Mesures géométriques de base

Fondamentalement, les trois mesures de base caractérisant une forme sont le périmètre, la surface et le nombre d’EULER-POINCARRÉ. Par ailleurs, HADWIGER [9] a montré que toute mesure de la forme continue, additive et invariante par rotation et translation est nécessairement une combinaison linéaire de ces trois mesures de base.

Périmètre

Le périmètre d’une figure se calcule aisément à partir d’une description du contour par un codage en chaîne. En effet, il suffit de compter le nombre de points de ce codage en chaîne en considérant un facteur multiplicatif√2 pour les directions diagonales.

Périmètre d’un polygone Soient Np et Ni le nombre d’éléments respectivement pairs et impairs contenus dans le codage en chaîne en 8-connexité d’un contour C.

P(C) = Np+

√

2Ni (9.18)

Aire

L’aire ou surface d’un objet s’obtient simplement en comptant le nombre de pixels qui le com- posent. Parfois, on distingue l’aire d’un objet de celle calculée en remplissant les trous présents dans l’objet. D’un point de vue pratique, un balayage direct de l’image suffit au calcul de l’aire.

Caractéristique d’EULER-POINCARRÉ

Il existe une relation fondamentale entre le nombre de composantes connexes C et le nombre de trous T .

Définition 72 [Nombre d’EULER] On définit le nombre d’EULERE par

E_{= C − T} (9.19)

1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 4 3 1 7 5 2 6 Code : 0000000217777222... (xt, yt) (xr, yr) (xc, yc)

Figure 9.16: Nombre d’EULER: E_{= 1 − 2 = −1.}

Propriétés topologiques. Une propriété topologique est une propriété préservée lors de l’étirement d’une forme. Ainsi, la distance métrique n’est clairement pas une propriété topologique, ainsi que tous les opérateurs qui en découlent.

Le nombre d’EULERest une propriété topologique car C et T sont des propriétés topologiques. Le nombre de connexité, c’est-à-dire le nombre de particules, est également une propriété topologique.

9.2.2

Indices de forme

Un premier moyen, très utilisé en pratique, pour caractériser une forme est d’inscrire l’objet dans un rectangle, un cercle ou tout autre forme de référence; le principe en est illustré à la figure 9.18. Les paramètres de ces formes de référence caractérisent alors grossièrement l’objet analysé.

Figure 9.18: Un objet et différentes figures de référence exinscrites.

Ainsi, PARKER [24] définit la rectangularité d’un objet comme le rapport entre l’aire de l’objet et l’aire du plus petit rectangle exinscrit. La rectangularité est toujours inférieure à 1; elle vaut 1 pour un rectangle.

Plus généralement, un indice de forme est une description chiffrée de la forme d’un objet binaire. RUSS [28] définit une série d’indices de forme. En voici quelques-uns (cf. tableau 9.1). Soient A(X ),

P(X ), Dmin et Dmax respectivement l’aire de X , le périmètre de X , le diamètre minimum de l’ellipse exinscrite à X et le diamètre maximum.

Nom Expression

Facteur de forme 4πA(X) P(X)2 Circularité 4A_πD(X)2

max

Rapport d’aspect Dmax

Dmin

Table 9.1: Quelques indices de forme (d’après [28]).

On peut aussi considérer des indices qui mesurent l’écart, encore appelé déficit, entre la forme d’un objet et une forme de référence. Ainsi, on définit l’indice d’écart au cercle inscrit (de rayon R) comme

IR_{(X ) = 1 −}A(X )

9.2.3

Moments

Les moments d’une image sont des descripteurs courants, notamment en reconnaissance de car- actères. La définition fournie ci-après considère une image f(x, y); le passage à un objet se fait en

prenant une valeur 1 à l’intérieur de l’objet et 0 en dehors.

Définition 73 Le moment d’ordre p+ q de la fonction f (x, y) est

mpq =

∑

∑

xpyqf(x, y) (9.21)

On peut centrer ces moments en déduisant la moyenne, ce qui fournit les moments centrés µpq =

∑

x

∑

(x − m10)p(y − m01)qf(x, y) (9.22)

ou encore normaliser leur valeurs (cf. [34])

ηpq=

µpq

µp+32

00

(9.23)

HU [12] a montré l’usage qu’on pouvait faire de tels moments centrés normalisés. Ils conduisent à des caractéristiques qui possèdent des propriétés d’invariance en translation et en rotation (notam- ment) intéressantes. Leur détermination est néanmoins coûteuse en raison des nombreuses opérations de calcul.

9.2.4

Mesures morphologiques

Les mesures morphologiques les plus courantes sont des granulométries qui représentent l’évolution d’une caractéristique en fonction de la taille de l’élément structurant considéré pour l’analyse.

