Dans ce paragraphe, on prolonge le revêtement modérécaen unμqd−1-torseur sur0spour chaque sommet s deBT.Les calculs que nous effectuons ici généralisent ceux de Teitelbaum [35] pour d=2.
(2.3.1) L’espace tangent Lie(X)duOD-module formel spécial universelX(voir (2.2.2)) admet une graduation parZ/dZsous l’action deOd ⊂ODen posant
Lie(X)i = {m∈Lie(X)|ι(a)(m)=σ−i(a)m,∀a∈Od}
oùι:OD→End(X)exprime la structure deOD-module deX. Chaque Lie(X)iest un fais-ceau inversible surdO˘−1. Considérons l’objet universel(ψ,η,T,u,r)surdO˘−1rappelé dans (2.2.1). Dans la construction de l’isomorphisme de GDr−→F∼ Dr(voir [1, Théorème 8.4]), on identifie Tià Lie(X)i,et l’action deenvoie Tivers Ti+1.On en déduit une décomposition de l’espace cotangent deX[]:
Lie(X[])∨=T∨0/T∨1 ⊕T∨1/T∨2 ⊕ · · · ⊕T∨d−1/T∨0. (2.2) Le morphismeιinduit un homomorphismeι : OD/ Fqd → End(X[]). Ceci nous permet d’utiliser la classification de Raynaud [30] que nous rappelons ci-dessous.
Soit M = Hom(Fq×d,O×D) le groupe des caractères (homomorphisme de groupes) de F×qd à valeurs dansO×D. On prolonge chaque caractèreμ ∈ M àFqd = OD/OD tout entier en posantμ(0) = 0. Un caractèreμest dit fondamental si l’application composée Fqd−→μ OD−→can.Fqdest un homomorphisme de corps. On a donc f d caractères fondamentaux au total. Si on désigneχ :F×qd →O×d ⊂O×Dle représentant de Teichmüller. Alors l’ensemble des caractères fondamentaux{χi}0if d−1sont de la formeχ0 =χ,χi =χi−1p , 1 i
f d−1. Notons que¯ι(λ)=ι(χ(λ))|X[]∈End(X[]), pour toutλ∈Fqd.
SoitOX[] =Od−1
O˘ ⊕I, oùI est l’idéal d’augmentation. L’endomorphismeι(λ)sur X[]induit un endomorphisme[λ]de l’algèbre de HopfOX[]. Pour tout μ ∈ M, les endomorphismes
iμ= 1 q−1
λ∈F× qd
μ−1(λ)[λ]
de laOd−1
O˘ -algèbreOX[]forment une famille d’idempotents orthogonaux qui respectent I. On a alors une décomposition
I=
μ∈M
Iμ
oùIμ = iμ(I)formé des éléments x ∈ Itels que[λ](x) = μ(λ)x, pour toutλ ∈ F×qd. NotonsIi :=Iχi,∀0i f d−1. Led−1O˘ -schéma en groupesX[]satisfait la condition de la classification de Raynaud, i.e. chacun des faisceauxIiest unOd−1
O˘ -module inversible, cf. [30, Prop. 1.2.2]. DoncIest unOd−1
O˘ -module localement libre de rang qd−1.
Fait 2.3.3 ([30, Thm. 1.4.1]) Sous ces conditions, le schéma en groupesX[]est déterminé par le système(Ii,ci :Ii+1 →Iip,di :Iip →Ii+1)ioù les ciet disontOd−1
O˘ -linéaires de sorte que di◦ci =wIdIi+1,∀0i f d−1.Iciw∈(dO˘−1,Od−1
O˘ )est donné par la somme de Gauss indépendant duX[].
Localement, on peut supposer que chaqueIi est en fait libre engendré par Xi.On en déduit queX[]est donné localement surdO˘−1par les équations
Xip=δiXi+1,i ∈Z/f dZ
avecδides sections locales dedO˘−1.On a alors une autre description de l’espace cotangent deX[]:
Lie(X[])∨=I/I2=I0/Ipf d−1⊕I1/I0p⊕ · · · ⊕If d−1/Ipf d−2. (2.3) Lemme 2.3.5 T∨i /T∨i+1= {x∈I/I2| [λ](x)=σ−i(χ(λ))x,∀λ∈Fqd}.
Preuve On a Lie(X[]) =Hom(I/I2,Od−1
O˘ ).Pour toutλ∈Fqd, ι(λ)induit une action surI/I2qui est, par définition, celle induite par[λ].
En comparant les deux décompositions2.2et2.3, on obtient que
If i+j=Ipf i+j−1,1 j f −1, etIf i/Ipf i−1 =T∨d−i/T∨d−i+1. On en déduit que
If i/Iqf(i−1)=T∨d−i/T∨d−i+1.
Il s’ensuit queX[]est localement donné par les équations Xqi =δiXi+1 (i ∈Z/dZ). (2.3.6) Pour un simplexeσ ∈BT,on noted−1O,σ˘ le produit fibré ded−1O,σ avecd−1O˘ au-dessus ded−1O , etd−1K˘,σ sa fibre générique. Siσ =est le simplexe maximal standard,
le morphisme : Ti → Ti+1 est donné par multiplication par ci (cf. (2.2.1) et (2.1.4)). d’abord que le groupe de Picard ded−1O,[]˘ est trivial. En effet, il est isomorphe au groupe de Picard de sa fibre spéciale, cardO,[]˘−1 est-adique complet (cf. [16, 3.7.4]). Donc
Notons que la fibre speciale0s des0est unμqd−1-torseur Gs/G+s-invariant au-dessus de0s,car u := u (modt)est une unité dans(0s,O0
s).On a alors un diagramme commutatif:
s,K˘t p
//s0 oo ? _
ps
0s ps
d−1˘Kt,s //d−1˘O,s oo ? _0s
oùp et p désignent les projections naturelles.
