Les ensembles seront notés par des majuscules A, B, . . . et les éléments qu’ils comprennent par
des minuscules a, b, . . . Faisons un bref rappel sur des notions de la théorie des ensembles.
4.2.1
Égalité d’ensembles
Deux ensembles sont égaux s’ils sont formés des mêmes éléments: X = Y ⇔ (x ∈ X ⇒ x ∈ Y et x∈ Y ⇒ x ∈ X). L’égalité entre ensembles est réflexive, symétrique et transitive. L’ensemble vide sera noté /0.
4.2.2
Inclusion
X est un sous-ensemble de Y (X inclus dans Y ) si tous les éléments de X appartiennent à Y : X ⊆ Y ⇔ (x ∈ X ⇒ x ∈ Y ). L’inclusion est réflexive, antisymétrique et transitive.
4.2.3
Intersection
L’intersection de deux ensembles X et Y est l’ensemble des éléments qui appartiennent aux deux: X∩Y = {x telque x ∈ X et x ∈ Y }. L’intersection est commutative, associative et idempotente, ce dernier terme traduit X∩ X = X.
4.2.4
Union
La réunion de deux ensembles est constituée des éléments appartenant à l’un ou à l’autre, c’est- à-dire X∪Y = {x tel que x ∈ X ou x ∈ Y }. La réunion d’ensembles est commutative, associative et idempotente. Remarquons que contrairement à l’intersection, la réunion de deux ensembles dont l’un n’est pas vide, n’est jamais vide.
4.2.5
Différence
Étant donnés X et Y , la différence de X par Y , notée X−Y ou X\Y est l’ensemble des éléments de X qui n’appartiennent pas à Y : X−Y = {x|x ∈ X et x 6∈ Y }. La différence entre ensembles n’est en général pas commutative et ne possède pas de bonnes propriétés. Certains utilisent parfois une autre loi de composition, appelée différence symétrique, notée X∆Y , et définie par X∆Y = X ∪Y − X∩Y . C’est donc l’ensemble des éléments qui appartiennent à l’un ou à l’autre mais jamais aux deux ensembles. La différence symétrique est une opération commutative et associative.
Après le rappel de ces opérations d’ensembles usuelles, nous introduisons des opérations qui seront utiles pour la définition d’opérateurs morphologiques.
4.2.6
Complémentaire
Soit un sous-ensemble X d’un ensemble E servant de référentiel, le complémentaire de X dans E est le sous-ensemble noté Xc, fourni par Xc= {x tel que x ∈ E et x 6∈ X}. La figure 4.1 illustre la notion de complémentaire. Si le référentiel E est modifié, le complémentaire diffère.
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 X Xc
Figure 4.1: Complémentaire d’un ensemble.
Tout comme pour les opérateurs logiques, il existe des formules de MORGAN où intervient le complémentaire: le complémentaire d’une intersection est égal à l’union des complémentaires(X ∩ Y)c= Xc∪Ycet vice versa.
La notion de complémentarité est importante. Elle permet de faire un lien entre un traitement effectué sur un objet (l’ensemble X ) et l’arrière-plan. Quand on peut traiter indifféremment un objet ou son complémentaire, on parle d’auto-dualité. Remarquons que les traitements sont rarement auto- duaux.
4.2.7
Symétrique
Soit un référentiel E sur lequel on a défini l’addition+; on dispose alors d’une structure mathé-
matique plus riche (un groupe par exemple), permettant de définir de nouveaux opérateurs. L’opposé de l’addition est la soustraction.
Le symétrique ˇX de l’ensemble X est défini par ˇX = {−x|x ∈ X}.
4.2.8
Translaté
Le translaté de X par b vaut{z ∈ E |z = x+b, x ∈ X}. Comme le montre la figure 4.2, la translation d’un ensemble consiste à déplacer l’ensemble dans le référentiel.
X Xb
o b
4.2.9
Addition et soustraction de MINKOWSKI
Soient X et B deux ensembles quelconques de l’espace E . À tout x∈ X et b ∈ B, il est possible de faire correspondre la somme algébrique x+ b. Choisissant tous les x et b, on forme un nouvel
ensemble appelé addition de MINKOWSKI et noté X⊕ B. Cet ensemble se définit par X ⊕ B = {z ∈
E|z = x + b, x ∈ X, b ∈ B}.
Du fait de la commutativité de l’addition, X⊕ B =Sx∈XBx=Sb∈BXb= B ⊕ X. Par analogie, il est possible de définir la soustraction de deux ensembles notée X⊖ B, l’opération X ⊖ B =Tb∈BX−b.
