Le rapport du viriel est le rapport entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle d'un système, ou plus exactement :
V = 2K U
D'après le théorème du viriel, le rapport du viriel des systèmes gravitationnels est égal à −1 lorsque ces systèmes sont à l'équilibre. L'énergie cinétique et l'énergie potentielle ont déjà été calculée précédem- ment, pour obtenir l'énergie totale. En particulier, le code calcule l'énergie potentielle (voir l'équation (1.4) du chapitre1) à l'aide des potentiels approchés calculés pour chaque particule. Le rapport du viriel est donc immédiatement obtenu.
R.A.Gerber [18] a analysé l'in uence de l'adoucissement du potentiel sur le théorème du viriel. Son étude repose sur l'adoucissement (2.8), et présente des résultats pour trois types de fonctions de dis- tributions dont la sphère isotherme13. L'application de son résultat à une sphère isotherme de masse
M = 1et de rayon R = 10 peut nous permettre d'estimer l'erreur introduite dans notre calcul du rap- port du viriel par le paramètre d'adoucissement. Pour ε = 0.1, la valeur calculée avec l'adoucissement (2.8) dière de 0.15% de la valeur calculée sans adoucissement. Il est de plus assez aisé de montrer que notre adoucissement (2.7) introduit dans le calcul du potentiel une erreur inférieure à celle introduite par l'adoucissement (2.8), même si (2.7) est moins régulier que (2.8). En eet, le potentiel créé par l'ensemble des N particules du système sur la particule i est égal à
ψ (ri) = −G N X j6=i j=1 mj |rj− ri| .
Nous pouvons diviser cette somme de la façon suivante
ψ (ri) = −G N X |rj−ri|>ε mj |rj− ri| − G N X |rj−ri|≤ε mj |rj− ri| .
Nous remarquons alors que la première somme est exactement calculée avec l'adoucissement (2.7), alors qu'elle est sous-évaluée (en valeur absolue) par l'adoucissement (2.8). Nous pouvons également aisément montrer que la deuxième somme est mieux approchée avec (2.8), puisque, pour ces termes, nous avons 0 ≤ |rj− ri| < ε donc |rj− ri| < ε ≤ q (rj− ri) 2 + ε2, et ainsi m j |rj− ri| >mj ε ≥ mj q (rj− ri) 2 + ε2 .
Le rapport du viriel calculé devrait donc être su sament proche du véritable rapport du viriel pour que l'application du théorème du viriel nous permette de distinguer les systèmes à l'équilibre.
13Nous verrons par la suite que les systèmes produits par nos simulations d'eondrement sont proches d'une sphère
3.3 Centre de densité et rayon de densité
Le rayon de densité, introduit par S.Casertano et P.Hut (voir [15] pour les détails concernant ce qui suit), nous a permis d'obtenir une valeur approchée du rayon du c÷ur de nos systèmes. Ce rayon de densité est en eet relié aux rayons de c÷ur utilisés pour les observations.
Pour calculer le rayon de densité14 Rd,j, il convient tout d'abord de calculer ce que l'on nomme les
densités locales ρ(i)
j d'ordre j autour de chaque particule i (voir (2.29)). Pour cela, il su t de rechercher
les j particules les plus proches de la particule i (voir la gure2.5). Si d(i)
j est la distance séparant la
jeme plus proche particule de la particule i, et m la masse de chaque particule, alors la densité locale
autour de i est égale à :
ρ(i)j = j − 1
Vd(i)j m (2.29) où V (d) est le volume de la sphère de rayon d. Ces densités locales nous permettent ensuite de calculer la position rcddu centre de densité du système, de la manière suivante :
rcd= PN i=1riρ (i) j PN i=1ρ (i) j (2.30) Le centre de densité représente le centre de l'objet que nous quali ons de lié. Il est en cela diérent du centre de masse du système total, puisque le centre de masse est in uencé par les particules libres s'échappant du système lié, alors que le centre de densité l'est très peu en raison de la très faible densité locale entourant ces particules libres.
Sa position sera utilisée comme origine pour tous les calculs d'observables suivants. Ainsi, le rayon d'une particule sera calculé par rapport au centre de densité de l'objet.
