La démonstration de Théorème A

∼= // R(^d_F⁻¹

q , π∗)

res.

R(σ,i^∗_σR j_s∗p_s∗) ^∼= // R(C_I,i^∗_IR j_I∗π∗).

3 La partie supercuspidale de la cohomologie

Dans cette section, on donne quelques conséquences sur la partie supercuspidale de la coho-mologie de^ca.

3.1 La démonstration de Théorème A.

Fixons=p un nombre premier et une clôture algébrique_Qde_Q.

(3.1.1) Soient σ ⊂ σ deux simplexes de BT, l’immersion ouverte ν⁻¹(|σ|^∗) → ν⁻¹(|σ|^∗)induit un morphisme canonique:

H_c^q(ν⁻¹(|σ|^∗), )−→H_c^q(ν⁻¹(|σ|^∗), ).

Donc les données

(σ∈BT)→H_c^q(ν⁻¹(|σ|^∗), ) (σ⊂σ )→

H_c^q(ν⁻¹(|σ|^∗), )→H_c^q(ν⁻¹(|σ|^∗), )

définissent un système de coefficients G^◦-équivariant (voir [8, 3.2.3]) à valeurs dans les -modules que nous noterons simplementσ →H_c^q(ν⁻¹(|σ|^∗), ).Nous avons le fait suivant bien connu (voir [8, Prop. 3.2.4] pour le fait et [8, 3.2.3] pour les notations):

Fait Il existe une suite spectrale G^◦-équivariante

E₁^pq=C^or_c (BT_(−p), σ →H_c^q(ν⁻¹(|σ|^∗), ))⇒H_c^p+q(^ca, ) (3.1) dont la différentielle d₁^pq est celle du complexe de chaînes du système de coefficientsσ → Hc^q(ν⁻¹(|σ|^∗), ).

(3.1.3) Notons WK le groupe de Weil associé à K et IK le sous-groupe d’inertie. Posons G DW :=G×D^××WK,etv:G DW →Zl’homorphisme qui envoie un élément(g, δ, w) vers l’entier valK(det(g⁻¹)Nr(δ)Art⁻¹(w)) ∈ Z,où Nr : D^× → K^× désigne la norme réduite et Art⁻¹ : W_K W_K^ab → K^× désigne la composée de l’inverse du morphisme d’Artin qui envoie l’uniformisante vers un Frobenius géométrique fixéϕ.On désigne (G DW)⁰:=v⁻¹(0)le noyau dev,et[G DW]dle sous-groupe distingué formé des éléments (g, δ, w)tels quev(g, δ, w)∈dZ.On considère G (resp. D^×,WK) comme un sous-groupe de G DW via l’inclusion naturelle, et on notera[G]d (resp.[D]d,[WK]d) son intersection avec[G DW]d.Dès que l’on identifie K^×au centre de G,on a[G DW]d =(G DW)^0Z.

(3.1.4) On a vu dans le paragraphe2.2que l’espace analytique ^ca admet une action naturelle du groupe G^◦×O^×_D×I_K.Afin de définir une action du groupe G DW,on suit la con-struction de Rapoport-Zink [31] en adoptant les notations de [9, §3], i.e. on ne fixe pas la hau-teur des quasi-isogénies qui rigidifient les problèmes de modules dans la définition du fonchau-teur G^Drdans (2.2.1). Ce nouveau problème de modulesG est de même pro-représentable par un schéma formel_MDr,0sur Spf_O˘,cf. [9, (3.1.3)]. Grâce à la décomposition suivant la hauteur de quasi-isogénie,G=

h∈ZG^(h)où G^(h)classifie les classes de triples(ψ,X, ρ)avecρde hauteur dh.Chaque G^(h)est isomorphe (non-canoniquement) à G⁽⁰⁾et G⁽⁰⁾est le foncteur G^Dr de Drinfeld. On en déduit un isomorphisme non-canonique_MDr,0 ∼=_M⁽⁰⁾_Dr,0×Zoù M⁽⁰⁾_Dr,0:=^d−1_O˘ est le schéma formel qui représente G^Dr.On note_XleOD-module formel spécial universel sur_MDr,0.Le noyau_X[D]de la multiplication parDdans_Xest un schéma formel en groupe fini plat de rang q^d au-dessus de_MDr,0,et qui est étale en fibre générique. Le(OD/DOD)^×-torseur Isom_O