Corollaire 2.3.9 On a un isomorphisme
R(ν−1(|s|), )∼=R(0s, ).
Preuve D’après Berkovich, on a
R(ν−1(|s|), )=R(τ−1(|s|),p∗)=R(0s,Rη(p∗)|0
s).
Notons ques0est un modèle lisse des,K˘t.D’après [20, Exp. I 2.4], R0η(p∗)|0
s =ps∗, (2.4)
Rnη(p∗)|0
s =0,∀n1.
Il s’ensuit que
R(ν−1(|s|), )=R(0s,ps∗)=R(0s, ).
2.4 Un calcul du torseur0s
Dans le paragraphe précédent, on a relié la cohomologie du tubeν−1(|s|)à la cohomologie de 0s.Rappelons que0sest unμqd−1-torseur Gs/G+s-équivariant sur0s.Dans ce paragraphe, notre but est de calculer sa classe dans Het1(0s, μqd−1).Supposons désormais que s soit le sommet standard= [Od].On se ramène donc au cas où0s =d−1F
q sur lequel0[]est unμqd−1-torseur GLd(Fq)-équivariant.
(2.4.1) NotonsHl’ensemble des hyperplansFq-rationnels dePdF−1
q , nous avons alors dF−1
q =PdF−1
q Y∈H
Y.
Notons i (resp. j ) l’inclusion naturelle de D:=
Y∈HY (resp.d−1F
q ) dansPd−1
Fq .Pour I un sous-ensemble deH, on notera YI =
Y∈IY , et iYI l’inclusion de YI dansPd−1F
q .La suite exacte de cohomologie relative associée aux inclusions:
dF−1
Preuve On prend une résolution injectiveZ/n→I·du faisceau constantZ/n.Pour chaque q,nous avons une résolution simpliciale de i∗i!Iq: Les suites spectrales associées à deux filtrations du double complexe Kpq:=
I⊂H,|I|=−p Pour chaque hyperplan rationnel Y, (Y,Pd−1F
q )est un couple lisse ([36, Exp. XVI]) de
On déduit la première égalité par la suite spectrale
E2pq=Hp(D,Rqi!μn)⇒HDp+q(PdF−1
q , μn).
Chaque Y est un diviseur irréductible, et la deuxième égalité est donnée par la classe fondamentale de Y :
HY2(PdF−1
q , μn)=H0(Y,R2iY!μn)=H0(Y, (Z/n)Y)=Z/n.
(2.4.4) Posons n=qd−1 et considérons la suite exacte2.5. Reécrivons-la sous la forme suivante: tout d’abord la définition de l’application∂. Comme Pic(dF−1
q )=0, par la suite exacte de
Kummer, unμqd−1-torseur Z peut être écrit sous la formeOd−1
Fq [T]/(Tqd−1− f), avec f ∈(d−1F
q ,O∗
d−1Fq ).Alors
∂(Z)(Y)≡ordY f (mod qd−1), ∀Y ∈H. Lemme 2.4.5 Soit Z un μqd−1-torseur GLd(Fq)-invariant sur dF−1
q , alors ∂(Z)(Y) =
∂(Z)(g·Y),∀g∈GLd(Fq), et∂(Z)(Y)≡0 (mod q−1).
Preuve La première assertion découle d’invariance sous g∈GLd(Fq). Pour la deuxième, on observe que GLd(Fq)agit transitivement surHet le cardinal deHest 1+q+q2+· · ·+qd−1. Notons que∂(Z)est contenu dans le noyau de
:
Y∈HZ/(qd−1)→Z/(qd−1), on a donc
(1+q+ · · · +qd−1)·∂(Z)(Y)≡0 (mod qd−1).
Donc∂(Z)(Y)≡0 (mod q−1).
Théorème 2.4.6 Pour tout Y ∈H,on a∂(0[])(Y)≡q−1 (mod qd−1).
Preuve Commençons par un lemme géométrique.
Lemme Soitσ = { 0 }le simplexe que l’on a étudié dans l’exemple (2.1.4), i.e.0correspond à l’hyperplan x0=0 deP(/ ),alors Pic(d−1O,σ˘ )=0.
Preuve Il suffit de montrer que le groupe de Picard de la fibre spéciale X ded−1O,σ˘ est triviale.
D’après l’exemple (2.1.4), X est une réunion des deux composantes irréductibles C =SpecFq[x0, . . . ,xd−2]
(1+a0x0+ · · · +ad−2xd−2)−1 et
D=SpecFq[x1, . . . ,xd−2,cd−1][P−1] où P=
(1+a1x1+ · · · +ad−2xd−2)(1+a0x1cd−1+ · · · +ad−3xd−2cd−1+ad−2cd−1), avec l’intersection
E:=C∩D=SpecFq[x1, . . . ,xd−2]
(1+a1x1+ · · · +ad−2xd−2)−1 . Nous noterons iC,iD,et iEles inclusions canoniques dans X . D’après [21, II Prop. 6.5], Pic(C)=Pic(D)=Pic(E)=0.
