Chapitre 3 Motifs graduels contradictoires 69
3.3 Crit` ere de qualit´ e : le support graduel propre global
de longueur suffisante qui pourraient conduire `a la validation des motifs contradictoires.
En effet, il est important de noter que seuls les chemins contradictoires de taille suffisante DJ ∈ Ls(J ) sont pris en compte. Les autres chemins sont consid´er´es comme peu importants et pourraient r´eduire DI de fa¸con drastique : si tous les chemins complets, y compris ceux qui ne sont pas valides, L(J ), ´etaient consid´er´es, alors un nombre trop important de chemins propres serait obtenu. L’intersection de ces derniers pourrait alors conduire `a un chemin propre global de taille faible, pouvant ne pas v´erifier le seuil du support minimum.
3.3 Crit`ere de qualit´e : le support graduel propre global
Dans cette section, nous formalisons le crit`ere de qualit´e propos´e pour ´evaluer la qualit´e des motifs graduels extraits, appel´e le support graduel propre global et not´e SGP G. Nous illustrons ensuite son calcul sur des exemples de complexit´e croissante. Puis, nous pr´esentons l’algorithme de calcul du SGP G.
3.3.1 D´efinition
D´efinition 3.5 (Support graduel propre global). Pour un motif I et une valeur s ∈ [0, 1] fix´ee, le support graduel propre global, SGP G, est d´efini comme :
SGP Gs(I) = 1
|D|D∈L(I)max
|propreGlobals(D)| (3.2)
Il est ´equivalent au support graduel d´efini dans l’´equation (1.7), page 40, mais s’appuie sur les chemins propres globaux au lieu des chemins complets. Ainsi, le support d’un motif ne d´epend pas seulement de lui-mˆeme, mais aussi des motifs qui le contredisent.
Il est important de souligner qu’habituellement, le support graduel, SG, est calculable uniquement `a partir des donn´ees. Au contraire, le crit`ere de qualit´e que nous proposons, SGP G, d´epend de la valeur choisie pour le param`etre s, car son calcul s’appuie sur la fonc-tion propreGlobal qui elle-mˆeme d´epend de cette valeur. Ceci implique qu’un changement d’exigence vis-`a-vis du seuil am`ene `a recalculer le support. De plus, le calcul de ce support ne s’appuie pas forc´ement sur les chemins maximaux, comme nous le commentons plus loin `
a la page 77.
Par exemple, le calcul du support SGP G(I) du motif graduel I = A≥B≥, illustr´e sur la figure 3.2, d´epend de son contradicteur J = A≥B≤, plus pr´ecis´ement, de son chemin contradicteur DJ. Il vaut 3/8 = 37%, alors que son support graduel vaut 4/8 = 50%.
Un motif I est ensuite dit valide si est seulement si son SGP G est sup´erieur au seuil s qui est le mˆeme que pour le support graduel : il doit poss´eder un chemin propre de longueur suffisante par opposition `a tous ses contradicteurs simultan´ement.
Figure 3.3 – Motif graduel, I = A≥B≥, support´e par le chemin DI repr´esent´e par • et avec plusieurs chemins contradictoires, DJ 1 repr´esent´e par + et DJ 2 repr´esent´e par ×.
3.3.2 Exemples illustratifs
Dans ce qui suit, nous illustrons et commentons les d´efinitions pr´ec´edentes avec des exemples de complexit´e croissante. Nous illustrons et examinons :
— le cas de l’utilisation de multiples chemins contradictoires, en particulier la n´ecessit´e d’utiliser l’intersection des chemins propres dans l’´equation (3.1) ;
— le cas de la pr´esence simultan´ee de multiples chemins contradictoires et de chemins complets valides v´erifiant le motif consid´er´e, justifiant la pr´esence du maximum dans l’´equation (3.2) ;
— la pr´esence de L(I) dans l’´equation (3.2) et non L∗(I) : ceci est justifi´e par l’analyse du cas o`u un chemin complet valide permet d’obtenir un chemin propre global de longueur sup´erieure `a celui obtenu avec un chemin maximal.
Le cas le plus simple correspondant `a des motifs graduels de longueur 2 support´es par un seul chemin maximal a ´et´e d´ej`a illustr´e dans les sections pr´ec´edentes par l’exemple de la figure 3.2, qui repr´esente le cas de r´ef´erence dans toutes les sections pr´ec´edentes.