D(OD/DOD,_X[D]^an)surM_Dr,0la fibre générique au sens de Raynaud-Berkovich de_MDr,0,est donc représenté par un K -espace˘ analytique_MDr,1,qui est un revêtement étale de_MDr,0de groupe_O^×_D/(1+DOD)∼=F^×_qd. En posantM^ca_Dr,1 :=MDr,1⊗_K˘K^ca,on a un isomorphismeM^ca_Dr,1∼=^ca×Z.Suivant [9, (3.1.5)], on définit une action du groupe G DW surM^ca_Dr,1telle que la composante^ca× {0}

soit stable sous l’action du sous-groupe(G DW)⁰.Désormais, on identifie^caau sous-espace analytique ouvert-fermé^ca× {0}deM^ca_Dr,1.

(3.1.5) Soitθ:F^×_qd →Q^× un caractère d-primitif, i.e.θ ne se factorise pas par la norme N_F

qd/F_{q f} :F^×_qd F^×_qf,∀f|d et f =d.Définissons les représentations suivantes:

• une représentationρ(θ):=ind_[D]^D×

dθde D^×,où[D]d =O^×_D^Ztel queO^×_Dagit via la projection_O^×_DF^×

q^d,et^Zagit trivialement.

• une représentationπ(θ) := ind^G

GLd(O)^Zπ_θ de G,oùπ_θ est la représentation cuspi-dale de GLd(Fq)associée àθ via la correspondance de Green (ou de Deligne-Lusztig), vue comme une représentation de GLd(O)^Ztelle que GLd(O)agit via la projection GL_d(O)GL_d(Fq)et^Zagit trivialement.

• une représentationσ(θ) := ind_[W^WK

K]dθ de W_K, oùθ est le caractère de[WK]d = I_Kϕ^dZ tel queθ(ϕ^d) = (−1)^d−1q^d(d−1)2 ,etθ|IK se factorise par l’inertie modérée I_K I_K/I_K(t)∼=μq^d−1 θ

−→Q^×,icit est la racine(q^d−1)-ième defixée dans (2.3.8).

Posons

Hⁱ_c:=H_cⁱ(M^ca_Dr,1/^Z,Q), i∈ {d−1, . . . ,2d−2}.

D’après la description précédente,

Hⁱ_c=ind^{G DW}_{[G DW]}

d H_cⁱ(^ca,Q),

où∈K^×⊂G agit trivialement. On considère la partieρ(θ)-isotypique de Hⁱ_c. Théorème 3.1.6 Pour toutθ :F^×_qd →Q^× caractère d-primitif, on a

Hom_D×(ρ(θ),Hⁱ_c)

G×WK

π(θ)⊗σ(θ), si i=d−1;

0, si i=d−1.

Preuve Ceci découle du lemme (3.1.8) et la proposition (3.1.10).

Lemme 3.1.7 En tant que représentation de GW :=G×W_K,on a Hom_D×(ρ(θ),Hⁱ_c)=ind^GW_[GW]

dHom_F×

qd(θ,H_cⁱ(^ca,Q)), où[GW]d = {(g, w)∈GW |v(g,1, w)∈dZ}.

Preuve D’après la réciprocité de Frobenius, on a

Hom_D×(ρ(θ),H_cⁱ)=Hom_[D]d(θ,ind^{G DW}_{[G DW]}

d H_cⁱ(^ca,Q))

=ind^GW_[GW]

dHom_F×

qd(θ,H_cⁱ(^ca,Q)).

Lemme 3.1.8 En tant que représentation de G,on a

Hom_D×(ρ(θ),Hⁱ_c)=

π(θ)^⊕d, si i=d−1;

0, sinon.

Preuve Notons M(θ)la partieθ-isotypique d’unF^×_qd-module M.Rappelons que si s est un sommet deBT,nous avons pour tout i∈Nun isomorphisme (cf. (2.5.6))

H_cⁱ(ν⁻¹(|s|^∗),Q)∼=H_cⁱ(DL^d−1

Fq ,Q).

Commeθ est d-primitif, grâce à la propriété des variétés de Deligne-Lusztig [11, Lemma 9.14], on a

H_cⁱ(DL^d−1

Fq ,Q)(θ)∼=

πθ, si i=d−1;

0, sinon.

En vertu du théorème (2.5.9), si i =d−1,H_cⁱ(ν⁻¹(|σ|^∗),Q)(θ)=0∀σ.Si i=d−1, σs un simplexe tel que dimσ >0,commeπθest une représentation cuspidale de GL_d(Fq),on a

H_c^d−1(ν⁻¹(|σ|^∗),Q)(θ)∼=π^G_θ^+σ/G+s =0.

