Rapport d’amortissement équivalent

Pour fins de simplification mathématiques, l’ensemble de l’amortissement qui survient dans une structure lors d’un endommagement plastique s’exprime sous la forme d’un coefficient d’amortissement équivalent ceq. Ce coefficient peut être exprimé en fonction d’un pourcentage du

coefficient d’amortissement critique ccr lequel représente la quantité d’amortissement nécessaire

pour qu’il n’y ait pas de vibrations libres dans le système. La relation est la suivante : 𝑐_𝑒𝑞 = 𝜉_𝑒𝑞𝑐_𝑐𝑟. C’est souvent à travers le rapport d’amortissement équivalent 𝜉_𝑒𝑞 que l’état d’endommagement des structures est basé pour procéder aux analyses dynamiques.

Dans la nouvelle approche de conception basée sur la performance, le calcul du rapport d’amortissement équivalent devient chose plus courante qu’avant. En effet, la CBF se basait principalement sur les spectres à 5% d’amortissement préétablis que l’on modifiait avec les facteurs R des structures pour obtenir les efforts de conception. Avec la CBP, il faut être en mesure de connaître ce rapport en fonction de l’endommagement pour caractériser la capacité en déplacement d’une structure comme il l’a été discuté dans la revue de littérature (sections 2.4.3 et 2.4.4).

Il est assez difficile d’établir l’évolution de la valeur de ce rapport 𝜉_𝑒𝑞 sans avoir recours à des essais expérimentaux. Ainsi, de façon expérimentale, le rapport d’amortissement équivalent peut être calculé en utilisant l’équation suivante (M. J. N. Priestley et al., 1996):

𝜉_é𝑞 = 𝐴ℎ 4𝜋𝐴_𝑒 =

𝐴ℎ

2𝜋𝑉̅∆̅ (3.6)

où 𝜉_𝑒𝑞 est le rapport d’amortissement équivalent; 𝐴_ℎest l’aire sous la courbe charge-déplacement d’un cycle complet à une ductilité donnée; 𝑉̅ est la moyenne des valeurs absolues du cisaillement maximal et minimal aux déplacements maximal et minimal et ∆̅ est la moyenne des valeurs absolues du déplacement maximal et minimal pour un cycle donné (Figure 3.40).

Figure 3.40 : Définition des paramètres de l’équation (3.6 pour le calcul du rapport d’amortissement équivalent (adaptée de M. J. N. Priestley et al. (1996))

Le Tableau 3.6 présente des valeurs typiques du rapport d’amortissement équivalent 𝜉_𝑒𝑞 pour différents types de matériaux. Pour le béton, selon le niveau de contrainte, il varierait de 1 à 15%.

Tableau 3.6 : Rapports d’amortissement typiques pour différents types de structure et pour différents niveaux de contrainte (tirée de Carr (1994) )

Niveau de contrainte Type de structure ξ (%) Faible, moins de 25% de la contrainte

de plastification

Acier, béton 0.5 - 1

Contrainte de service, moins de 50% de la contrainte de plastification Acier soudé 2 Béton précontraint Béton armé 3 - 5 Acier boulonné/riveté 5 - 7

Contrainte de plastification Acier soudé 5

Béton précontraint Béton armé

7 - 10 Acier boulonné/riveté 10 - 15 Plus élevé que la contrainte de

plastification avec déformations permanentes > déformations élastiques Acier soudé 7 - 10 Béton précontraint Béton armé 10 - 15 Acier boulonné/riveté 20

En l’absence de données expérimentales, le rapport d’amortissement effectif peut être estimé de façon analytique à l’aide de formules développées par certains chercheurs.

