Nous renvoyons à [Dix,Die1, Pau] pour les démonstrations non rappelées dans cette partie. SiX est un espace métrique, la distance deXsera notéed, à défaut d’une notation particulière.
Espaces vectoriels normés et applications linéaires continues.
SoitKle corpsRouC, muni de sa valeur absolue usuelle. Nous noterons K×le groupe multiplicatif (K− {0},×) de K. Dans ce texte, toutes les algèbres sont des algèbres surK unifères(c’est-à-dire munies d’une unité (élément neutre pour la multiplication) notée1ou id) et les morphismes d’algèbres préservent les unités. SiE est un espace vectoriel normé sur K, nous appellerons parfoistopologie forte surE la topologie induite par la norme de E (ceci pour la distinguer d’éventuelles autres topologies « plus faibles » qui peuvent être introduites sur E). Sauf mention explicite du contraire, tout espace vectoriel normé réel ou complexe sera muni de sa topologie forte.
Une algèbre norméesurKest une algèbreA surKmunie d’une norme k · k, telle que
kuvk ≤ kuk kvk (1)
pour tous les u, v dansA. Unealgèbre de Banach2 surKest une algèbre normée complète surK.
Exemple. Si X est un espace métrique compact non vide, notons C(X;K) l’espace vectoriel sur Kdes applications continues de X dansK, muni de lanorme uniforme
kfk∞= sup
x∈X |f(x)|= max
x∈X |f(x)|.
Muni des opérations de multiplication par un scalaire, addition et multiplication point par point, c’est une algèbre de Banach et sa topologie forte est aussi appelée la topologie de la convergence uniforme. Rappelons le résultat de densité suivant (voir par exemple [Die1]
ou [Pau, §5.6]).
Théorème 1.1 (Théorème de Stone2-Weierstrass2) SoitX un espace métrique com-pact non vide. Toute sous-algèbre séparante3 et invariante par conjugaison complexe de
2.
Hilbert Banach Stone Weierstrass (1892-1945)
(1862-1943) (1903-1989) (1815-1897)
3. Un ensembleA d’applications d’un ensembleE dansCestséparantsi pour tous lesx6=ydansE, il existef∈A telle quef(x)6=f(y).
l’algèbre C(X;C) des applications continues de X dans Cest dense pour la topologie de la
convergence uniforme.
SoientE etF deux espaces vectoriels normés surK. Si f :E→F est une application linéaire, rappelons que la norme d’opérateurde f est (avec la convention que les première et troisième bornes supérieures sont nulles si E={0})
kfk= sup
x∈E−{0}
kf(x)k
kxk = sup
x∈E,kxk≤1 kf(x)k= sup
x∈E,kxk=1 kf(x)k.
Rappelons que f est continue si et seulement si sa norme d’opérateurkfkest finie, et que l’espace vectoriel surKdes applications linéaires continues deE dansF, muni de la norme d’opérateur, est un espace vectoriel normé, noté L(E, F). Rappelons de plus que siF est un espace de Banach, alorsL(E, F)est aussi un espace de Banach. Unopérateur (linéaire) continu de E dansF est un élément deL(E, F), et un opérateur (linéaire) continude E est un élément de L(E) =L(E, E).
SiE est un espace vectoriel normé surK, alors l’espace vectoriel norméL(E)muni de la composition des applications est une algèbre normée surK, qui est une algèbre de Banach siE est un espace de Banach. La propriété (1) de la norme d’opérateur est cruciale, même en dimension finie, où il existe de très nombreuses normes intéressantes sur les opérateurs linéaires (ou leurs matrices dans une base donnée), mais qui ne vérifient pas toutes cette propriété (1) (voir par exemple [Cia]).
Proposition 1.2 (1) Soient E un espace de Banach surK et (xn)n∈N une suite dans E. Si la série P
n∈Nxn est normalement convergente (c’est-à-dire si la suite réelle P
n∈Nkxnk converge), alors la série P
n∈Nxn converge dans E, et
X
n∈N
xn≤X
n∈N
kxnk.
(2) Soient A une algèbre de Banach et x∈ A. Si kxk <1, alors l’élément 1−x de A est inversible, d’inverse P
n∈Nxn.