Donc, la partieθ-isotypique de la suite spectrale3.1dégénère en E1lorsque i =d−1.En conclusion, on a

Hom_F×

qd(θ,H_cⁱ(^ca,Q))

= ^s∈BT0H_c^d−1(ν⁻¹(|s|^∗),Q)(θ)=

s∈BT0π_θ, si i=d−1;

0, sinon. (3.2)

Ceci nous fournit un isomorphisme deQ[G]d-modules Hom_F×

qd(θ,H_c^d−1(^ca,Q))∼=π(θ)|[G]d. Alors, en tant que représentation de G,nous avons

Hom_D×(ρ(θ),H^d−1_c )=ind_[G]^G

dHom_F×

qd(θ,H_c^d−1(^ca,Q))

=ind_[G]^G

dπ(θ)|_[G]d

Notonsπ(θ):=ind^[G]d

Dans le reste de ce paragraphe, on démontre la proposition suivante:

Proposition 3.1.10 On a un isomorphisme de WK-modules Hom_G(π(θ),Hom_D×(ρ(θ),H^d_c⁻¹))∼=σ(θ).

Preuve D’après la réciprocité de Frobenius, on a Hom_G(π(θ),Hom_D×(ρ(θ),H_c^d−1))

On en déduit que x=e_G+

s x=e_G+

s xs+

s=s

e_G+

s xs =xs ∈H_c^d−1(ν⁻¹(|s|^∗),Q)(θ).

Par conséquent, on a

Hom_G(π(θ),Hom_D×(ρ(θ),H^d−1_c ))=ind^W_[W^K

K]dHom_GLd(Fq)(π_θ,H_c^d−1(ν⁻¹(|s|^∗),Q)(θ)).

Notons que

V:=Hom_GLd(Fq)(πθ,H_c^d−1(ν⁻¹(|s|^∗),Q)(θ)) est unQ-espace vectoriel de dimension 1,car

H_c^d−1(ν⁻¹(|s|^∗),Q)(θ)∼=H_c^d−1(DL_F

q,Q)(θ)=πθ

en tant que représentation de GL_d(Fq).Donc on se ramène à comprendre l’action de[W_K]d= I_Kϕ^dZsur V.

Tout d’abord, on note que la dualité de Poincaré entraîne que

V =HomGL_d(Fq)(π_θ,H^d−1(ν⁻¹(|s|),Q(d−1))(θ⁻¹)^∨).

=Hom_GLd(Fq)(πθ,H^d−1(_s^ca,Q(d−1))(θ⁻¹)^∨).

En comparant (2.3.8) et (2.5.1), on observe que l’action de IK sur⁰_s (cf. (2.3.8)) se factorise par IK/IK(t) ∼=F^×_qd,et elle s’identifie à l’action deF^×_qd sur DL^d−1

Fq .Alors l’action de IK

sur V se factorise par IK/IK(t)via le caractèreθ.

On est amené donc à étudier l’action deϕ^dsur V.À priori, l’espace analytique^can’a qu’une action du groupe d’inertie I_K.Cependant la donnée de descente à la Weil sur_MDr,0 ([31, (3.48)]) définit une action de l’élément de Frobenius géométriqueϕsur_M^ca_Dr,1.Pour définir une donnée de descente de,il faut décaler par l’endomorphisme⁻¹_D .Précisément, d’après [31, (3.72)], le morphisme⁻_D¹◦ϕinduit la donnée de descente canonique de_M⁽_Dr,0⁰⁾ , donc il induit une donnée de descente de,et de même une donnée de descente de_s⁰.En particulier,⁻_D¹◦ϕinduit une donnée de descente de la fibre spéciale⁰_sde_s⁰.Autrement dit, cela nous fournit une structureFq-rationnelle de⁰_s,et on note Fr le morphisme de

Frobenius associé.

Pour déterminer cette structureFq-rationnelle, on considère l’action de Fr sur les com-posantes connexes géométriques de⁰_s.Notonsπ0(X)l’ensemble des composantes connexes géométriques de X pour un espace analytique ou une variété X.On a le fait suivant:

Fait π0(MDr,1)est un espace homogène sous K^×,isomorphe à K^×/(1+O),sur lequel l’action de G est donnée par G−→^det K^×,celle de D^× est donnée par D^×−→^Nr K^×,celle de WK est donnée par Art⁻¹_K :WK W_K^ab−→K^{∼ ×}.