On montre qu’il existe une suite exacte des faisceaux sur X :
1−→O∗X−→α iC∗OC∗×iD∗O∗D−→β iE∗O∗E−→1, (2.6) oùα est donné par f → (f|C,f|D),β est donné par(f,g) → f|E·g|−1E . L’exactitude est vérifiée en regardant la fibre en chaque point. En effet, soit x un point de X contenu dans C\D (resp. D\C), le complexe2.6se réduit à l’isomorphismeO∗X,x O∗C,x (resp.
O∗X,xO∗D,x). Il nous reste le cas où x est un point de E. Comme cette question est locale, on peut supposer que
X=SpecFq[x0, . . . ,xd−1]/x0xd−1 C =SpecFq[x0, . . . ,xd−1]/x0
D=SpecFq[x0, . . . ,xd−1]/xd−1 E=SpecFq[x0, . . . ,xd−1]/(x0,xd−1),
et x=pest un point de E. Notons que l’on a une suite exacte des faisceaux cohérents sur X 0−→OX α
−→iC∗OC×iD∗OD β
−→iE∗OE−→0
oùαest donné par f →(f|C,f|D),βest donné par(f,g)→ f|E−g|E. On la vérifie en regardant les fibres en tous les points fermés. Donc on a une suite exacte
0−→OX,p αp
−→OC,p×OD,p βp
−→OE,p−→0. On en déduit que la suite
1−→O∗X,p−→αp OC,p∗ ×O∗D,p−→βp O∗E,p est exacte. Notons que l’application surjective
Fq[x0, . . . ,xd−1]/xd−1Fq[x0, . . . ,xd−1]/(x0,xd−1)
est scindée, et donc induit une surjectionO∗D,pO∗E,p.C’est-à-direβpest surjective.
On associe la suite exacte longue de cohomologie H•(X,−)au complexe2.6, et on obtient une suite exacte
H0(C,O∗C)×H0(D,O∗D)H−→0(β)H0(E,O∗E)−→Pic(X)−→Pic(C)×Pic(D).
L’immersion E→D est induite par l’épimorphisme ϕ:Fq[x1, . . . ,xd−2,cd−1][P−1]→Fq[x1, . . . ,xd−2]
(1+a1x1+· · ·+ad−2xd−2)−1 xi→xi
cd−1→0.
Notons queϕest scindé, donc il induit un épimorphisme H0(D,O∗D) H0(E,O∗E).Alors
H0(β)est surjectif, donc Pic(X)est trivial.
Revenons à la preuve du théorème. Rappelons que []∼=SpOd−1
K,[]˘ [T]/(Tqd−1−u)
cf. le lemme (2.3.7). Grâce au lemme (2.4.5), il s’agit de calculer ordHu, pour un hyperplan Fq-rationnel H . On peut supposer que H est l’hyperplan donné par x0 = 0. D’après le lemme précédent,X[] ×d−1
O˘
dO,σ˘−1est donné surdO,σ˘−1par les equations Xqi =δiXi+1où δi ∈(dO,σ˘−1,Od−1
O,σ˘ ).En tenant compte de l’exemple (2.1.4), il est donné par SpfOd−1
O,σ˘ [X0,X1]/(Xq0d−1−δ1X1,X1q−δ0X0) oùδ1 = u1x0,δ0 =u0/x0, avec u0,u1 ∈ (d−1O,σ˘ ,O∗
d−1O,σ˘ ).Ceci implique queσ :=
×d−1 K˘
dK˘−1,σ est l’espace rigide défini par SpOd−1
K,σ˘ [X0]/(Xq0d−1−uq1u0x0q−1).
Commeσ|τ−1()et[]donnent la même classe de torseur dans H1(dK,[]˘−1 , μqd−1), il existe alors une fonction f ∈ (d−1K˘,[],O∗d−1
K,[]˘
)telle queu = uq1u0x0q−1fqd−1. Notons que f appartient à (dO,[]˘−1 ,O∗d−1
O,[]˘
), en fait u,u0,u1,x0 sont tous dans (d−1O,[]˘ ,O∗d−1
O,[]˘
).Donc on a
ordx0u≡ordx0u0+ordx0uq1+ordx0xq0−1 (mod qd−1).
Notons que u0,u1∈(dO,σ˘−1,O∗d−1 O,σ˘
), l’ordre de ui en x0est nulle. On en déduit que ordx0u≡q−1 (mod qd−1).
2.5 Le lien avec les variétés de Deligne-Lusztig
Considérons GLdle groupe linéaire surFqmuni un morphisme de Frobenius(ai,j)→(aqi,j).
Dans ce paragraphe, on rappelle certains aspects de la théorie de variétés de Deligne-Lusztig [11] associées à GLd et l’élément de Coxeterw := (1, . . . ,d) ∈Sd,et on étudie le lien avec l’espace de Drinfeld p-adique.
(2.5.1) Les variétés de Deligne-Lusztig sont des variétés sur un corps finiFq,qui jouent un rôle important dans l’étude de la théorie de représentation de groupes finis réductifs. Ici on s’intéresse au cas associé à GLd et l’élément de Coxeterw:=(1, . . . ,d)∈Sd,ceci est traité dans [11, (2.2)]. On a vu dans (2.4.1) que la sous-variété ouverted−1Fq dePdF−1q est définie comme le complémentaire de tous les hyperplansFq-rationnels, donc elle est définie par la non-nullité du déterminant det((Xiqj)0i,jd−1),car cette fonction s’identifie (à une constante non-nulle près) au produit de formes linéaires à coefficients dansFq,i.e.
det((Xiqj)0i,jd−1)=c·
[a0:···:ad−1]∈Pd−1(Fq)
(a0X0+ · · · +ad−1Xd−1),
où c∈F×q dépend du choix des relèvements àFdq\{0}des éléments dePd−1(Fq).Évidemment, le groupe fini GLd(Fq)agit surdF−q1par translation linéaire sur les coordonnées.