Gulkan et Sozen (1974) ont proposé une première équation:

𝜉_é𝑞 = 𝜉_{é𝑙𝑎𝑠}+ 𝜉_{ℎ𝑦𝑠𝑡} = 0,02 + 0,2 (1 − 1

√𝜇) (3.7)

Cette équation fut modifiée en augmentant la valeur du rapport d’amortissement élastique à 5% (Midorikawa et al., 2000):

𝜉_é𝑞 = 𝜉_{é𝑙𝑎𝑠}+ 𝜉_{ℎ𝑦𝑠𝑡} = 0,05 + 0,25 (1 − 1

√𝜇) (3.8)

Une équation a été proposée par Kowalsky, Priestley, and Macrae (1995): 𝜉_é𝑞 = 𝜉_{é𝑙𝑎𝑠}+ 𝜉_{ℎ𝑦𝑠𝑡} = 0,05 +1

𝜋(1 − 0,95

Une autre équation a été proposée par Priestley et al. (2007): 𝜉é𝑞 = 𝜉é𝑙𝑎𝑠+ 𝜉ℎ𝑦𝑠𝑡= 0,05 + 67 (

𝜇 − 1

𝜋𝜇 ) (3.10)

Les équations précédentes ont été développées principalement pour des éléments gouvernés par la flexion. La dégradation de la rigidité est implicitement prise en compte, mais l’effet d’une charge axiale ajoutée n’est pas considéré. Ainsi, Brena et al. (2007) ont développé une équation permettant de prendre en compte l’effet de la charge axiale sur le comportement inélastique des éléments:

𝜉é𝑞 = 𝜉é𝑙𝑎𝑠+ 𝜉ℎ𝑦𝑠𝑡= 0,05 + 1 𝜋(1 − 𝑃 𝐴_𝑔𝑓_𝑐′) (1 − 0,9 √𝜇− 0,1√𝜇) (3.11)

Pour une structure possédant un joint de chevauchement et de l’armature insuffisante dans la zone de rotule plastique, il pouvait être facilement prévisible que les rapports d’amortissement obtenus de façon expérimentale soient plus faibles que ceux prédits par les équations précédentes. En effet, ces équations représentent surtout le cas d’un élément en béton armé parfaitement solidaire. Il était donc intéressant de voir comment la structure renforcée de BFUP allait se comporter à ce niveau.

La Figure 3.41 trace les courbes du rapport d’amortissement effectif selon le niveau de ductilité. Les résultats expérimentaux permettent de calculer ce rapport en utilisant l’équation (3.6). De façon empirique, les courbes correspondant aux équations (3.7) à (3.11) sont tracées sur la même Figure 3.41. Les piles S5 et S6 ont atteint des rapports d’amortissement de 31,4% et de 26,9% respectivement. Ces valeurs ont été calculées au dernier cycle de chargement des piles soit le cycle ayant causé la rupture de certaines barres longitudinales. Pour un même niveau de ductilité, la pile S6 semble s’être endommagée plus rapidement que la pile S5 (également constaté à la section 3.7.3) puisque le rapport d’amortissement était plus élevé pour tous les niveaux de ductilité inélastique (μ>1). En éliminant le dernier point de chacune des courbes des piles S5 et S6 qui correspond au cycle de rupture, les résultats expérimentaux cadrent bien dans l’enveloppe formée par les différentes équations exposées précédemment. L’équation proposée par Gulkan et Sozen (1974) représente la borne inférieure de l’enveloppe alors que l’équation adoptée par Priestley et

al. (2007) fournit la borne supérieure. Il faut cependant noter qu’à des niveaux faibles de ductilité en déplacement (μ<3), le rapport d’amortissement réel (expérimental) était plus faible que ce qui est prédit par la majorité des équations. Cela découlerait de l’endommagement (apparition de fissures) qui était retardé et minimisé par l’effet bénéfique des fibres d’acier dans le BFUP. Il y avait un effet de « bloc » qui concentrait l’endommagement dans la plastification des barres d’armature à l’interface semelle-colonne.

Figure 3.41 : Comparaison entre l’évolution du rapport d’amortissement effectif obtenus expérimentalement et analytiquement pour les piles S5 et S6