Le calcul des rayons contenant 10, 50 et 90% de la masse du système ces rayons sont désignés respectivement par R10, R50 et R90 nous fournit également de précieuses informations sur les ca-
ractéristiques du système. Ces rayons ne sont bien sûr exploitables que si le système est proche de la sphéricité. R10 nous donne une idée de la densité au c÷ur du système. R50 est une donnée pouvant
être observée, elle présente donc un intérêt en termes de comparaison entre les simulations et les ob- servations. En n, R90 est une approximation de la taille du système16.
Ainsi, même si les informations que nous pouvons en déduire sont relativement imprécises, elles pré- sentent l'avantage de pouvoir être obtenues au cours de la simulation.
Le rayon R50nous a également permis de dé nir un critère d'appartenance des particules au système
lié. Toute particule située à une distance supérieure à 6 R50 du centre du système nal est considérée
comme étant libérée. Ce critère nous permet de sélectionner les particules libres plus rapidement que si nous avions calculé l'énergie de liaison de chaque particule. Nous avons comparé pour quelques cas ces deux méthodes de sélection des particules liées énergie et distance au centre et les résulats se sont révélés tout à fait comparables.
Les particules que nous considérons comme libres ne sont pas exclues de la simulation dynamique,
15Les termes anglais oblate (aplati aux pôles) et prolate (en forme de cigare) n'ont pas d'équivalent en français. 16Cette approximation n'est valable que pour les systèmes n'ayant pas perdu beaucoup de particules lors de l'eon-
drement. Si un grand nombre de particules se libèrent lors de l'eondrement, elles s'éloignent de système lié et le calcul de R90est alors très largement supérieur à la taille du système.
mais uniquement du calcul de certaines observables du système nal, à savoir le rapport du viriel, les rapports d'axes, le potentiel et la densité, et la dispersion de vitesse.
3.6 Potentiel et densité
Le potentiel gravitationnel calculé à partir des chiers de résultats et des sauvegardes intermédiaires est calculé de manière directe. Le paramètre d'adoucissement utilisé est le même que celui employé par le treecode. Il représente la seule source d'erreur de ce calcul du potentiel, puisqu'aucune autre approximation n'est faite. Le potentiel est exprimé en fonction du rayon. Cela sous-entend donc que ce résultat n'est pertinent que pour les systèmes à symétrie sphérique.
La méthode de calcul employée est très simple. Nous calculons le potentiel gravitationnel exercé sur chacune des particules par l'ensemble des autres. Le système est ensuite divisé en enveloppes sphériques d'épaisseur constante. Nous calculons le potentiel moyen exercé sur les particules contenues dans chaque enveloppe. Ce potentiel moyen nous donne la valeur du potentiel au rayon correspondant au milieu de l'enveloppe.
Le calcul de la densité est semblable à celui du potentiel. Nous divisons également le système en enveloppes sphériques. Nous calculons la densité moyenne dans chaque enveloppe, en divisant la masse totale contenue dans l'enveloppe par son volume.
3.7 Dispersion de vitesse
La dispersion de vitesse est calculée selon le même principe que le potentiel et la densité. Nous divisons le système en enveloppes sphériques, puis nous calculons la moyenne des carrés des vitesses radiale, v2
rad
, et tangentielle, v2 tan
, sur l'ensemble des particules situées dans chaque enveloppe. Ces moyennes sont dé nies par
hAi = 1 N N X i=1 Ai. (2.33)
Ceci nous permet d'obtenir le rapport κ (r)
κ (r) = 2Dv2i,radE r≤ri<r+dr v2 i,tan r≤ri<r+dr , (2.34)
qui nous permet de mesurer le caractère radial ou tangentiel des orbites des particules dans le système.
3.8 Température
Nous avons dé ni une température d'équilibre du système. Une fois l'équilibre atteint, nous calcu- lons la température T T = 2K 3N kB = 1 3mv 2 , (2.35)
où K est l'énergie cinétique du système, et kB est la constante de Boltzmann, que nous avons nor-
malisée à 1. La température est calculée sur l'ensemble des particules, i.e. le système nal plus les particules libérées au cours de l'eondrement.
