Le modèle incrémental de fissuration par fatigue consiste à se donner d’une part, une loi de comportement étendue, au sens où elle porte sur une région et pas sur un point matériel, et d’autre part, une loi de fissuration. Le modèle est applicable si l’hypothèse de séparation des échelles peut être faite, entre
– l’échelle de la structure fissurée considérée comme élastique linéaire,
– l’échelle de la région entourant l’extrémité de la fissure qui se comporte de manière élasto-plastique cyclique et
– l’échelle à laquelle se produisent les phénomènes d’endommagement.
Avec cette hypothèse, le cadre de la mécanique linéaire de la rupture (MLR) peut être utilisé à l’échelle de la structure fissurée. A l’échelle inférieure, si la zone plastique est bien confinée, son développement est fortement contraint par le milieu élastique qui l’entoure. Par conséquent, un petit nombre de degrés de liberté suffit pour représenter le champ de vitesse dans la région élasto-plastique. Et enfin, la fissuration est le résultat de ce qui se produit aux échelles supérieures. Dans le modèle, la loi de fissuration exprime ainsi le taux de création d’aire fissurée par unité de longueur de front en fonction du taux d’une mesure globale de la partie irréversible du champ de vitesse ( ˙ρI en Mode I) dans la région élasto-plastique.
Cette hypothèse de séparation des échelles est généralement valable en fatigue dans le domaine dit "de Paris", c’est à dire aux conditions suivantes :
– La zone plastique reste confinée dans un massif élastique ; la dimension de la fissure et la plus petite distance entre l’extrémité de la fissure et un bord libre de la pièce doivent être au moins cinq fois plus grandes que la dimension de la zone plastique. – La zone d’élaboration (process zone) reste bien confinée dans la zone plastique
cyclique.
La caractéristique d’une sollicitation de fatigue est que le sens de chargement change régulièrement. A chaque changement de sens du chargement, le matériau passe par une phase de comportement élastique. Dans ces phases, en cohérence avec la mécanique li-néaire de la rupture et dans un repère attaché à l’extrémité de la fissure, nous avons :
v(P,t) = ˙˜KI(t).ueI(P) + ˙˜KII(t).ueII(P) (3.1) On étendra ceci à l’élasto-plasticité, par l’ajout de champs de référence complémen-taires (ucI(P); ucII(P)) et de leur facteurs d’intensité ( ˙ρI(t); ˙ρII(t)) pour obtenir :
v(P,t) = ˙˜KI(t).ueI(P) + ˙ρI(t).ucI(P) + ˙˜KII(t).ueII(P) + ˙ρII(t).ucII(P) (3.2) La décomposition de [Karhunen, 1947] (Annexe A) permet de partitionner le champ de vitesse v(P,t) en une somme de produits de champs de référence, fonctions de l’espace,
et de leur facteurs d’intensité, variables au cours du temps(3.2). On fait l’hypothèse sup-plémentaire que les champs de référence, construits pour des cas de chargement simples, restent valables toutes les séquences de chargement. Le champ de vitesse peut alors être décrit comme étant la superposition de :
– ˙˜KI(t).ueI(P) : composante "élastique" de mode I, ˙˜KI(t) étant le taux de variation du facteur d’intensité des contraintes apparent de mode I et ueI(P) le champ de référence associé, indépendant du temps. Le taux de variation du facteur d’inten-sité "apparent" ˙˜KI est la somme des taux de variation des facteurs d’intensité des contraintes nominal ˙K∞
I et interne ˙KIsh
– ˙ρI(t).ucI(P) : composante complémentaire de mode I, ˙ρI(t) étant le facteur d’in-tensité plastique de mode I. ˙ρI(t) peut être assimilé à la partie plastique du CTOD ("Crack Tip Opening Displacement") et ucI(P) le champ de référence complémen-taire associé, indépendant du temps.
Le partitionnement s’écrit de la même façon en mode II :
– ˙˜KII(t).ueII(P) : composante "élastique" de mode II, ˙˜KII(t) étant le taux de variation du facteur d’intensité des contraintes apparent de mode II et ueII(P) le champ de référence associé, indépendant du temps. Le taux de variation du facteur d’inten-sité "apparent" ˙˜KII est la somme des taux de variation des facteurs d’intensité des contraintes nominal ˙K∞
II et interne ˙KIIsh
– ˙ρII(t).ucII(P) : composante complémentaire de mode II, ˙ρII(t) étant le facteur d’in-tensité plastique de mode II. ˙ρII(t) peut être assimilé à la partie plastique du CTSD ("Crack Tip Sliding Displacement") et ucII(P) le champ de référence complémen-taire associé, indépendant du temps.
Le champ de vitesse dans la région élasto-plastique entourant l’extrémité de la fissure, peut ainsi être représenté au cours du temps par quatre variables globales scalaires ˙˜KI(t), ˙ρI(t), ˙˜KII(t) et ˙ρII(t).
Ces quatre variables sont des variables cinématiques, elle permettent de représenter le mouvement de manière simplifiée en tenant compte des contraintes qu’impose le massif élastique sur la région élasto-plastique entourant l’extrémité de la fissure. Néanmoins, ces variables ne sont pas directement les variables internes qui permettent de prévoir la vitesse et la direction de propagation des fissures. Par exemple, la modélisation des contraintes in-ternes dans la région élasto-plastique est nécessaire pour pouvoir prévoir la vitesse de fis-suration en mode mixte, la direction de propagation et les effets d’histoire du chargement
riables globales, plutôt que des champs, seront utilisés pour modéliser ces phénomènes. Le détail de ce modèle est présenté dans (cf. CHAP.4, §1.2, page 122).
Le modèle (cf. CHAP.4, §1.2, page 122) est essentiellement construit en s’appuyant sur des simulations numériques par éléments finis. Ces simulations permettent de produire des évolutions de ρI(t) et ρII(t) pour diverses séquences de chargement nominal K∞
I (t) et K∞
II(t). Ces simulations sont réalisées en déformations planes et avec la loi de compor-tement élasto-plastique cyclique identifiée pour le matériau. Concrècompor-tement, les champs de référence (ueI(P), ueII(P)) et (ucI(P), ucII(P)) sont identifiés une fois pour toute à l’aide de simulations de séquences de chargement monotone, soit en Mode I pur, soit en Mode II pur (FIG.3.1). Une fois ces champs connus, l’évolution des variables globales ˙˜KI(t), ˙ρI(t), ˙˜KII(t) et ˙ρII(t) est obtenue, pour toute séquence de chargement en mode mixte, par projection du champ v(P,t) à chaque pas de temps sur les champs de référence.
FIGURE 3.1: Champ de déplacement en pointe de fissure issus de simulations par