Le rayon de densité est égal à la moyenne des rayons des particules pondérés par la densité locale autour de ces particules. Les rayons étant calculés par rapport au centre de densité, nous avons :
Rd,j= PN i=1|ri− rcd| ρ (i) j PN i=1ρ (i) j (2.31) Selon l'analyse menée par S.Casertano et P.Hut, le rayon de densité ainsi dé ni est un très bon estimateur du rayon du c÷ur observationnel, tel qu'il est dé ni par I.R.King [30], c'est-à-dire le rayon pour lequel la luminosité de surface est égale à la moitié de sa valeur centrale. Toujours selon S.Casertano et P.Hut, ce rayon de densité est également relié au rayon du c÷ur du modèle de Plummer Rc,p de la manière suivante :
Rd=
32
15πRc,p. (2.32)
Cette relation est obtenue en passant à la limite continue de la dé nition du rayon de densité, c'est- à-dire la limite j → ∞ et N/j → ∞. Ceci explique la disparition de l'indice j, puisque l'estimateur ρj(r)de la densité locale a ici été remplacé par sa valeur exacte ρ (r). Nous avons choisi d'utiliser
pour j la valeur j = 10. Ce choix repose sur les analyses de S.Casertano et P.Hut. Le calcul de la densité locale ρ(i)
10 nécessite la connaissance des 10 plus proches voisins de la particules
i. Pour cela, il est nécessaire de calculer la distance
d(i,k)= |rk− ri| , k ∈ {1, . . . , N } \ {i} ,
séparant i de chacune des autres particules k. Nous avons donc choisi de calculer les d(i,k) dans une
boucle sur les particules. Nous avons initialisé un vecteur contenant les distances séparant i de ses 10
4èmeplus proche voisin
1erplus proche voisin
3èmeplus proche voisin
2èmeplus proche voisin
particule i d(i)4 V d(i)4
Fig. 2.5 Exemple de calcul de la densité locale d'ordre 4 autour de la particule i.
plus proches voisins avec un réel très grand. Puis nous avons inséré chaque distance inférieure à la dixième plus proches dans ce vecteur à chaque fois que cela était nécessaire. L'algorithme se résume donc de la manière suivante :
pour k=1 à 10
voisin[k] = 100000.0 fin pour
pour k=1 à N
si k est différent de i alors d = |position[k]-position[i]| si d < voisin[10] alors
insérer d à sa place dans voisin fin si
fin si fin pour
Cette algorithme nous a permis d'obtenir chaque densité locale en un nombre de calcul proportionnel à N, le calcul de toutes les densités locales étant donc proportionnel à N2. Nous avons eectué le
calcul des densités locales en parallèle, en distribuant l'ensemble des positions puis en attribuant à chaque processus le calcul d'une partie des densités locales, ce qui nous permis de réduire notablement le temps de calcul des densités.
3.4 Rapports d'axes
Les rapports d'axes représentent la géométrie du système. Ils sont dé nis par a1 = λ1 λ2 a2 = λ3 λ2
où λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 sont les valeurs propres de la matrice d'inertie I du système. Si une particule i de
masse mi est repérée par le vecteur ri= (x1,i, x2,i, x3,i), alors la matrice d'inertie est dé nie par (voir
[34], p.136) Iµ,ν= − N P i=1
mixµ,ixν,i pour µ 6= ν = 1, 2, 3
Iµ,µ= N
P
i=1
mi(r2i − x2µ,i) pour µ = 1, 2, 3
Les rapports d'axes permettent de classer les systèmes en 4 catégories : sphérique : a1 et a2 sont proches de l'unité
aplati aux pôles15: a
1< 1et a2≈ 1
en forme de cigare15 : a
1≈ 1 et a2> 1
triaxial : a1< 1et a2> 1
Il est également possible de dé nir une ellipticité e correspondant à l'ellipticité maximale pouvant être observée. Cette ellipticité est égale à
e = a2− a1 a2
.
Elle peut être directement reliée à l'ellipticité des galaxies elliptiques.