Par la construction de Deligne et Lusztig,dF−1q admet un revêtement fini étale DLd−1 de groupe de GaloisF×qd.On peut identifier DLd−1avec la sous-variété fermée de l’espace affineAdFq =SpecFq[X0, . . . ,Xd−1]définie par l’équation
det((Xqij)0i,jd−1)q−1=(−1)d−1. (2.7) L’action de GLd(Fq)surdF−q1se lève naturellement sur DLd−1,et le groupeF×qd agit sur DLd−1par multiplication sur les coordonnées Xi →ζXi,∀ζ ∈F×qd.
Posons DLd−1
Fq :=DLd−1⊗Fqleμqd−1-torseur GLd(Fq)-invariant au-dessus ded−1F
q ,
et notonsπ:DLd−1
Fq →d−1F
q la projection canonique GLd(Fq)-équivariante. Notons xi= Xi/Xd−1, 0id−2 les coordonnés affines associées, alorsdF−1
q s’identifie àAdF−1
q privé
les hyperplans rationnels a0x0+ · · · +ad−2xd−2+ad−1, où(a0, . . . ,ad−1)parcourtFdq\{0}. De plus, nous avons une expression explicite du torseur DLd−1
Fq en posant T :=1/Xd−1: DLd−1
Fq =SpecOd−1 Fq [T]/
Tqd−1−(−1)d−1
[a0:···:ad−1]∈Pd−1(Fq)
(a0x0
+ · · · +ad−2xd−2+ad−1)q−1
=SpecOd−1
Fq [T]/(Tqd−1−(−1)d
(a0,...,ad−1)∈Fqd\{0}
(a0x0 + · · · +ad−2xd−2+ad−1)),
car
(a0,...,ad−1)∈Fdq\{0}(a0x0+· · ·+ad−2xd−2+ad−1)=(−1)·(
[a0:···:ad−1]∈Pd−1(Fq)(a0x0+
· · · +ad−2xd−2 +ad−1))q−1.On en déduit queζ ∈ F×qd agit sur DLd−1 par la formule T →ζ−1T.
Proposition 2.5.3 Rappelons queHest l’ensemble des hyperplansFq-rationnels dePd−1
Fq , cf. (2.4.1). Alors pour tout Y ∈H, on a∂(DLd−1F
q )(Y)≡q−1 (mod qd−1).
Preuve Le torseur DLd−1
Fq est GLd(Fq)-invariant. D’après le lemme (2.4.5), il suffit de savoir la valeur de∂(DLdF−1
q )en l’hyperplan X0=0 qui correspond à l’hyperplan x0=0 deAdF−q1. Alors,
∂(DLd−1F
q )(X0=0)=ordx0((−1)d·
(a0,...,ad−1)∈Fdq\{0}
(a0x0+ · · · +ad−2xd−2+ad−1))
≡q−1 (mod qd−1).
Théorème 2.5.4 Soit s un sommet de BT. Quitte à choisir une base d’un réseau qui représente s,on a un isomorphisme Gs/G+s ∼=GLd(Fq)-équivariant
R(ν−1(|s|), )−→∼ R(DLd−1
Fq , ). (2.8)
Preuve D’après le théorème (2.4.6) et la proposition (2.5.3), on a un isomorphisme Gs/G+s ∼= GLd(Fq)-équivariant0s ∼=DLd−1
Fq et un diagramme commutatif:
0s
ps
∼= //DLd−1
Fq
π
0s ∼= //d−1F
q
En vertu du corollaire (2.3.9), on obtient un isomorphisme
R(ν−1(|s|), )−→∼ R(DLd−1
Fq , ).
Corollaire 2.5.6 On a un isomorphisme Gs/G+s ∼=GLd(Fq)-équivariant:
Rc(ν−1(|s|∗), )−→∼ Rc(DLd−1
Fq , ).
Preuve Ceci découle du théorème (2.2.3) et le théorème précédent, en vertu de la dualité de Poincaré analytique [2, (7.3)] et algébrique [36, Exp. XVIII].
(2.5.7) Dans [11, §9], Deligne et Lusztig ont introduit une compactificationd−1Fq dedF−q1 dont le complémentaire est un diviseur à croisements normaux. Soit = {α1, . . . , αd−1} l’ensemble de racines simples tel quew=sα1· · ·sαd−1 ∈Sd,suivant eux, on définit
d−1Fq :=
x=x1···xd−1∈W xi∈{1,sαi}
X(x),
où X(x)est la variété de Deligne-Lusztig associée à GLd et l’élément x ∈Sd,en partic-ulier, X(w)=dF−1q .D’ailleurs, la variétédF−q1peut s’obtenir par une suite d’éclatements successifs de l’espace projectifPd−1F
q comme dans (2.1.5), cf. [37, Lemme 4.1.2].
Fait Soit s un sommet deBT.Quitte à choisir une base d’un réseau qui représente s,on a un diagramme commutatif Gs/G+s ∼=GLd(Fq)-équivariant:
0s ∼= //
d−1F
q
s
∼= //d−1Fq .
Preuve Ceci découle de [37, Lemme 4.1.2].