Remarque Dans [7], Chen a étudié les composantes connexes géométriques de la tour de l’espace de Rapoport-Zink non-ramifié de certains types, avec les actions de différents groupes associés à la donnée de Rapoport-Zink. En particulier, elle a décrit les com-posantes connexes géométriques de la tour de Lubin-Tate(ML T,n)n∈Nmunies des actions de G,D^×,WK.En vertu de l’isomorphisme de Faltings-Fargues [15] entre la tour de Lubin-Tate et la tour de Drinfeld et en prenant le sous-ensemble fixé par 1+DOD,on obtient l’énoncé du fait précédent.

Lemme π0(⁰_s)est un espace principal homogène sousF^×_q sur lequel Fr agit par multipli-cation par(−1)^d−1.

Preuve Notons que Nr(D) = (−1)^d−1 et Art⁻¹(ϕ) = .D’après le fait précédent, π0()est un espace principal homogène sousF^×_q,sur lequel⁻¹_D ◦ϕagit par multiplication par

Nr(⁻¹_D)·Art⁻¹(ϕ)=(−1)^d−1−1· =(−1)^d−1.

Comme_s⁰est unμ_q^d₋₁-torseur sur^d−1_O,s˘ ,on a une bijection canonique entreπ0(ν⁻¹(|s|))et π0(⁰_s).D’après l’équation2.7de⁰_s ∼=DL^d−1

Fq ,on sait que|π0(⁰_s)| =q−1.Les immer-sionsν⁻¹(|s|) → ν⁻¹(|s|^∗) → induisent les morphismes α, β entre les composantes connexes

π0(ν⁻¹(|s|))−→π^α 0(ν⁻¹(|s|^∗))−→π^β 0().

On démontre que le composé β ◦ α est une bijection. En effet, α est bijective, car H⁰(ν⁻¹(|s|), )=H⁰(ν⁻¹(|s|^∗), ),d’après (2.2.3). Puisque|π0(ν⁻¹(|s|))| = |π0()| = q−1,il suffit de montrer queβest surjective. Notons que{ν⁻¹(|s|^∗)}s∈BT0 forment un recourement ouvert de . On se ramène alors à prouver que pour s un sommet quel-conque et U une composante connexe deπ0(ν⁻¹(|s|^∗)), il existe une suite de sommets s₀ = s,s₁, . . . ,s_n = s et des composantes conexes U_i ∈ π0(ν⁻¹(|s_i|^∗))avec U_n = U telles que s_i,s_i+1soient adjacent et U_i∩U_i+1 = ∅,∀i.Par dévissage, il suffit de considérer le cas où s et ssont adjacent. Notonsσle simplexe[s,s],et considérons les immersions ouvertesν⁻¹(|σ|^∗) →ν⁻¹(|s|^∗)etν⁻¹(|σ|^∗) →ν⁻¹(|s|^∗)induisant les morphismes entre π0:

α1:π0(ν⁻¹(|σ|^∗))→π0(ν⁻¹(|s|^∗)), α2:π0(ν⁻¹(|σ|^∗))→π0(ν⁻¹(|s|^∗)).

Notons queα1 etα2 sont bijectives. Ceci découle du théorème (2.5.9) et du fait que le p-groupe G⁺_σ agit trivialement sur H_c^2d−2(ν⁻¹(|s|^∗), ).Donc, pour U ∈π0(ν⁻¹(|s|^∗)),il existe une composante connexe U∈π0(ν⁻¹(|s|^∗))tel que U∩Ucontienne une composante connexe du ouvertν⁻¹(|σ|^∗)de.Par conséquent,βest bijective.

On a alors une bijection canonique entreπ0()etπ0(⁰s)compatible avec l’action de F^×_q.Par conséquent, le morphisme de Frobenius Fr induit la multiplication par(−1)^d−1sur

π0(⁰_s).

Lemme 3.1.11 La forme_Fq-rationnelle de⁰_s induite par la donnée de descente Fr est isomorphe à la variété de Deligne-Lusztig (Fq-rationnelle) DL^d−1 définie par l’équation 2.7.

