Rappels de morphologie math´ ematique

La morphologie math´ematique (Coster & Chermant, 1985; Serra, 1988), not´ee MM dans ce qui suit, a ´et´e largement utilis´ee pour le traitement d’images et l’analyse fonctionnelle. Son id´ee premi`ere est de comparer une forme `a traiter `a une autre forme g´eom´etrique fix´ee appel´ee ´el´ement structurant. Au-del`a du traitement d’images, la morphologie math´ematique a apport´e une contribution importante dans des domaines vari´es, tels que, par exemple, la programmation de jeu de go (Bouzy, 1995) pour isoler les blocs d’´el´ements similaires dans un univers, ou encore pour la construction de partitions floues (Marsala & Bouchon-Meunier, 1996).

Les op´erateurs utilis´es ici sont des transpositions des op´erateurs classiques au cas uni-dimensionnel, et s’appliquent `a des mots obtenus `a l’issue d’une transcription de l’univers num´erique.

Op´erateurs de base : dilatation et ´erosion

Les transformations morphologiques de base sont la dilatation et l’´erosion. La dilatation est d´efinie comme l’union avec l’´el´ement structurant que l’on fait glisser sur l’image. Sous l’effet de la dilatation, tous les objets « grossissent » d’une partie correspondant `a la taille de l’´el´ement structurant. S’il existe des trous dans les objets, c’est-`a-dire, dans le cas des images, des « morceaux » de fond `a l’int´erieur des objets, ils sont combl´es et si des objets sont situ´es `a une distance moins grande que la taille de l’´el´ement structurant, ils fusionnent. L’effet de cet op´erateur est illustr´e sur la figure 4.4(a) : la dilatation permet la fusion des formes proches. D´efinition 4.8 (Dilatation). Pour un espace E, un ´el´ement structurant B et une forme X, l’op´erateur de dilatation est d´efini comme : Di_B = {x ∈ E, B(x) ∩ X 6= ∅}.

L’´erosion est l’op´eration duale de la dilatation : sous l’effet de l’´erosion, les objets de taille inf´erieure `a celle de l’´el´ement structurant disparaissent, les autres sont « amput´es » d’une partie correspondant `a la taille de l’´el´ement structurant. S’il existe des « trous » dans les objets, c’est-`a-dire des « morceaux » de fond `a l’int´erieur des objets, ils sont accentu´es, et les objets reli´es entre eux peuvent ˆetre s´epar´es. Cette effet est illustr´e sur la figure figure 4.4(b) : l’´erosion permet la suppression des petites formes.

D´efinition 4.9 ( ´Erosion). Pour un espace E, un ´el´ement structurant B et une forme X, l’op´erateur d’´erosion est d´efini comme : ErB(X) = {x ∈ E, B(x) ⊆ X}.

4.4. Filtrage morphologique

(a) Op´erateur d’ouverture ^{(b) Op´erateur de fermeture}

Figure 4.5 – Op´erateurs d’ouverture et de fermeture

Op´erateurs d’ouverture et de fermeture

Ces op´erateurs de base sont ensuite combin´es pour d´efinir des op´erateurs plus complexes. Une ouverture est la composition d’une ´erosion suivie d’une dilatation. Elle permet la des-truction des petites formes, relativement `a la taille de l’´el´ement structurant. Une ouverture permet d’adoucir les contours, coupe les isthmes ´etroits, supprime les petites ˆıles et adoucit les caps ´etroits (Coster & Chermant, 1985). Cette op´eration est illustr´ee sur la figure 4.5(a) : la forme rectangulaire est supprim´ee par l’effet de cette op´eration.

D´efinition 4.10 (Ouverture). Une ouverture est d´efinie comme : Ouv_B = Di_B◦ Er_B

Une fermeture est la composition d’une dilatation suivie d’une ´erosion. Elle permet de fusionner les formes proches dans l’espace. L’effet d’une fermeture est de boucher les canaux ´etroits, supprimer les petits lacs et les golfes ´etroits (Coster & Chermant, 1985). Cette op´ e-ration est illustr´ee sur la figure 4.5(b) : les trois formes de l’espace sont fusionn´ees par l’effet de cette op´eration.