Prise en compte de multiples chemins contradictoires
Dans le cas g´en´eral, il peut y avoir plusieurs chemins complets valides g´en´erant des contra-dictions, comme la figure 3.3 l’illustre, pour I = A≥B≥ et J = A≥B≤ : I est support´e par le seul chemin maximal DI (repr´esent´e par les • bleus), alors que J , qui le contredit, est support´e par deux chemins maximaux DJ 1 (repr´esent´e par les + rouges) et DJ 2 (repr´esent´e par les × rouges). Deux possibilit´es peuvent ˆetre consid´er´ees, conduisant `a deux chemins propres : en calculant l’intersection de DI avec DJ 1, on obtient Dg1 = propre(DI, DJ 1) = {8, 9, 10, 11, 12, 13} ; en consid´erant DJ 2, on obtient Dg2= propre(DI, DJ 2) = {7, 8, 9, 10, 11, 12}. Comme indiqu´e dans l’´equation (3.1), nous les combinons en calculant leur intersection, ce qui conduit au chemin propre global Dg = {8, 9, 10, 11, 12}.
3.3. Crit`ere de qualit´e : le support graduel propre global
Figure 3.4 – Motif graduel, I = A≥B≥, support´e par plusieurs chemins DI1, repr´esent´e par • et DI2 repr´esent´e par ∗, et avec plusieurs chemins contradictoires, DJ 1 repr´esent´e par des + et DJ 2 repr´esent´e par des ×.
L’intersection propos´ee dans l’´equation (3.1) repr´esente l’op´erateur d’agr´egation des che-mins propres. En effet, tous les cheche-mins complets valides de tous les contradicteurs sont pris en compte et chacun induit un chemin propre. Le fait que DJ 1 et DJ 2 soient issus d’un mˆeme contradicteur, comme dans l’exemple pr´ec´edent, ou de plusieurs contradicteurs, ne change pas le calcul du chemin propre global.
Prise en compte de multiples chemins
Dans le cas plus g´en´eral, le motif `a traiter est lui-mˆeme support´e par plusieurs chemins, comme illustr´e sur la figure 3.4 : les deux chemins maximaux DI1 (repr´esent´e par les • bleus) et DI2 (repr´esent´e par les ∗ bleus) supportent le motif I qui est en contradiction avec le motif J , support´e par DJ 1 et DJ 2. Afin de calculer le chemin propre global de I, on rend propres tous ses chemins : par opposition `a DJ 1 et DJ 2, DI1 conduit `a deux chemins propres dont l’intersection DI1g = {8, 9, 10, 11, 12} repr´esente le chemin propre global qui lui est associ´e. On traite de mˆeme DI2, ce qui conduit `a DI2g = {2, 3, 4, 5}. Enfin on conserve les chemins propres globaux de longueur maximale (cf. ´equation (3.2)), ici DI1g. Le SGP G(I) est 5/21 = 24%.
Prise en compte des chemins complets
Dans la d´efinition de chemin propre global de l’´equation (3.2), on prend en compte tous les chemins complets L(I) et non uniquement les chemins maximaux L∗(I). En effet, il peut exister des chemins non maximaux qui, `a l’issue du traitement qui les rend propres, sont de longueur sup´erieure aux chemins issus des chemins maximaux.
Figure 3.5 – Motif graduel de longueur 2, I = A≥B≥, support´e par un unique chemin maxi-mal D1, repr´esent´e par des ∗ et +, et un chemin complet valide D2 repr´esent´e par des •.
3.3.3 Algorithme de calcul des chemins propres globaux
Apr`es avoir d´efini formellement le support contraint, nous consid´erons dans cette sous-section la question de son calcul efficace. La proc´edure que nous proposons est bas´ee sur le choix de l’ordre dans lequel les chemins complets sont rendus propres, qui est d´efini par l’ordre d´ecroissant de longueur. De la sorte, on peut en effet d´efinir un crit`ere d’arrˆet efficace : on peut cesser le traitement d`es que la longueur du chemin suivant `a traiter est inf´erieure `
a la longueur maximale du chemin propre global issu des chemins trait´es pr´ec´edemment. En effet, les chemins propres globaux que l’on pourrait obtenir par la suite auraient alors n´ecessairement des longueurs inf´erieures et ne seraient pas conserv´es.
Il faut noter que, si l’on cherche `a identifier les motifs graduels valides et non `a calculer le SGP G pour tous les motifs, il n’est pas n´ecessaire de consid´erer la totalit´e des chemins com-plets. On peut en effet se restreindre aux chemins complets valides, c’est-`a-dire, formellement, remplacer L(I) par Ls(I) dans l’´equation (3.2). En effet, apr`es application de la fonction qui les rend propres, les chemins de longueur inf´erieure `a s sont plus petits encore. Ils ne peuvent donc pas constituer un support du motif par rapport au param`etre s.
La m´ethode d´ecrite ci-dessus est impl´ement´ee par l’algorithme 3, qui prend en entr´ee un motif graduel I, l’ensemble de ses chemins complets L(I) et ses contradicteurs Ic(I), ainsi que leurs chemins Ls(Ic(I)). Le r´esultat de cet algorithme est le support graduel propre global du motif consid´er´e, SGP G.
Il faut noter que cet algorithme peut renvoyer ´egalement les chemins propres globaux associ´es.