Remarque Soient I un sous-ensemble de,PI =BWIB le sous-groupe parabolique stan-dard associé à I et UI le radical unipotent de PI.Dès que l’on fait un choix d’un sommet s∈BT0et une base d’un réseau qui représente s,l’isomorphisme dans le fait précédent nous fournit un sous-groupe parabolique de Gs/G+s ,et donc un simplexeσcontenant s.De plus, on a un diagramme commutatif:
Gs/G+s ∼=GLd(Fq) G+σ/G+s ∼= UI
Fait Sous l’hypothèse du fait précédent, l’isomorphismes−→∼ d−1Fq comme dans loc. cit.
identifieσ à CI,où CI :=(d−1Fq )UI les points stables sous UI.
Preuve Supposons tout d’abord que I =\{αi}pour une racine simpleαi ∈.D’après ce qui précède, I fait un choix d’un simplexe[s,s]contenant s,où sest un sommet voisin de s.La remarque dans [37, (4.1.4)] nous dit que CIs’identifie às∩s =[s,s].Pour I
quelconque, supposons que I=\{αi1, . . . , αir}.Alors I=I1∩· · ·∩Ir,où Ij=\{αij}, et CI =CI1∩ · · · ∩CIr.Chaque Ij fait un choix d’un sommet voisin sjde s,et identifie CIj à[s,sj].Notons queσ := [s,s1, . . . ,sr]est le simplexe donné par I.Par définition, σ =[s,s1]∩ · · · ∩[s,sr],donc il s’identifie à CI. (2.5.8) Rappelons le théorème principal (Théorème 5.1.1) de [37]. Considérons le dia-gramme suivant:
DLd−1
Fq
π
d−1F
q
j //d−1Fq oo iI ? _CI
Théorème Le morphisme de restriction R(d−1F
q , π∗)=R(d−1Fq ,R j∗(π∗))−→res.R(CI,i∗IR j∗(π∗)) induit un isomorphisme
R(d−1F
q , π∗)UI−→∼ R(CI,i∗IR j∗(π∗)).
Cela nous donne la conséquence suivante sur la cohomologie deca.
Théorème 2.5.9 Soient s un sommet deBT etσun simplexe contenant s, alors le morphisme canonique Hcq(ν−1(|σ|∗), ) → Hcq(ν−1(|s|∗), ) provenant de l’immersion ouverte ν−1(|σ|∗) →ν−1(|s|∗)induit un isomorphisme
Hcq(ν−1(|σ|∗), )−→∼ Hcq(ν−1(|s|∗), )G+σ. (2.9) Preuve Par la dualité de Poincaré, il suffit de montrer que le morphisme de restriction R(ν−1(|s|∗), )−→ R(ν−1(|σ|∗), )induit un ismorphisme R(ν−1(|s|∗), )G+σ−→∼ R(ν−1(|σ|∗), ).D’après Berkovich [4, Corollary 3.5],
R(ν−1(|σ|∗), )=R(σ,Rη(p∗)|σ), où p est la projectionca dK−1,ca.
Notons ps : 0s →0s et iσ :σ →s.D’après le théorème (2.2.3) et le corollaire (2.3.9), on a un diagramme commutatif:
R(ν−1(|s|∗), )
res.
∼= // R(0s,ps∗)
res.
R(ν−1(|σ|∗), ) ∼= //R(σ,iσ∗R js∗ps∗)
Donc on se ramène à montrer que le morphisme de restriction induit un isomorphisme R(0s,ps∗)G+σ/G+s
−→∼ R(σ,i∗σR js,∗ps∗).
Comme G+σ/G+s est un p-groupe fini etest de torsion premier à p, on peut identifier canon-iquement R(0s,ps∗)G+σ/G+s à R(0s,ps∗)G+σ/G+s.On obtient l’énoncé du théorème, en vertu du théorème précédent et les isomorphismes canoniques:
R(0s,ps∗)
res.
∼= // R(dF−1
q , π∗)
res.
R(σ,i∗σR js∗ps∗) ∼= // R(CI,i∗IR jI∗π∗).
3 La partie supercuspidale de la cohomologie
Dans cette section, on donne quelques conséquences sur la partie supercuspidale de la coho-mologie deca.
3.1 La démonstration de Théorème A.
Fixons=p un nombre premier et une clôture algébriqueQdeQ.
(3.1.1) Soient σ ⊂ σ deux simplexes de BT, l’immersion ouverte ν−1(|σ|∗) → ν−1(|σ|∗)induit un morphisme canonique:
Hcq(ν−1(|σ|∗), )−→Hcq(ν−1(|σ|∗), ).
Donc les données
(σ∈BT)→Hcq(ν−1(|σ|∗), ) (σ⊂σ )→
Hcq(ν−1(|σ|∗), )→Hcq(ν−1(|σ|∗), )
définissent un système de coefficients G◦-équivariant (voir [8, 3.2.3]) à valeurs dans les -modules que nous noterons simplementσ →Hcq(ν−1(|σ|∗), ).Nous avons le fait suivant bien connu (voir [8, Prop. 3.2.4] pour le fait et [8, 3.2.3] pour les notations):
Fait Il existe une suite spectrale G◦-équivariante
E1pq=Corc (BT(−p), σ →Hcq(ν−1(|σ|∗), ))⇒Hcp+q(ca, ) (3.1) dont la différentielle d1pq est celle du complexe de chaînes du système de coefficientsσ → Hcq(ν−1(|σ|∗), ).