D´efinition 4.11 (Fermeture). Une fermeture est d´efinie comme : F erB= ErB◦ Di_B

Le filtre altern´e

On note n un entier d´esignant le nombre de fois o`u un op´erateur morphologique est appli-qu´e. Un filtre altern´e d’ordre n est compos´e de n ouvertures successives suivies de n fermetures successives, appliqu´ees `a une forme de l’espace, avec le mˆeme ´el´ement structurant B. Il per-met la destruction des petites formes, en fonction de la taille de B, tout en fusionnant les formes proches. Une grande valeur de n ne laisse que les formes de taille suffisante et ´elimine les asp´erit´es et les vides de taille importante. Le r´esultat de l’application du filtre d’ordre 1 sur la forme X illustr´ee avec les op´erateurs pr´ec´edents est donn´e sur la figure 4.6.

D´efinition 4.12 (Filtre altern´e d’ordre n). Un filtre altern´e d’ordre n est d´efini par : n = 1 F ilt1 = F er1◦ Ouv₁

Figure 4.6 – Filtre altern´e d’ordre 1

La morphologie math´ematique unidimensionnelle, 1DMM

Les outils de la morphologie math´ematique, rappel´es ci-dessus, sont g´en´eralement appli-qu´es en traitement d’images sur des espaces `a deux dimensions. Marsala et Bouchon-Meunier (1996) ont consid´er´e un univers unidimensionnel et ont propos´e des outils 1DMM pour ob-tenir des effets de filtrage permettant de construire des partitions floues dans le cadre de l’apprentissage supervis´e, comme indiqu´e dans la section 4.1.2. Ces outils s’appliquent `a un mot d´efini sur un vocabulaire binaire, not´e {+, −}, o`u chaque symbole est associ´e `a une classe et o`u il existe une sym´etrie entre les deux symboles. Les auteurs ont de plus introduit un symbole particulier, not´e u, pour marquer les zones du mot modifi´ees lors de l’application des op´erateurs. Elles sont interpr´et´ees ensuite comme des s´equences incertaines, c’est-`a-dire des s´equences o`u, apr`es le processus de filtrage d’un mot, les classes sont tr`es m´elang´ees. Ces op´erateurs transforment donc un mot d´efini sur le vocabulaire binaire, {+, −}, en un mot d´ e-fini sur un vocabulaire ternaire {+, −, u}. Un op´erateur de filtrage s’appliquant `a un mot est ´

egalement d´efini par les deux op´erateurs d’ouverture et de fermeture, eux-mˆemes construits `

a l’aide d’op´erateurs d’´erosion et de dilatation.

Lorsque le filtre d’ordre n est appliqu´e `a un mot en utilisant un ´el´ement structurant de taille 1 (un + ou un −), les petites s´equences de moins de 2n symboles (c’est-`a-dire inf´erieur strictement `a 2n, sont transform´ees en s´equences incertaines (repr´esent´ees par des u), et les s´equences compos´ees de mˆemes symboles s´epar´ees par moins de 2n symboles diff´erents de ceux qu’elles contiennent, sont regroup´ees, et ainsi nomm´ees s´equences certaines. Ces deux types de s´equences sont utilis´es pour construire la partition floue associ´ee `a l’attribut en question. Les s´equences certaines correspondent aux noyaux des sous-ensembles flous de la partition.

Nous illustrons ces principes sur l’exemple de la base d’apprentissage XE pr´esent´e dans la section 4.1.2. L’op´erateur de transcription remplace chaque valeur observ´ee par son ´etiquette, + ou − et conduit au mot

v = + + + + + − + − + + − − − − + − −

En appliquant un filtre d’ordre 1 sur le mot v = + + + + + − + − + + − − − − + − −, on obtient le mot

4.4. Filtrage morphologique Ainsi, deux s´equences incertaines apparaissent dans le mot filtr´e, ainsi qu’une s´equence de + et une s´equence de −. Ces deux derni`eres s´equences sont utilis´ees comme noyaux des sous-ensembles flous de la partition floue.