(3) SoitA une algèbre de Banach, notons A× l’ensemble des éléments inversibles deA.
AlorsA× est un ouvert deA, et l’applicationx7→x−1 deA× dansA× est continue.
(4) Soient A une algèbre de Banach et (xn)n∈N une suite dans A× qui converge vers x /∈A×. Alors kxn−1k converge vers+∞ quand n→+∞.
En particulier, soient E et F deux espaces de Banach sur K. Si u ∈ L(E) vérifie kuk < 1, alors par l’assertion (2) appliquée à l’algèbre de Banach L(E), l’application linéaire id−u est bijective, d’inverseP
n∈Nun continu. SoitG L(E, F)l’ensemble des iso-morphismes linéaires, continus et d’inverses continus, deEdansF (mais pas nécessairement isométriques). Alors G L(E, F) est un ouvert de L(E, F), et l’application u 7→ u−1 de G L(E, F)dansG L(F, E)est continue. En effet, ceci découle de l’assertion (3) appliquée à A = L(F) car pour tout u0 ∈ G L(F, E) l’application de G L(F, E) dans G L(E, E) définie par u7→u◦u−01 est un homéomorphisme etu−1=u−01◦ u◦u−01−1
.
Démonstration. (1) La convergence normale de P
n∈Nxnimplique que la suite destn= Pn
k=0kxkkest convergente, donc de Cauchy4 dansR. La suite desyn=Pn
k=0xk est donc de Cauchy dansE, car
kyn+p−ynk=
Xp
i=1
xn+i ≤
Xp
i=1
kxn+ik=|tn+p−tn|. Donc la suite (yn)n∈N est convergente par la complétude deE.
(2) La sérieP
uk dans l’espace de Banach Aest normalement convergente, carkukk ≤ kukk, donc converge versv∈A. Commeuv=vu=v−1par passage à la limite, l’élément v est l’inverse de 1−u.
(3) Soientx0∈A× etx∈A tels quekx−x0k< 1
kx−10 k. Posons y= 1−x−01x. Alors kyk ≤ kx−01k kx−x0k<1, (∗)
donc 1−y = x−01x est inversible par (2), donc x est inversible, ce qui montre que A× contient une boule ouverte centrée en chacun de ses points. De plus,
kx−1−x−01k ≤ k(1−y)−1−1k kx−01k=
+∞
X
n=1
ynkx−01k ≤ kyk kx−01k 1− kyk ,
qui tend vers 0 quand x tend versx0, car alors kyk tend vers0 par les inégalités (*). La continuité en tout point deA× de l’applicationx7→x−1 en découle.
(4) Supposons, quitte à extraire, que la suite (kx−n1k)n∈N soit bornée. Posons zn = 1−x−n1x. Alors la suite deskznk ≤x−n1kkxn−xk converge vers 0, donc la norme de zn est strictement inférieure à 1sinest assez grand. Pour un teln, l’élément 1−znest donc
inversible, par l’assertion (2). D’où x est inversible.
Dualité.
Rappelons que le dual topologique d’un espace vectoriel normé E sur K est l’espace vectoriel surKdes formes linéaires continues deEdansK, normé par la norme d’opérateur, appelée dans ce cas la norme duale: siE 6={0}, alors
kℓk= sup
x∈E−{0}
|ℓ(x)|
kxk = sup
kxk≤1|ℓ(x)|= sup
kxk=1|ℓ(x)|.
Cet espace vectoriel normé est notéE∗ (ou parfois E′), et c’est un espace de Banach (car E∗ =L(E,K)etKest complet). Le dual topologique du dual topologique deE est appelé le bidual topologique de E, et noté E∗∗(ou parfois E′′).
Nous admettrons ici la conséquence suivante du théorème de Hahn-Banach (voir par exemple [Bre]).
4.
Cauchy
Riesz Kronecker Schwarz
(1880-1956) (1789-1857) (1823-1891) (1843-1921)
Proposition 1.3 Soient E un espace vectoriel normé sur K etx∈E. Alors kxk= sup
ℓ∈E∗,kℓk≤1 |ℓ(x)|= max
ℓ∈E∗,kℓk≤1 |ℓ(x)|.