Preuve D’après le théorème (2.5.4), on sait que⁰_s ∼=DL^d−1

Fq .Grâce à la suite spectrale E₂^pq =H^p(Gal(Fq/Fq),H^q(^d_F⁻¹

q , μq^d−1)) ⇒ H^p+q(^d_F⁻_q¹, μq^d−1), on a une suite exacte

0→H¹(Gal(Fq/Fq), μ_q^d₋₁)→H¹(^d_F⁻¹_q , μ_q^d₋₁)

→H¹(^d_F⁻¹

q , μq^d−1)→H²(Gal(Fq/Fq), μq^d−1).

Notons que H¹(Gal(Fq/Fq), μq^d−1) = F^×_q grâce à la suite exacte de Kummer et Thm.

90 de Hilbert, et que H²(Gal(Fq/Fq), μq^d−1) = 0. On en déduit que les formes Fq -rationnelles de DL_F

q sont données par Yapour tout a∈F^×_q,où Yaest donnée par l’équation det((X^q_i^j)0i,jd−1)^q−1 =a.En particulier, DL^d−1=Y₍₋₁₎d−1.

L’ensemble des composantes connexes géométriquesπ0(Y_a)de Y_as’identifie à l’ensemble des racines(q −1)-ièmes de a. Précisément, on associeε telle queε^q−1 = a la com-posante connexe géométrique définie par l’équation det((X^q_i^j)0i,jd−1) = ε. Via cette identification, t ∈ F^×_q agit par multiplication qui envoie ε vers tε. Considérons le mor-phisme de Frobenius Frob : (X_i)0id−1 → (X^q_i)0id−1 sur Y_a. Pour un point x = (x₀, . . . ,x_d−1) tel que det((x^q_i^j)0i,jd−1) = ε, Frob(x) = (x₀^q, . . . ,x_d^q₋₁) satis-fait l’équation det((x_i^q)^qj)0i,jd−1 =ε^q =a·ε.Autrement dit, Frob agit surπ0(Y_a)par multiplication par a.Il s’ensuit que Y₍₋₁₎d−1 = DL^d−1 est la formeFq-rationnelle de⁰s

induite par Fr,en vertu du lemme précédent.

Théorème 3.1.12 (Digne et Michel [12]) Fr^dagit sur H_c^d−1(⁰_s,Q)(θ)par multiplication par(−1)^d−1q^d(d−1)2 .

Preuve D’après le lemme précédent, il suffit de montrer que(−1)^d−1q^d(d−1)2 est l’unique valeur propre de Frob^d sur H_c^d−1(DL^d−1,Q)(θ). Ceci est essentiellement démontré par Digne et Michel [12, V. (3.14)]. Cependant, ils ont calculé la valeur propre de Frob^d pour la variété définie par l’équation det((X_i^qj)0i,jd−1)^q−1 =1.De plus, dans leur formule (page 106 de loc. cit.), il manque un signe(−1)^d−1(d =n dans loc. cit.), comme ils ont oublié qu’ils travaillaient avec une somme alternée. En plus, le facteurθ((−1)^d−1)dans loc.

cit. disparait. Cela vient du fait que l’on peut rendre un isomorphisme entre Y₁ et Y_a par un changement de variables f : Xi → Xi/b où b^qd−1 = a.Alors l’action de Frob^d sur H_cⁱ(Ya,Q)est la même que celle sur H_cⁱ(Y1,Q)tordue par l’automorphisme induit par le changement de variables X_i →a·X_i,donc n’est autre que l’action de l’élément a∈F^×_qd. Ce dernier agit bien parθ(a)sur la partieθ-isotypique de la cohomologie. Par conséquent, dans notre cas où a=(−1)^d−1,l’endomorphisme Frob^dagit sur H_c^d−1(DL^d−1,Q)(θ)par

la constante(−1)^d−1q^d(d−1)2 .

Revenons à la preuve de la proposition (3.1.10). L’action deϕ^dsur V est donnée par celle sur H^d−1(^ca_s ,Q(d−1))(θ)^∨,donc elle s’identifie à l’action de Fr^d sur H_c^d−1(⁰_s,Q)(θ).

En vertu du lemme précédent, on obtient l’énoncé de la proposition.

Remerciements Je remercie profondément mon directeur de thèse Jean-François Dat de me proposer ce sujet et ses constants encouragements. Je tiens à exprimer ma gratitude à Miaofen Chen, Bas Edixhoven, Jared Weinstein et Weizhe Zheng pour leurs enrichissantes discussions. Je remercie Jared Weinstein pour son intérêt sur ce travail et pour m’avoir invité à Boston. Enfin, je remercie le referee anonyme pour ses commentaires.

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