tentar sanar esse tipo de pré-conceito utilizando recursos visuais.
Tomemos como exemplo a série + + + + +L
32 1 16 1 8 1 4 1 2 1
. É fácil ver, por meio da figura 3, que a mesma é convergente.
Figura 3: Visualização geométrica da convergência da série geométrica de razão 2 1 Fonte: Elaborada pela autora.
Esse exemplo pode ser muito útil, pois mostra uma soma de infinitos termos que não possui um resultado infinito. Porém, Bagni (2005) observa que é necessário cautela, pois os alunos poderiam perceber que os termos da série se tornam “indefinidamente pequenos e essa condição pode ser considerada erradamente como suficiente para a convergência de uma série infinita”10 (p. 3). A série harmônica seria uma alternativa para superar esse equívoco. Devemos tomar o cuidado, também, para que os alunos não procurem resolver todas as séries infinitas através de recursos visuais.
Ainda sobre o ensino de sequências e séries, Nunes (2001) apoia-se em Aline Robert para dizer que a aprendizagem desses conteúdos deve partir da ação. Ressalta que, para afastar certas representações erradas, devem ser usadas sequências didáticas bem escolhidas.
As questões relativas às dificuldades no ensino de sequências e séries, bem como do ensino de Cálculo, têm sido debatidas em âmbito internacional. Rezende (2003, p. 3) relata que o fracasso no ensino do Cálculo não é uma questão apenas nacional, pois vários trabalhos sobre o ensino e a aprendizagem de Cálculo têm sido publicados em outros países. Um exemplo é o texto deBagni (2005) já citado anteriormente nesse capítulo. Um referencial usado em muitos desses trabalhos é o do Pensamento Matemático Avançado, cujas “questões giram em torno das dificuldades encontradas nas aprendizagens dos conceitos básicos do Cálculo, tendo a psicologia cognitiva como pano de fundo para suas análises epistemológicas” (REZENDE, 2003, p. 4).
No Capítulo 2 veremos um pouco mais sobre o Pensamento Matemático
Avançado e sobre a teoria dos Três Mundos da Matemática que têm como um dos seus principais articuladores o pesquisador David Orme Tall.
10 Tradução nossa para “indefinitely small and this condition can be considered wrongly as a sufficient one
CAPÍTULO 2
BUSCANDO A FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
É fato que muitos alunos que tinham facilidade com a Matemática nos ensinos fundamental e médio passam a ter dificuldade ao ingressarem no ensino superior.
Na Matemática trabalhada nos cursos de Cálculo, apesar de não haver formalização como nos cursos de Análise, faz-se um movimento em direção à apresentação dos conceitos por meio de suas definições e à dedução ou demonstração de resultados. O aluno que vem do fundamental e médio provavelmente não vivenciou esse tipo de abordagem.
Segundo Tall (1991, p. 3), muitas vezes no ensino de Matemática na graduação, é apresentada a forma final da teoria ao invés de o aluno participar do ciclo de criação da mesma. Ele ainda cita Skemp (1971) dizendo que “as atuais abordagens do ensino na graduação tendem a dar aos alunos o produto do pensamento matemático, em vez de o
processo do pensamento matemático”11. Concordamos com essas ideias e entendemos que não conhecer o processo pode dificultar o desenvolvimento dessa nova forma de pensar exigida para a Matemática avançada.
Dreyfus (1991) coloca que, geralmente, em um curso de Cálculo (e outros cursos), são informados inicialmente ao professor o livro que deverá utilizar e o conteúdo que deverá ministrar dentro de um prazo determinado. Isso dificulta o trabalho do professor, que não consegue se afastar das aulas teóricas típicas, em que são apresentados vários teoremas a serem provados e suas aplicações, tratando a Matemática de modo formal e acabado. Apesar de esse professor saber que a Matemática não foi desenvolvida como é apresentada nos livros didáticos, ou seja, de saber que a Matemática foi, e ainda é desenvolvida através de formulações intuitivas, tentativa e erro, desenhos que tentam expressar as estruturas do pensamento matemático, entre outras estratégias, muitas vezes ele a ensina como um produto acabado: apresenta apenas o resultado final, seguindo a sequência teorema, prova e aplicação. Essa maneira de ensinar, muitas vezes, se torna conveniente, pois “permite uma estrutura bem planejada do curso, bem como o progresso previsto pelo material, chegando, assim, a uma garantia quase certa de que a maioria do
11 Tradução nossa para: “current approaches to undergraduate teaching tend to give students the product of
material no currículo pode ser coberto”12 (DREYFUS, 1991, p. 27). Todavia, essa metodologia apresenta, pelo menos, uma desvantagem muito séria: ela é inflexível em termos de adaptabilidade para os alunos.
Ainda nos é colocado por Dreyfus (1991) que o tipo de aula apresentada anteriormente pode funcionar para alunos que têm grande facilidade com a Matemática, que já possuem uma “atitude matemática”. Entretanto, ela não funciona com a maioria dos alunos formados em cursos que possuem a Matemática como disciplina básica. Dreyfus (1991), embasado na pesquisa de Davis (1988), aponta que os alunos aprendem a Matemática como se fosse um ritual, ou seja,
o que a maioria dos alunos aprende em seus cursos de matemática é executar um grande número de procedimentos padronizados, moldados precisamente em formalismos, para obter respostas para uma classe de exercícios claramente delimitada. [...] Eles acabam com uma quantidade considerável de conhecimento matemático, mas sem a metodologia de trabalho dos matemáticos, de maneira que falta o know-how que lhes permite utilizar os seus conhecimentos de maneira flexível para resolver problemas de um tipo desconhecido para eles.13 (DREYFUS, 1991, p.