Granulométries

Proposition 74 [?, page 93] Si Bi, i> 0, est une collection d’éléments structurants tels que Bi est égal à son ouvert au moyen de tout élément Bj si i≥ j, alors les ouvertures γi =γBi satisfont la

propriété de semi-groupe

γiγj=γjγi=γi, i ≥ j (9.24) Une collection de telles ouvertures γi, i> 0 est appelée granulométrie. La mesure de LEBESGUE des ensembles ouverts –l’aire en pratique–γi(X ) définit une fonction décroissante de i > 0, appelée courbe granulométrique.

Covariogramme géométrique

Comme autre mesure morphologique, on peut définir le covariogramme qui effectue une mesure corrélatoire spatiale de l’objet.

Définition 75 [Covariogramme]

CX(h) = A(X ∩ Xh) pour h ∈ R2 (9.25) L’emploi d’une telle mesure se justifie en présence de plusieurs objets non connexes et de forme fort proche, car le covariogramme fait ressortir l’écart entre les objets.

Enveloppe convexe

La notion de convexité et d’enveloppe convexe intervient souvent en traitement d’images. La convexité se définit de la manière suivante:

Définition 76 [Convexité] Un ensemble X _{⊆ E est convexe si rx + (1 − r)y ∈ X pour tout x,y ∈ X} avec r_{∈ [0,1].}

Autrement dit, toute droite reliant deux points quelconques de X doit être entièrement contenue dans X . La figure 9.19 montre quelques objets.

A B C

x _{z y}

Figure 9.19: A, B sont convexes; C ne l’est pas.

La notion de convexité permet de définir celle d’enveloppe convexe.

Définition 77 L’enveloppe convexe d’un ensemble X_{⊆ E , notée co(X), est l’intersection de tous les} ensembles convexes contenant X .

La figure 9.20 montre un ensemble et son enveloppe convexe. Il est à remarquer que l’enveloppe convexe ne contiendra aucun trou, ce qui signifie que tous les trous de l’ensemble X seront bouchés.

S

Figure 9.20: Un ensemble X et son enveloppe convexe.

La convexité est une notion géométrique riche qui a donné naissance à des développements mathématiques intéressants. Le résultat suivant est une conséquence directe d’un théorème de CARATHEODORY.

Proposition 78 [?, page 274] Soient X_{,Y ⊆ E}

Bien entendu, on peut définir des indices de forme basé sur l’enveloppe convexe. Ainsi, l’indice de convexité vaut

P(co(X ))

Chapter 10

Segmentation d’images

10.1

Présentation du problème

Dans les approches classiques de compression ou de rehaussement, la sortie est une approxima- tion ou une amélioration de l’image d’entrée. Une autre branche du traitement d’image s’occupe de l’analyse d’image ou analyse de scène. Dans ce domaine, l’entrée est toujours une image mais la sortie est une description de l’image. La plupart des descriptions nécessitent une détection préalable des formes présentes dans l’image, étape appelée segmentation. Ce chapitre est consacré à l’étude de techniques de segmentation d’image.

Pour situer le problème de la segmentation d’image, nous étudierons une série d’outils de seg- mentation en précisant leurs avantages et inconvénients.

10.1.1

Définition

Définition 79 En général, on considère que l’objectif de la segmentation revient à construire une série de régions R1, . . . , Rntelles

E ₌

n

[

i=1

Rn et ∀i 6= j, R ∩iRj= /0 (10.1) Définition 80 Formellement, la segmentation s’apparente à un opérateurφ agissant sur l’image I et fournissant, par exemple, une image binaireφ(I) qui différencie les points des contours des objets.

Comme alternative, on pourrait fort bien considérer que la segmentation a pour objectif de définir une série de régions d’intérêt. C’est par ailleurs la manière usuelle de l’aborder dans le secteur du traitement d’images industriel.

La tâche n’est généralement pas simple et le lecteur attentif remarquera que les procédés de seg- mentation sont fort nombreux. D’une manière générale, l’utilisateur se voit contraint de construire un procédé de segmentation le plus adapté au problème qu’il traite. Il faut qu’il garde à l’esprit qu’une même image peut subir plusieurs segmentations toutes aussi valables les unes que les autres; c’est l’application en ligne de mire qui permet de déterminer si le résultat de la segmentation est adéquat ou non.

La segmentation, comme la plupart des techniques de traitement d’images, peut être abordée sous l’angle local ou global. Le premier considère que la segmentation ne requiert pas la connaissance du contenu global de l’image mais seulement le voisinage direct de chaque pixel. À l’inverse, dans une approche globale, c’est la totalité du contenu de l’image qui constitue l’unique guide. Ainsi, lorsqu’on désire segmenter un nombre précis d’objets (typiquement une centaine) s’agit-il d’un procédé global.

La différence essentielle entre l’approche locale ou globale tient du fait que le moindre changement dans la valeur d’un pixel peut, respectivement, se limiter à des perturbations au voisinage local de la valeur affectée ou modifier la totalité du résultat de la segmentation.