3.9 Fonctions de distribution
Il nous a paru intéressant de comparer les résultats obtenus lors de nos simulations avec quelques résultats théoriques bien connus. Les systèmes à l'équilibre produits par nos simulations d'eondrement
ont donc été confrontés à deux modèles théoriques : le modèle polytropique et la sphère isotherme étudiés par ailleurs en détail dans le chapitre1.
Les densités des systèmes dé nis par ces modèles sont respectivement
ρp= ρ0ψγp (2.36)
et
ρs= ρ1eψs/s
2
(2.37) Nous utilisons la méthode des moindres carrées a n d'ajuster les couples potentiel-densité que nous calculons pour nos systèmes à l'équilibre par un polytrope et une sphère isotherme. Nous passons pour cela à des quantités logarithmiques :
ln (ρp) = ln (ρ0) + γ ln (ψp) (2.38)
et
ln (ρs) = ln (ρ1) +
ψs
s2 (2.39)
Nous obtenons donc pour chaque état d'équilibre une valeur de l'indice polytropique γ et de la densité au centre ρ0, qui correspondent au polytrope le plus proche de l'état d'équilibre en question, ainsi
qu'une valeur densité au centre ρ1et une dispersion de vitesse s, correspondant à la sphère isotherme
la plus proche.
Ces résultats, ainsi que la méthode des moindres carrés, sont présentés en annexe. Leur analyse fait quant à elle l'objet de la section5du chapitre3.
4 Système d'unités
Le système d'unités communément employé lors de simulations de dynamique gravitationnelle à N corps (voir [21]) repose sur les normalisations suivantes :
G = 1, M = 1, H = −1/4,
où G est la constante de la gravitation, M la masse totale du système et H son énergie totale. Nous avons pour notre part choisi de xer la valeur initiale du rapport du viriel Viniet la taille initiale
Rini du système. Il nous a donc été impossible d'utiliser ce système d'unités.
Nos unités sont donc conditionnées par le choix d'utiliser les normalisations suivantes : G = 1,
M = 1 um,
Rini= 10 ul.
La valeur de H varie pour chaque simulation.
A n de pouvoir comparer nos résultats numériques avec des résultats observationnels, nous avons choisi de faire correspondre nos unités de masse umet de longueur ulavec les unités standards de la
manière suivante
1 um = 106M ,
1 ul = 1pc .
Cette correspondance nous permet de calculer la valeur de l'unité de temps ut dans laquelle sont
exprimées les durées de nos simulations. En eet, le temps dynamique17 t
d d'un système peut être
calculé de manière approchée par (equation (1.1) du chapitre1) td = r 3π 16Gρm , où ρm est la moyenne de la densité sur l'ensemble du système.
Le rapport d'un temps dynamique calculé avec les unités standards sur un temps dynamique calculé avec nos unités nous donnera donc l'équivalence entre nos unités de temps et les années, soit
1ut=
s R3
staGsimMsim
R3
simGstaMsta
,
où les variables Xsim sont exprimées dans les unités des simulations et les variables Xsta dans les
unités standards.
En prenant en compte les équivalences concernant les unités de longueur et de masse, et la valeur de Gadoptée dans les simulations, nous obtenons
1 ut=
s
(10 · 3.09 1018)3· 1 · 1
103· 6.672 10−8· 106· 1.989 1033 s ≈ 4.72 10
11s = 1.49 104 années .
Il est intéressant de comparer cette unité de temps à la valeur approchée du temps dynamique d'un système réel dont la taille est 10 pc et la masse 106 M
. En eet, les amas globulaires ont des
caractéristiques de ces ordres de grandeur. Pour cette taille et cette masse, nous obtenons td ≈
2.34 1013s, c'est-à-dire t
d≈ 50 ut.
Nous pouvons également choisir comme correspondance entre nos unité de masse et de longueur des ordres de grandeur plus en rapport avec ceux d'une galaxie elliptique typique, soit
1 um = 1011M ,
1 ul = 103pc .
Dans ce cas, nous obtenons la correspondance suivante
1 ut=
s
(104· 3.09 1018)3· 1 · 1
103· 6.672 10−8· 1011· 1.989 1033 s ≈ 4.72 10
13s = 1.49 106 années .
Cette unité est simplement 100 fois supérieure à la précédente et nous obtenons la même correspon- dance pour le temps dynamique d'une galaxie de 1011 M
de masse et de 104 pc de rayon, égal à
environ 2.34 1015s, que pour l'amas globulaire, c'est-à-dire t