(3.1.3) Notons WK le groupe de Weil associé à K et IK le sous-groupe d’inertie. Posons G DW :=G×D××WK,etv:G DW →Zl’homorphisme qui envoie un élément(g, δ, w) vers l’entier valK(det(g−1)Nr(δ)Art−1(w)) ∈ Z,où Nr : D× → K× désigne la norme réduite et Art−1 : WK WKab → K× désigne la composée de l’inverse du morphisme d’Artin qui envoie l’uniformisante vers un Frobenius géométrique fixéϕ.On désigne (G DW)0:=v−1(0)le noyau dev,et[G DW]dle sous-groupe distingué formé des éléments (g, δ, w)tels quev(g, δ, w)∈dZ.On considère G (resp. D×,WK) comme un sous-groupe de G DW via l’inclusion naturelle, et on notera[G]d (resp.[D]d,[WK]d) son intersection avec[G DW]d.Dès que l’on identifie K×au centre de G,on a[G DW]d =(G DW)0Z.
(3.1.4) On a vu dans le paragraphe2.2que l’espace analytique ca admet une action naturelle du groupe G◦×O×D×IK.Afin de définir une action du groupe G DW,on suit la con-struction de Rapoport-Zink [31] en adoptant les notations de [9, §3], i.e. on ne fixe pas la hau-teur des quasi-isogénies qui rigidifient les problèmes de modules dans la définition du fonchau-teur GDrdans (2.2.1). Ce nouveau problème de modulesG est de même pro-représentable par un schéma formelMDr,0sur SpfO˘,cf. [9, (3.1.3)]. Grâce à la décomposition suivant la hauteur de quasi-isogénie,G=
h∈ZG(h)où G(h)classifie les classes de triples(ψ,X, ρ)avecρde hauteur dh.Chaque G(h)est isomorphe (non-canoniquement) à G(0)et G(0)est le foncteur GDr de Drinfeld. On en déduit un isomorphisme non-canoniqueMDr,0 ∼=M(0)Dr,0×Zoù M(0)Dr,0:=d−1O˘ est le schéma formel qui représente GDr.On noteXleOD-module formel spécial universel surMDr,0.Le noyauX[D]de la multiplication parDdansXest un schéma formel en groupe fini plat de rang qd au-dessus deMDr,0,et qui est étale en fibre générique. Le(OD/DOD)×-torseur IsomO
D(OD/DOD,X[D]an)surMDr,0la fibre générique au sens de Raynaud-Berkovich deMDr,0,est donc représenté par un K -espace˘ analytiqueMDr,1,qui est un revêtement étale deMDr,0de groupeO×D/(1+DOD)∼=F×qd. En posantMcaDr,1 :=MDr,1⊗K˘Kca,on a un isomorphismeMcaDr,1∼=ca×Z.Suivant [9, (3.1.5)], on définit une action du groupe G DW surMcaDr,1telle que la composanteca× {0}
soit stable sous l’action du sous-groupe(G DW)0.Désormais, on identifiecaau sous-espace analytique ouvert-ferméca× {0}deMcaDr,1.
(3.1.5) Soitθ:F×qd →Q× un caractère d-primitif, i.e.θ ne se factorise pas par la norme NF
qd/Fq f :F×qd F×qf,∀f|d et f =d.Définissons les représentations suivantes:
• une représentationρ(θ):=ind[D]D×
dθde D×,où[D]d =O×DZtel queO×Dagit via la projectionO×DF×
qd,etZagit trivialement.
• une représentationπ(θ) := indG
GLd(O)Zπθ de G,oùπθ est la représentation cuspi-dale de GLd(Fq)associée àθ via la correspondance de Green (ou de Deligne-Lusztig), vue comme une représentation de GLd(O)Ztelle que GLd(O)agit via la projection GLd(O)GLd(Fq)etZagit trivialement.
• une représentationσ(θ) := ind[WWK
K]dθ de WK, oùθ est le caractère de[WK]d = IKϕdZ tel queθ(ϕd) = (−1)d−1qd(d−1)2 ,etθ|IK se factorise par l’inertie modérée IK IK/IK(t)∼=μqd−1 θ
−→Q×,icit est la racine(qd−1)-ième defixée dans (2.3.8).
Posons
Hic:=Hci(McaDr,1/Z,Q), i∈ {d−1, . . . ,2d−2}.
D’après la description précédente,
Hic=indG DW[G DW]
d Hci(ca,Q),
où∈K×⊂G agit trivialement. On considère la partieρ(θ)-isotypique de Hic. Théorème 3.1.6 Pour toutθ :F×qd →Q× caractère d-primitif, on a
HomD×(ρ(θ),Hic)
G×WK
π(θ)⊗σ(θ), si i=d−1;
0, si i=d−1.
Preuve Ceci découle du lemme (3.1.8) et la proposition (3.1.10).
Lemme 3.1.7 En tant que représentation de GW :=G×WK,on a HomD×(ρ(θ),Hic)=indGW[GW]
dHomF×
qd(θ,Hci(ca,Q)), où[GW]d = {(g, w)∈GW |v(g,1, w)∈dZ}.
Preuve D’après la réciprocité de Frobenius, on a
HomD×(ρ(θ),Hci)=Hom[D]d(θ,indG DW[G DW]
d Hci(ca,Q))
=indGW[GW]
dHomF×
qd(θ,Hci(ca,Q)).
Lemme 3.1.8 En tant que représentation de G,on a
HomD×(ρ(θ),Hic)=
π(θ)⊕d, si i=d−1;
0, sinon.
Preuve Notons M(θ)la partieθ-isotypique d’unF×qd-module M.Rappelons que si s est un sommet deBT,nous avons pour tout i∈Nun isomorphisme (cf. (2.5.6))
Hci(ν−1(|s|∗),Q)∼=Hci(DLd−1
Fq ,Q).