Corollaire 1.4 Soit E un espace vectoriel normé sur K. L’application de E dans E∗∗
définie par
x7→ {evx :ℓ7→ℓ(x)}
est une application linéaire isométrique, appelée le plongement canonique de E dans son bidual topologique E∗∗. Si E est un espace de Banach, alors son image est fermée.
En dimension finie, par un argument d’égalité de dimensions, cette application est un isomorphisme. Mais ceci n’est pas vrai en général.
Démonstration.Pour toutxdansE, l’applicationevx :E∗ →Kest clairement une forme linéaire sur E∗, de norme au pluskxk par la définition de la norme duale (ce qui montre qu’elle est continue), et en fait exactement égale à kxk par la proposition précédente.
L’application x 7→ evx de E dans E∗∗ est clairement linéaire, et isométrique par ce qui précède. Son image est donc complète dans E∗∗ siE l’est. Par conséquent, elle est fermée
si E est un espace de Banach.
Siu ∈ L(E, F), alors l’application tu : F∗ → E∗ (aussi notée u′ : F′ → E′, voire u∗ mais nous réserverons cette notation pour un autre usage, voir la partie 1.5) définie par, pour tout ℓ∈F∗,
tu(ℓ) :x7→ ℓ(u(x)),
est une application linéaire continue, appelée l’application duale de u.
Pour expliquer la notationtu, considérons des espaces vectoriels E etF de dimension finie, (ei)1≤i≤m une base de E et(fj)1≤j≤nune base de F. Notons(e∗i)1≤i≤m labase duale de (ei)1≤i≤m (pour touti= 1, . . . , m, la forme linéaire e∗i est l’unique forme linéaire surE telle quee∗i(ek) =δi,kpour toutk= 1, . . . , m, oùδi,kest lesymbole de Kronecker4, valant1 sii=k, et0sinon). L’explication de la notationtuvient du fait que siu∈L(E, F)a pour matrice M dans les bases (ei)1≤i≤m et (fj)1≤j≤n, alors tu ∈ L(F∗, E∗) a pour matrice, dans les bases duales (fj∗)1≤j≤net(e∗i)1≤i≤m, précisément la matricetM transposée deM.
L’application linéaireu7→tu de L(E, F) dansL(F∗, E∗) est isométrique :
∀u∈L(E, F), kuk=ktuk. (2) En effet, en utilisant la proposition 1.3pour établir la deuxième égalité, nous avons
kuk= sup
x∈E,kxk≤1 ku(x)k= sup
x∈E,kxk≤1
sup
ℓ∈F∗,kℓk≤1 |ℓ◦u(x)|
= sup
ℓ∈F∗,kℓk≤1
sup
x∈E,kxk≤1 |tu(ℓ)(x)|
= sup
ℓ∈F∗,kℓk≤1 ktu(ℓ)k=ktuk.
L’application duale de l’application duale de u coïncide avec u sur le plongement ca-nonique de E dans son bidual topologique E∗∗, au sens suivant : pour tout x dansE,
t(tu)(evx) = evu(x) . (3)
En effet, pour tout ℓ∈F∗, nous avons
t(tu)(evx)(ℓ) = evx(tu(ℓ)) = evx(ℓ◦u) =ℓ(u(x)) = evu(x)(ℓ).
Rappelons les deux exemples fondamentaux de calculs d’espace duaux. Nous renvoyons à [Rud1, Coh] pour les notions nécessaires de théorie de la mesure et d’intégration. En particulier, une mesure sur un espace mesurableXestσ-finiesiXest réunion dénombrable de parties mesurables de mesures finies.
Exemple 1. L’une des familles les plus importantes d’exemples d’espaces de Banach en analyse est la suivante.
Soient(X,A, µ) un espace mesuré non vide et p ∈[1,+∞]. On note q, et on appelle exposant conjugué de p, l’élément de [1,+∞]tel que
1 p+1
q = 1.
Remarquons que si p= 1, alors q= +∞ et sip= +∞, alorsq = 1.