28).
Esses alunos aprendem a forma final da Matemática e não adquirem o conhecimento do desenvolvimento dos processos matemáticos. Alguns professores acham que apresentar a Matemática para os alunos em uma ordem lógica irá facilitar o entendimento dos mesmos. Contudo, para o aluno, essa formalidade inicial pode apresentar dificuldade no aprendizado. O essencial para o aluno é uma Matemática que cresce juntamente com ele, ou seja, que apresenta o “desenvolvimento de sua estrutura de conhecimento e os processos do pensamento” (TALL, 1991, p. 7).
Domingos (2001), em uma investigação teórica sobre o aprendizado de Matemática, concluiu que
há uma evidência bastante acentuada que suporta a importância de aprender com compreensão desde o início, por contraposição a uma aprendizagem que assenta na aquisição de determinadas habilidades
12 Tradução nossa para: “it allows for a well-planned structure of the course, as well as for predictable
progress through the material, and thus for a fairly certain guarantee that most of the material in the syllabus can be covered.”
13 Tradução nossa para: “what most students learn in their mathematics courses is, to carry out a large
number of standardized procedures, cast in precisely defied formalisms, for obtaining answers to clearly delimited classes of exercise questions.[…] They end up with a considerable amount of mathematical knowledge but without the working methodology of the mathematician, that is they lack the know-how that allows them to use their knowledge in a flexible manner to solve problems of a type unknown to them.”.
isoladas para as quais só a posteriori é desenvolvida uma compreensão de como é que estas funcionam formando um todo. Quando os alunos aprendem com compreensão eles são capazes de aplicar esses conhecimentos para aprender novos tópicos e para resolver novos problemas. (DOMINGOS, 2001, p. 113)
Segundo Dreyfus (1991), os processos mentais que o professor espera provocar no aluno para que ocorra a aprendizagem nem sempre acontecem por si sós e, mesmo quando acontecem, o aluno pode não ter consciência disso. Para esse autor, não basta definir e exemplificar um determinado conceito abstrato. Devem-se desenvolver atividades nas quais as propriedades possam ser obtidas a partir da definição. Isso é feito com o objetivo de levar o aluno à abstração e ele deve saber que esse é o objetivo da atividade.
Entre vários quadros teóricos que tratam do ensino e da aprendizagem da Matemática no ensino superior, alguns se destacam no que diz respeito aos processos cognitivos característicos dessa etapa e também à transição entre o tipo de pensamento exigido no ensino secundário para o exigido no superior.
No ano de 1985 um grupo de pesquisadores se organizou para escrever artigos relacionados a tal assunto. Estes artigos foram compilados em um livro, intitulado
Advanced Mathematical Thinking, que foi lançado em 1991, tendo David Tall como editor. A publicação traz os textos agrupados em três categorias, sendo elas: a natureza do pensamento matemático avançado; teoria cognitiva; e análise dos processos da pesquisa cognitiva em diferentes áreas da matemática avançada.
Dentre os autores desse grupo destacamos em nossa pesquisa as perspectivas de Tommy Dreyfus, David Tall, John Mason e Gila Hanna para descrever os processos envolvidos na construção do conhecimento matemático e a noção de prova em diferentes níveis de ensino. De Dreyfus utilizamos as ideias relativas ao conjunto de processos que constituem o pensamento matemático avançado, o que nos deu subsídios para a análise dos dados no que diz respeito à transição entre o pensamento matemático elementar e o avançado. De Tall nos apropriamos principalmente do quadro teórico sobre o desenvolvimento cognitivo em Matemática, denominado Três Mundos da Matemática, que foi usado para concepção das atividades e análise dos dados no que diz respeito à corporificação dos conceitos.
Esse mesmo aporte teórico é utilizado em outras pesquisas correlatas.
No cenário internacional destacamos as pesquisas de Anna Poynter (2004), que analisou a compreensão do conceito de vetor por meio de uma abordagem experimental, e de Juan Pablo Mejia-Ramos (2008) que estudou os meios utilizados pelos alunos de
graduação para construir argumentos matemáticos válidos para provar conjecturas em matemática. Tanto Poynter, quanto Mejia-Ramos, foram orientados por Tall.
No cenário brasileiro destacamos as pesquisas de Lima (2007) e outras por ela orientadas. Lima (2007) utiliza o quadro dos Três Mundos da Matemática para analisar questões relativas às concepções de equações apresentadas por alunos do Ensino Médio. Outros exemplos são as pesquisas de Badaró (2010), Freire (2011), Koch (2011), Santos (2011), todas orientadas por Lima. Ainda encontramos dissertações, orientadas por outros pesquisadores, relacionando os Três Mundos da Matemática com: a Modelagem (Sousa, 2010) e o conceito de função (Angelini, 2010).
Dedicamos este capítulo à discussão dos dois quadros teóricos: o Pensamento
Matemático Avançado e os Três Mundos da Matemática.