E.2.4 Etude d'un systeme de couplage de forte raideur
E.2.5 Forte raideur, dissipation augmentee
ELASTIQUES ET DISSIPATIFS 151
E.2.5 Forte raideur, dissipation augmentee
Par rapport au calcul precedent, on augmente maitenant l'amortissementd'un facteur dix: (M= 0.0005 [kg], K= 100000 [N/m], C=10 [N.s/m]); les autres donnees sont inchangees. Les puissances echangees sont encore mal prevues (cf.Figure E.19), par le "calcul approche
-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Re{Ym1m1} et Im{Ym1m1} [s/kg] f [Hz]
Fig. E.18 - Mobilite d'entree du systeme intermediaire
total", en dessous et autour de la frequence de resonnance des systemes intermediaires (quelques valeurs negatives sur les premieres bandes ne sont pas representables en echelle log.).
Comme la partie imaginaire de la mobilite d'entree de ces derniers ne s'annule plus, a cause de la forte dissipation, on n'a plus les deux plages de frequences avec un tres bon calcul, qu'on avait au 5.2.2.
Le calcul approche total, converge encore vers le calcul approche partiel au dessus de la frequence de resonnance. Cependant il converge plus lentement que dans le cas d'une dissipation plus faible.
Sur la premiere plaque (voir le "miel" au point P4), les resultats des deux calculs ap-proches sont presque identiques.
Le "calcul approche partiel" est satisfaisant, sauf pour les toutes premieres bandes. Les "miels" apres couplage sont toujours mieux reconstitues que les puissances echangees (Figure E.12), m^eme au point non couple P7 de la structure receptrice, c'est a dire en uti-lisant uniquement les contributions des puissances echangees, par additivite energetique. Pour completer cette etude il faudrait considerer le cas de trois systemes intermediaires di erents entre eux et observer le "miel" apres couplage sur un point de S2 equidistant des trois points de couplage.
1e-07 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 P [W] f [Hz] a) Puissanceau p oint P1 1e-09 1e-08 1e-07 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 P [W] f [Hz] b) Puissanceau p oint P2 1e-08 1e-07 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 P [W] f [Hz] c)Puissance au p oint P3 Fig. E.19 - Puissances actives moyennes echangees (recues par S2)
|- calcul exact { { calcul approche total - - - calcul approche partiel
1e-11 1e-10 1e-09 1e-08 1e-07 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 <|V|^2>/2 [m2/s2] f [Hz] a) <jVj 2 >=2 au p oint P1 1e-05 0.0001 0.001 0.01 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 <|V|^2>/2 [m2/s2] f [Hz] b) <jVj 2 >=2 au p oint P4 1e-11 1e-10 1e-09 1e-08 1e-07 1e-06 1e-05 0.0001 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 <|V|^2>/2 [m2/s2] f [Hz] c)<jVj 2 >=2 au p ointP7 Fig. E.20 - Reconstitution des "miels" (P1 est sur S2)
E.2. COUPLAGES
ELASTIQUES ET DISSIPATIFS 153
E.2.6 Excitation de part et d'autre, variation des sources
Dans l'assemblage du 5.2.2, avec des liaisons de forte raideur (M= 0.0005 [kg], K= 100000 [N/m], C=1 [N.s/m]), on excite a present aussi le deuxieme systeme par une force constante de module 100 [N] au point P7, les points P4 et P5 de S1 etant toujours excites par des forces unitaires. La variation de la puissance active moyenne injectee par ces forces avant et apres couplage, representee dans la Figure E.21, reste faible (car le couplage est faible), mais, contrairement aux attentes, elle ne diminue pas en montant en frequence.
Le calcul approche des "miels" apres couplage en ces m^emes points P4 et P5, excites directement, qui utilise les puissances injectees avant couplage au lieu de celles injectees apres couplage, re ete ces variations mais est toujours tres satisfaisant (cf. Figure E.22).
0.001 0.01 0.1 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 P [W] f [Hz] a) Puissance au point P4 0.001 0.01 0.1 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 P [W] f [Hz] b) Puissance au point P5
Fig. E.21 - Puissances actives moyennes injectees dans S1 |{ avant couplages - - - apres couplages
1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 <|V|2>/2 [m2/s2] f [Hz] a) Miel au point P4 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 <|V|2>/2 [m2/s2] f [Hz] b) Miel au point P5
Fig. E.22 - "Miels" aux points excites |{ calcul exact - - - calcul EMMA
Etant donne que les forces exterieures et les e orts de couplage ne sont pas idependants les uns des autres, on peut exprimer l'erreur (pessimiste) du calcul des "miels" en termes des seules mobilites classiques. On peut donc obtenir des expressions qui comportent des moyennes frequentielles de produits et de rapports de mobilites classiques; des expressions analogues a celles des termes "croises" qui conditionnent l'additivite energetique.