Sip <+∞, notonsLp(X,A, µ)(ouLp(µ)si(X,A)est sous-entendu) l’espace vectoriel sur K des classes d’équivalence d’applications f de X dans K, mesurables pourA, telles que|f|psoit intégrable, modulo la relation d’équivalencef ∼gsif−gest presque partout nulle. Posons alors, pour tout f dansLp(X,A, µ),
kfkp= Z
x∈X|f(x)|p dµ(x)1/p
.
Si p = +∞ et si µ est σ-finie, notons L∞(X,A, µ) (ou L∞(µ) si (X,A) est sous-entendu) l’espace vectoriel sur Kdes classes d’équivalence d’applications f de X dansK, mesurables pour A, bornées en dehors d’un ensemble de mesure nulle, modulo la relation d’équivalence f ∼g sif−g est presque partout nulle. Pour tout f dansL∞(X,A, µ), on définit alors la norme essentiellede f par
kfk∞= inf
M ≥0 : µ({x∈X : |f(x)|> M}) = 0 . NotonsT :Lq(X,A, µ)→Lp(X,A, µ)∗ l’application définie par
f 7→n g7→
Z
x∈X
f(x)g(x)dµ(x)o .
Le fait que cette application soit bien définie est contenu dans le résultat suivant.
Théorème 1.5 Soient (X,A, µ) un espace mesuré non vide et p∈[1,+∞].
• L’espace vectoriel Lp(X,A, µ) est un espace de Banach pour la norme k · kp.
• Si p < +∞, en supposant que µ soit σ-finie si p = 1, alors T : Lq(X,A, µ) → Lp(X,A, µ)∗ est un isomorphisme linéaire qui est une isométrie entre la norme k · kq et la norme duale de la norme k · kp.
• Si µ est σ-finie, l’application T :L1(X,A, µ)→L∞(X,A, µ)∗ est une application linéaire isométrique, en général non surjective.
• Si p <+∞, si µ est σ-finie, si la tribu (σ-algèbre) A est engendrée par une partie
dénombrable, alors Lp(X,A, µ) est séparable.5
5. Un espace métrique estséparables’il contient une partie dénombrable dense.
Dans la suite de ces notes, pour toutp∈]1,+∞[, nous identifieronsLp(X,A, µ)∗ avec Lq(X,A, µ) par l’isométrie linéaire T−1, où q est l’exposant conjugué de p, et de même L1(X,A, µ)∗ avec L∞(X,A, µ) lorsque µest σ-finie.
Exemple 2. SoientX un espace métrique compact non vide etA la tribu (σ-algèbre) des boréliens deX. Rappelons qu’une mesure complexe surX est une application µ:A →C qui estσ-additive(c’est-à-dire telle queµ(S
i∈NAi) =P
i∈Nµ(Ai)pour toute suite(Ai)i∈N
d’éléments deux à deux disjoints de A), telle que µ(∅) = 0. Rappelons que |µ| : A → [0,+∞[ est alors la mesure (borélienne positive) définie en demandant que |µ|(A), pour tout A ∈A, soit la borne supérieure des Pn
i=1|µ(Ai)| sur les partitions (Ai)1≤i≤n de A par éléments de A. NotonsMC(X) l’espace vectoriel complexe des mesures complexes µ surX devariation totale
kµk=|µ|(X)
finie. Voir par exemple [Coh, page 220] pour une démonstration du théorème suivant.
Théorème 1.6 (Théorème de représentation de Riesz4) L’espace vectoriel comp-lexe C(X;C) des fonctions continues de X dans Cmuni de la norme uniforme
kfk∞= max
x∈X |f(x)|,
ainsi que l’espace vectoriel complexe MC(X) muni de la norme de la variation totale k · k, sont des espaces de Banach. L’application de MC(X) dans C(X;C)∗ définie par
µ7→
f 7→µ(f) = Z
x∈X
f(x)dµ(x)
est un isomorphisme linéaire isométrique pour la norme de la variation totale sur MC(X)
et la norme duale sur C(X;C)∗.
