Noakes, McLeod e Hipel (1985) ajustaram modelos ARIMA sazonal, ARMA desazonalizado e autorregressivo periódico a dados de vazões médias mensais de 30 rios na América do Norte e do Sul, para testar a dependência de curto termo. As performances dos ajustes foram comparadas, usando as seguintes medidas de precisões: RMSE (erro quadrático médio), MAD (média absoluta divergente), MAPE (média absoluta do erro percentual) e MEDIAN APE (Erro percentual absoluto mediano). Os resultados sugeriram que o
modelo periódico autorregressivo, identificado pela função autocorrelação parcial, apresentou mais precisão na previsão.
Mendonça (1987) aplicou o modelo PARMA multiplicativo (PMIX) a dados de vazões dos rios St. Lawrence, Niger, Elkhorn e Yellowstone e concluiu que esse modelo é capaz de preservar altos valores de correlação, o que não é possível com os modelos PAR e PARMA. Ainda, segundo o mesmo autor, foi observado que o parâmetro autorregressivo anual, , presente nos modelos PMIX, mostrou possuir habilidade de reprodução da autocorrelação de longo termo significante, o que é requerido para a solução de muitos problemas hidrológicos. Foi observado também que, para séries que apresentam baixa dependência anual, os modelos PMIX de baixa ordem são capazes de preservar melhor as mais importantes estatísiticas do que os modelos PAR e PARMA.
Mendes (1990) utilizou o modelo PMIX (1,0,1,0)12 para vazões mensais
relativas a diversos aproveitamentos hidrelétricos situados no Brasil e concluiu que ele demonstrou melhor reprodução dos parâmetros históricos do que a apresentada pelos modelos de desagregação anteriormente utilizados.
Ooms e Franses (2001), baseados na plotagem de séries temporais e em autocorrelações periódicas amostrais, constataram que dados de vazões mensais dos rios exibem longa dependência, além de pronunciada sazonalidade, e que, na realidade, as características de longa dependência variam com a sazonalidade. Para descrever essas duas propriedades conjuntamente, propôs um modelo periódico sazonal de longa dependência,
SPARFIMA (p,d,q)x(P,D,Q)12 e ajustou-o aos dados de vazões do rio Fraser.
Foram comparadas as aplicações do modelo SPARFIMA (3,0,0)x(0,Dm,0) com
os modelos PAR (1,1,1,1,1,3,2,1,1,3,1,1) e PARMA (1,1) aplicados por McLeod (1994) e por Vecchia e Ballerini (1991), respectivamente, obtendo-se valores bem próximos quanto às médias e desvios periódicos e variância dos resíduos.
Lovatte (2003) adaptou os modelos da família PARMA multiplicativo para uso em microcomputadores e os ajustou, juntamente com os modelos estocásticos
periódicos das famílias PAR(p,q), PARMA(p,q), às séries históricas de vazões médias mensais para estações localizadas nos rios São Francisco e Amazonas. Concluiu que o modelo PMIX apresentou melhor desempenho na preservação de altas correlações anuais e periódicas.
De acordo com Sveinsson et al. (2007), apesar da disponibilidade de sofisticados pacotes computacionais estatísticos e matemáticos com propósitos gerais, softwares especializados em simulação de séries hidrológicas temporais, tais como de vazões sazonais, tem sido bastante atraentes devido, principalmente, à natureza particular de processos hidrológicos nos quais propriedades periódicas são importantes na média, variância, covariância e coeficiente de assimetria e ao fato de algumas séries temporais hidrológicas possuírem complexas características como dependência e memória de longo termo. Exemplos de software orientados especificamente para simulação de séries temporais hidrológicas são: HEC-4 (U.S ARMY CORPS OF ENGINEERS, 1971), LAST (LANE; FREVERT, 1990), SPIGOT (GRYGER; STENDINGER, 1990) , (SAMS versão 10 (SALAS et al. 2000) e SAMS versão11 (SVEINSSON et al., 2007).
Ismail (2005) aplicou modelos estocásticos periódicos das famílias PAR(p) e PARMA(p,q) e modelos de desagregação Valencia e Schaake, Mejia-Rouselle, Lane e SPIGOT a dados de vazões mensais de rios localizados na Malásia. O modelo periódico que apresentou melhor ajuste aos dados foi o PAR(1) e o melhor modelo de desagregação foi o Valencia e Schaake. A avaliação dos modelos foi baseada em características estatísticas, como média, desvio padrão, coeficiente de assimetria e correlação sazonal lag1.