4.2.10
Propriétés de base des transformations morphologiques
Toute opération morphologique est par construction le résultat d’une ou plusieurs transformations sur des ensembles, en abrégé ψ(X ) suivi éventuellement d’une mesure P(ψ(X )). Assez grossière-
ment, une transformation morphologique est vue comme la réalisation d’opérations ensemblistes (union, intersection, complémentarité,. . .) faisant intervenir X et l’ensemble ou élément structurant B
déplacé à travers tout l’espace E , opérations dont le résultat s’interprète pour tout point de cet espace. Pour que l’outil de transformation ait une quelconque utilité, les opérations satisfont souvent quatre principes (les opérateurs morphologiques introduits par la suite ne rencontrent pas tous ces principes):
1. Invariance en translation.
La translation temporelle d’un signal introduit un facteur de phase dans la transformée de FOURIER, facteur qu’il est possible d’extraire et de neutraliser. Dans le même état d’esprit, il paraît logique d’imposer l’invariance par translation des transformations morphologiques, traduite mathématiquement par la relationψ(Xb) = (ψ(X ))b. Il est clair qu’ainsi l’origine de l’espace ne joue plus le moindre rôle privilégié et que les seules transformations admises seront insensibles à la position des coordonnées.
2. Compatibilité avec les homothéties.
Les transformations dépendent parfois d’un facteur d’échelle positifλ. SoientλX un ensemble homothétique de X dans Rn et ψλ une transformation de paramètre λ. La transformation est compatible avec les homothéties s’il est équivalent d’appliquer ψλ à l’ensemble X dilaté du facteurλ ou de dilater le résultat de la transformée de X pourλ= 1. Cela se traduit par la rela-
tion: ψλ(λX) =λψ(X ) où ψ =ψ1. À titre d’exemple, la transformation consistant à extraire
d’un ensemble les cordes horizontales de longueurλ, est compatible avec les homothéties. Ce principe concerne toutes les transformations où opère un paramètre métrique.
3. Connaissance locale.
Le principe de connaissance locale intervient lorsque le champ de mesures ne contient qu’une partie de l’ensemble X : c’est le cas de structures observées au microscope. Grâce à cette pro- priété, la complexité en calcul est réduite et l’extérieur de l’image peut être adapté de manière à faciliter l’application, sans que cela n’ait de conséquence directe sur le contenu informatif de l’image; c’est la notion de géodésie sur laquelle nous reviendrons ultérieurement.
Soit M l’ensemble borné fermé (de volume fini) définissant le champ de mesures. L’ensemble X est connu à l’intérieur de ce champ, car on dispose de X∩ M. La transformation ψ vérifie le principe de connaissance locale si, quel que soit l’ensemble M borné, il existe N borné, ne dépendant pas de X , tel queψ(X ∩ N) ∩ M =ψ(X ) ∩ M; ce qui signifie que le comportement deψ à l’intérieur de M ne dépend que de ce qu’il y a dans N. La condition de connaissance locale élimine toutes les transformations qui concernent des maxima (longueur ou surface max- imales, . . .). Pour l’étude de signaux à plusieurs niveaux de gris, la notion de connaissance
reconsidérer les extrema de fonctions, notion indispensable pour quiconque désire étendre le cadre de la mathématique morphologique. Le principe de connaissance locale simple dit qu’il existe une taille du masque d’observation Z au-delà de laquelle la connaissance locale est as- surée. Pour les ensembles N dont la taille est inférieure à celle de Z, la connaissance locale n’est pas satisfaite. C’est par l’intermédiaire des extrema qu’il est possible de montrer que toute convolution est un cas particulier de filtrage morphologique.
4. Continuité uniforme.
Considérons deux ensembles X et Y ; intuitivement, une transformation est dite continue lorsque, si en se rapprochant de plus en plus de X , la transformée de Y (ψ(Y )) se rapproche
de plus en plus de la transformée de X (ψ(X )): X → Y ⇒ψ(X ) →ψ(Y ). Formellement la
continuité est obtenue lorsque, pour tout voisinage V deψ(X ), il existe un voisinage V′ de X tel que pour Y ∈ V′,ψ(Y ) ∈ V . Très clairement la continuité dépend de la notion de voisinage, c’-à-d. de la topologie.
SERRA parle aussi de semi-continuité.
Dans la suite, nous verrons apparaître des correspondances avec les propriétés énoncées ci-dessus, parfois pour constater qu’elles ne sont pas toutes respectées par certains opérateurs morphologiques!