Qualitativement la moyenne de ces produits, ou rapports, sera d'autant plus petite qu'ils changent de signe a l'interieur de la bande consideree.
Ici encore l'erreur sera liee a la distance entre les points d'excitation, qui determinera la decorrelation e ective des di erentes mobilites et l'ecacite de leurs oscillations.
Il semble alors impossible de prevoir l'erreur de calcul sur chaque bande de frequences sans e ectuer le calcul exact.
Cependant plus il y a de changements de signe pour chacune des mobilites (pour sa partie reelle ou sa partie imaginaire), plus on a des chances d'avoir des changements de signe pour leurs produits et rapports. C'est dans ce sens qu'on propose d'utiliser le nombre d'oscillations par bande des parties imaginaires des mobilites classiques, comme indica-teur approximatif de la qualite du calcul.
Ce parametre peut facilement se mesurer par le nombre de passages a zero de la par-tie imaginaire des mobilites. Il augmente avec la largeur de la bande et avec la densite modale et semble mieux correspondre qualitativement aux variations de l'erreur, dans les di erentes simulations e ectuees (sans qu'on puisse pour autant etablir une relation simple entre l'erreur et le nombre d'oscillations dans chacune des bandes). D'apres les simula-tions numeriques e ectuees (cf. 4.3.1, D.2.2, et D.3) il semblerait aussi que pour obtenir le m^eme niveau d'erreur, il sut de moins d'oscillations en haute frequence, lorsque l'am-plitude de celles-ci est plus petite (et le recouvrement modal est plus fort). Donc cette amplitude des oscillations peut constituer un deuxieme indicateur.
Signi cation physique
En basse frequence, le nombre de modes dans une bande est directement lie au nombre de passages a zero de la partie imaginaire de la mobilite d'entree ImfYeg, mais des que le recouvrement modal est superieur a 1, on ne peut plus separer les modes sur RefYeg
et ImfYeg, qui ne passe plus par zero a chaque mode, oscille de moins en moins dans la bande de frequences.
Le nombre d'oscillations dans une bande depend donc du nombre de modes (ou de la densite modale), mais aussi du recouvrement modal.
Pour une structure homogene, Bourgine ([7]), ou Cremer et Heckl ([20]) ont etabli le lien entre la densite modale n(f), la masse totale MT et la moyenne spatiale de la mobilite d'entree< Yee >S:
n(f) = 4MT < RefYee(f)g>S (E.1) Pour des structures complexes on peut se demander comment acceder a la densite modale ou au nombre de modes et si elle est encore utile pour des calculs locaux. De plus elle n'intervient pas explicitement dans la methode des mobilites energetiques.
Ici toute la methode se base sur des quantites locales mesurables et bien de nies: les mobilites classiques. On va donc essayer de degager des criteres lie aux mobilites d'entree qu'on a deja mesurees.
On dispose de < Re2 fYeg > + < Im2 fYeg >, de < RefYeg > et de leur rapport He = <Re2 fYe g>+<Im2 fYe g> <RefYeg> .
E.3. PISTES POURUNINDICATEURD'ERREUR 155 En basse frequence on a < Re2
fYeg > < Im2
fYeg > et < Re2
fYeg > est superieur a < RefYeg >< RefYeg > (d'autant plus que l'ecart type de RefYeg est grand), donc He
est d'autant superieur a 2< RefYeg> que l'amortissement est faible (et l'amplitude des oscillations est forte).
En haute frequence l'amplitude des oscillations est plus faible et on a < Re2
fYeg>>>< Im2 fYeg> et < Re2 fYeg> < RefYeg>< RefYeg>, donc He < RefYeg>. Le rapport He <RefYe
g> est donc un indicateur du recouvrement modal et de l'amplitude des oscillations .
On propose d'utiliser ce rapport He
<RefYe
g>, pour completer (ponderer) le nombreN0(Yme) de passages a zero de ImfYmeg.
Ces deux ingredients, N0(Yme) et He
<RefYeg>, sont mesurables, exprimes par bande de frequence et sont locaux. Il faut les ponderer et fabriquer un indicateur unique a relier a l'erreur sur les "miels" apres couplage, en traitant beaucoup de cas d'assemblages.
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