Commeθ est d-primitif, grâce à la propriété des variétés de Deligne-Lusztig [11, Lemma 9.14], on a
Hci(DLd−1
Fq ,Q)(θ)∼=
πθ, si i=d−1;
0, sinon.
En vertu du théorème (2.5.9), si i =d−1,Hci(ν−1(|σ|∗),Q)(θ)=0∀σ.Si i=d−1, σs un simplexe tel que dimσ >0,commeπθest une représentation cuspidale de GLd(Fq),on a
Hcd−1(ν−1(|σ|∗),Q)(θ)∼=πGθ+σ/G+s =0.
Donc, la partieθ-isotypique de la suite spectrale3.1dégénère en E1lorsque i =d−1.En conclusion, on a
HomF×
qd(θ,Hci(ca,Q))
= s∈BT0Hcd−1(ν−1(|s|∗),Q)(θ)=
s∈BT0πθ, si i=d−1;
0, sinon. (3.2)
Ceci nous fournit un isomorphisme deQ[G]d-modules HomF×
qd(θ,Hcd−1(ca,Q))∼=π(θ)|[G]d. Alors, en tant que représentation de G,nous avons
HomD×(ρ(θ),Hd−1c )=ind[G]G
dHomF×
qd(θ,Hcd−1(ca,Q))
=ind[G]G
dπ(θ)|[G]d
Notonsπ(θ):=ind[G]d
Dans le reste de ce paragraphe, on démontre la proposition suivante:
Proposition 3.1.10 On a un isomorphisme de WK-modules HomG(π(θ),HomD×(ρ(θ),Hdc−1))∼=σ(θ).
Preuve D’après la réciprocité de Frobenius, on a HomG(π(θ),HomD×(ρ(θ),Hcd−1))
On en déduit que x=eG+
s x=eG+
s xs+
s=s
eG+
s xs =xs ∈Hcd−1(ν−1(|s|∗),Q)(θ).
Par conséquent, on a
HomG(π(θ),HomD×(ρ(θ),Hd−1c ))=indW[WK
K]dHomGLd(Fq)(πθ,Hcd−1(ν−1(|s|∗),Q)(θ)).
Notons que
V:=HomGLd(Fq)(πθ,Hcd−1(ν−1(|s|∗),Q)(θ)) est unQ-espace vectoriel de dimension 1,car
Hcd−1(ν−1(|s|∗),Q)(θ)∼=Hcd−1(DLF
q,Q)(θ)=πθ
en tant que représentation de GLd(Fq).Donc on se ramène à comprendre l’action de[WK]d= IKϕdZsur V.
Tout d’abord, on note que la dualité de Poincaré entraîne que
V =HomGLd(Fq)(πθ,Hd−1(ν−1(|s|),Q(d−1))(θ−1)∨).
=HomGLd(Fq)(πθ,Hd−1(sca,Q(d−1))(θ−1)∨).
En comparant (2.3.8) et (2.5.1), on observe que l’action de IK sur0s (cf. (2.3.8)) se factorise par IK/IK(t) ∼=F×qd,et elle s’identifie à l’action deF×qd sur DLd−1
Fq .Alors l’action de IK
sur V se factorise par IK/IK(t)via le caractèreθ.
On est amené donc à étudier l’action deϕdsur V.À priori, l’espace analytiquecan’a qu’une action du groupe d’inertie IK.Cependant la donnée de descente à la Weil surMDr,0 ([31, (3.48)]) définit une action de l’élément de Frobenius géométriqueϕsurMcaDr,1.Pour définir une donnée de descente de,il faut décaler par l’endomorphisme−1D .Précisément, d’après [31, (3.72)], le morphisme−D1◦ϕinduit la donnée de descente canonique deM(Dr,00) , donc il induit une donnée de descente de,et de même une donnée de descente des0.En particulier,−D1◦ϕinduit une donnée de descente de la fibre spéciale0sdes0.Autrement dit, cela nous fournit une structureFq-rationnelle de0s,et on note Fr le morphisme de
Frobenius associé.
Pour déterminer cette structureFq-rationnelle, on considère l’action de Fr sur les com-posantes connexes géométriques de0s.Notonsπ0(X)l’ensemble des composantes connexes géométriques de X pour un espace analytique ou une variété X.On a le fait suivant:
Fait π0(MDr,1)est un espace homogène sous K×,isomorphe à K×/(1+O),sur lequel l’action de G est donnée par G−→det K×,celle de D× est donnée par D×−→Nr K×,celle de WK est donnée par Art−1K :WK WKab−→K∼ ×.
Remarque Dans [7], Chen a étudié les composantes connexes géométriques de la tour de l’espace de Rapoport-Zink non-ramifié de certains types, avec les actions de différents groupes associés à la donnée de Rapoport-Zink. En particulier, elle a décrit les com-posantes connexes géométriques de la tour de Lubin-Tate(ML T,n)n∈Nmunies des actions de G,D×,WK.En vertu de l’isomorphisme de Faltings-Fargues [15] entre la tour de Lubin-Tate et la tour de Drinfeld et en prenant le sous-ensemble fixé par 1+DOD,on obtient l’énoncé du fait précédent.
Lemme π0(0s)est un espace principal homogène sousF×q sur lequel Fr agit par multipli-cation par(−1)d−1.
Preuve Notons que Nr(D) = (−1)d−1 et Art−1(ϕ) = .D’après le fait précédent, π0()est un espace principal homogène sousF×q,sur lequel−1D ◦ϕagit par multiplication par
Nr(−1D)·Art−1(ϕ)=(−1)d−1−1· =(−1)d−1.