En particulier, pour toute forme linéaire continue ℓ sur C(X;C), il existe une et une seule mesure complexe µ =µℓ telle que R
Xf dµ = ℓ(f) pour tout f ∈ C(X;C). Si ℓ est une forme linéaire sur C(X;C)positive (c’est-à-dire siℓ(f)≥0lorsque f ≥0), alors ℓest continue (voir par exemple [Coh]) et donc µℓ est une mesure positive.
Applications multilinéaires continues.
SoientE, F, G trois espaces vectoriels normés surK, etf :E×F →Gune application bilinéaire. Posons (avec la convention que les première et troisième bornes supérieures sont égales à 0 siE ou F est réduit à {0})
kfk= sup
x∈E−{0}, y∈F−{0}
kf(x, y)k
kxk kyk = sup
kxk≤1,kyk≤1 kf(x, y)k= sup
kxk=1,kyk=1 kf(x, y)k. Rappelons que f est continue si et seulement si kfk est finie, et que f 7→ kfk est une norme sur l’espace vectoriel sur Kdes applications bilinéaires continues deE×F dansG.
Cet espace vectoriel normé est noté L(E, F;G), et c’est un espace de Banach si Gl’est.
Une démonstration de la première affirmation est la suivante. Si f est continue, donc continue en (0,0) avec f(0,0) = 0, alors il existeǫ >0tel que sikxk ≤ǫetkyk ≤ǫ, alors kf(x, y)k ≤1; puisque
kf(x, y)k= kxk kyk ǫ2
f ǫx
kxk, ǫy kyk
si x, y6= 0, nous avons donc kfk ≤ ǫ12. Réciproquement, si c=kfk est finie, alors kf(x, y)−f(x0, y0)k=kf(x−x0, y) +f(x0, y−y0)k
≤ckx−x0k kyk+ckx0k ky−y0k,
qui tend vers 0 lorsque xtend vers x0 ety tend vers y0 (car y reste alors dans une partie bornée).
Plus généralement, pour toutn∈N− {0}, si E1, . . . , En, F sont des espaces vectoriels normés sur K, on définit de manière similaire la norme d’une application n-linéaire f de E1× · · · ×Endans F par (avec la convention similaire si l’un desEi est nul)
kfk= sup
xi∈Ei−{0}
kf(x1, . . . , xn)k
kx1k. . .kxnk = sup
kxik≤1 kf(x1, . . . , xn)k= sup
kxik=1 kf(x1, . . . , xn)k, (qui est finie si et seulement sif est continue). On noteL(E1, . . . , En;F)l’espace vectoriel normé des applications n-linéaires continues de E1× · · · ×En dansF (qui est un espace de Banach siF l’est).
Espaces vectoriels normés de dimension finie.
Nous concluons ces rappels par le résultat suivant (voir par exemple [Dix] ou [Pau,
§4.5] pour une démonstration), qui rend les espaces vectoriels normés de dimension finie beaucoup plus faciles à manipuler que ceux, pourtant omniprésents, de dimension infinie ! Théorème 1.7 (Théorème de Riesz) Soit E un espace vectoriel normé réel ou com-plexe. Les conditions suivantes sont équivalentes.
(1)E est localement compact ;6
(2) la boule unité fermée de E est compacte ; (3) les compacts deE sont les fermés bornés de E;
(4)E est de dimension finie.
Nous aurons besoin plus loin de la conséquence suivante du théorème de Riesz.
Corollaire 1.8 SoitEun espace vectoriel normé réel ou complexe. SiF est un sous-espace vectoriel de E de dimension finie, alors F est fermé dans E.
Démonstration. Soit (xn)n∈Nune suite dans F qui converge versx∈E. En particulier, (xn)n∈N est une suite bornée dans l’espace vectoriel F muni de la restriction de la norme de E. Par le théorème de Riesz, les compacts de F étant ses fermés bornés, la suite des (xn)n∈N admet une sous-suite qui converge vers un élément y dansF, donc qui converge vers y dansE, puisque la norme de F est la restriction de la norme de E. Par unicité des limites dans l’espace métriqueE, nous avons x=y. Doncxappartient àF, ce qui montre
le résultat.
6. Un espace métriqueX estlocalement compactsi tout point deX admet un voisinage compact.