Moura (2005) aplicou os modelos estocásticos periódicos da família PARMA(p,q,P,Q) multiplicativo à serie de vazões mensais de postos fluviométricos localizados no território brasileiro e, constatou que a introdução dos coeficientes autorregressivos melhorou, na maioria dos casos, a reprodução dos coeficientes de autocorrelações anuais, mostrando a importância destes parâmetros para a reprodução da dependência de longo termo.
Mondal e Wasimi (2006) apresentaram uma nova técnica para geração de série sintética do modelo PAR, buscando reduzir alguns valores de parâmetros para zero. O método desenvolvido foi aplicado para a previsão e geração de vazões mensais do rio Ganges. Os resultados demonstraram que a ordem do modelo PAR proposta pode capturar razoavelmente bem a variabilidade das vazões mensais e é capaz de preservar estatísticas históricas de curta e longa dependência. Observaram, ainda, que os maiores coeficientes de determinação, para o modelos ajustados, foram obtidos para o período seco, quando comparados com os relativos ao período úmido. Os autores obtiveram melhor performance com modelos apresentando alguns parâmetros fixos com valores zero, do que os obtidos com respectivos modelos completos, para as séries estudadas.
Segundo os mesmos autores, se simulações e previsões feitas por meio de modelos parcimoniosos são tão boas quanto aquelas feitas por modelo completo, e alguns dos parâmetros no modelo não têm força explicativa real, não existe razão para se preferir modelo completo ao modelo parcimonioso. Modarres e Eslamian (2006) aplicaram o modelo sazonal multiplicativo ARIMA (1,1,0)x(0,1,1) aos dados de vazões mensais do rio Zayandehrud, na província de Isfahan ocidental, Irã. Vazões previstas pelo modelo para 24 meses mostraram a habilidade do modelo em preservar as propriedades estatísticas das vazões.
No Quadro 1 estão descritos modelos de agregação e desagregação utilizados para modelagem de séries sazonais com dependência de longo termo, bem como respectivas vantagens e desvantagens.
Autor, ano Modelo Vantagens do modelo Desvantagens do modelo Thomas e Fiering, 1962 PAR(p) Periódico Autorregressivo
Estatísticas em nível sazonal são preservadas (curta dependência)
Necessita de poucos parâmetros e são menos afetados pelo tamanho da amostra (ISMAIL, 2005) A ordem do modelo pode ser identificada por meio da Função Autocorrelação Periódica (PACF) e Função Autocorrelação Periódica Parcial (PEACF) (THOMAS; FIERING, 1962)
Dificuldade em preservar a correlação da mesma sazonalidade para consecutivos anos (longa dependência) (MENDONÇA, 1987) Tao e Delleur, 1976 PARMA(p,q) Periódico Autorregressivo e Média Móvel
Estatísticas em nível sazonal são preservadas (curta dependência)
Dificuldade em preservar a correlação da mesma sazonalidade para consecutivos anos (longa dependência) (MENDONÇA, 1987)
O modelo deverá ser testado para várias ordens, para ajuste à série de vazões (HARUN, 1999) Box e Jenkins, 1976 SARIMA (p,d,q)x (P,D,Q)w Integrado Sazonal Autorregressivo e Média Móvel Pequeno número de parâmetros
Não permite periodicidade nos parâmetros e não preserva a estacionariedade dentro da sazonalidade (HIPEL; MCLEOD, 2006)
Pode não ser apropriado para modelagem e previsão de vazões mensais (MONDAL; WASIMI, 2006)
Não preserva a estatística em nível sazonal e anual (curta e longa dependência) (DELLEUR; KAVVAS, 1978; HIPEL; MCLEOD, 2006) Mendonça, 1987 PMIX (p,q)x(P,Q)w PARMA Multiplicativo
Estatísticas em nível sazonal e anual são preservadas (MENDES, 1990; LOVATTE, 2003; MOURA, 2005)
Elevado número de parâmetros, dependendo das ordens p, q, P e Q
Quadro 1 - Modelos de agregação e desagregação utilizados para modelagem de séries sazonais com dependência de longo termo com suas respectivas vantagens e desvantagens
Autor, ano Modelo Vantagens do modelo Desvantagens do modelo Hui e Li,1995 PARFIMA (p,d,q) Periódico Integrado Fracionado Autorregressivo e Média Móvel
Permite que o parâmetro de integração fracionário dm varie
com a sazonalidade
Elevado número de parâmetros, dependendo das ordens p, d e q
Ooms e Franses, 1998 SPARFIMA (p,d,q)x (P,D,Q)w Sazonal Periódico de Longa Memória Descreve as características de longa dependência em função da variação sazonal
Elevado número de parâmetros, dependendo das ordens p, d, q, P, D, Q
Valencia e Schaake,1973
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