Commes0est unμqd−1-torseur surd−1O,s˘ ,on a une bijection canonique entreπ0(ν−1(|s|))et π0(0s).D’après l’équation2.7de0s ∼=DLd−1
Fq ,on sait que|π0(0s)| =q−1.Les immer-sionsν−1(|s|) → ν−1(|s|∗) → induisent les morphismes α, β entre les composantes connexes
π0(ν−1(|s|))−→πα 0(ν−1(|s|∗))−→πβ 0().
On démontre que le composé β ◦ α est une bijection. En effet, α est bijective, car H0(ν−1(|s|), )=H0(ν−1(|s|∗), ),d’après (2.2.3). Puisque|π0(ν−1(|s|))| = |π0()| = q−1,il suffit de montrer queβest surjective. Notons que{ν−1(|s|∗)}s∈BT0 forment un recourement ouvert de . On se ramène alors à prouver que pour s un sommet quel-conque et U une composante connexe deπ0(ν−1(|s|∗)), il existe une suite de sommets s0 = s,s1, . . . ,sn = s et des composantes conexes Ui ∈ π0(ν−1(|si|∗))avec Un = U telles que si,si+1soient adjacent et Ui∩Ui+1 = ∅,∀i.Par dévissage, il suffit de considérer le cas où s et ssont adjacent. Notonsσle simplexe[s,s],et considérons les immersions ouvertesν−1(|σ|∗) →ν−1(|s|∗)etν−1(|σ|∗) →ν−1(|s|∗)induisant les morphismes entre π0:
α1:π0(ν−1(|σ|∗))→π0(ν−1(|s|∗)), α2:π0(ν−1(|σ|∗))→π0(ν−1(|s|∗)).
Notons queα1 etα2 sont bijectives. Ceci découle du théorème (2.5.9) et du fait que le p-groupe G+σ agit trivialement sur Hc2d−2(ν−1(|s|∗), ).Donc, pour U ∈π0(ν−1(|s|∗)),il existe une composante connexe U∈π0(ν−1(|s|∗))tel que U∩Ucontienne une composante connexe du ouvertν−1(|σ|∗)de.Par conséquent,βest bijective.
On a alors une bijection canonique entreπ0()etπ0(0s)compatible avec l’action de F×q.Par conséquent, le morphisme de Frobenius Fr induit la multiplication par(−1)d−1sur
π0(0s).
Lemme 3.1.11 La formeFq-rationnelle de0s induite par la donnée de descente Fr est isomorphe à la variété de Deligne-Lusztig (Fq-rationnelle) DLd−1 définie par l’équation 2.7.
Preuve D’après le théorème (2.5.4), on sait que0s ∼=DLd−1
Fq .Grâce à la suite spectrale E2pq =Hp(Gal(Fq/Fq),Hq(dF−1
q , μqd−1)) ⇒ Hp+q(dF−q1, μqd−1), on a une suite exacte
0→H1(Gal(Fq/Fq), μqd−1)→H1(dF−1q , μqd−1)
→H1(dF−1
q , μqd−1)→H2(Gal(Fq/Fq), μqd−1).
Notons que H1(Gal(Fq/Fq), μqd−1) = F×q grâce à la suite exacte de Kummer et Thm.
90 de Hilbert, et que H2(Gal(Fq/Fq), μqd−1) = 0. On en déduit que les formes Fq -rationnelles de DLF
q sont données par Yapour tout a∈F×q,où Yaest donnée par l’équation det((Xqij)0i,jd−1)q−1 =a.En particulier, DLd−1=Y(−1)d−1.
L’ensemble des composantes connexes géométriquesπ0(Ya)de Yas’identifie à l’ensemble des racines(q −1)-ièmes de a. Précisément, on associeε telle queεq−1 = a la com-posante connexe géométrique définie par l’équation det((Xqij)0i,jd−1) = ε. Via cette identification, t ∈ F×q agit par multiplication qui envoie ε vers tε. Considérons le mor-phisme de Frobenius Frob : (Xi)0id−1 → (Xqi)0id−1 sur Ya. Pour un point x = (x0, . . . ,xd−1) tel que det((xqij)0i,jd−1) = ε, Frob(x) = (x0q, . . . ,xdq−1) satis-fait l’équation det((xiq)qj)0i,jd−1 =εq =a·ε.Autrement dit, Frob agit surπ0(Ya)par multiplication par a.Il s’ensuit que Y(−1)d−1 = DLd−1 est la formeFq-rationnelle de0s
induite par Fr,en vertu du lemme précédent.
Théorème 3.1.12 (Digne et Michel [12]) Frdagit sur Hcd−1(0s,Q)(θ)par multiplication par(−1)d−1qd(d−1)2 .
Preuve D’après le lemme précédent, il suffit de montrer que(−1)d−1qd(d−1)2 est l’unique valeur propre de Frobd sur Hcd−1(DLd−1,Q)(θ). Ceci est essentiellement démontré par Digne et Michel [12, V. (3.14)]. Cependant, ils ont calculé la valeur propre de Frobd pour
Preuve D’après le lemme précédent, il suffit de montrer que(−1)d−1qd(d−1)2 est l’unique valeur propre de Frobd sur Hcd−1(DLd−1,Q)(θ). Ceci est essentiellement démontré par Digne et Michel [12, V. (3.14)]. Cependant, ils ont calculé la valeur propre de Frobd pour