Complement a la connectivite: les Couplages In- In-ternes

EMENT  A LA CONNECTIVIT 

E:LES COUPLAGES INTERNES 29

2.4 Complement a la connectivite: les Couplages

In-ternes

Dans beaucoup de cas pratiques il ne s'agit pas d'assembler des sous-systeme distincts, mais d'ajouter des liaisons entre certains points c et c' d'un m^eme systeme.

Dans le cadre de cette etude cette demarche a ete redeveloppee pour traiter les couplages internes d'une etude experimentale sur un climatiseur.

Cas General: N c

couplages internes

c’

c _c=c’

Fig. 2.1 - Exemple connu de Couplage Interne (en un point)

On va suivre la m^eme demarche que pour les couplages externes.

Les relations du couplage rigide restent les m^emes pour chaque paire (c;c') de points couples: f f Vcg=f f Vc0g et f f Fcg= f g Fc0g (2.22)

Ici les vitesses apres couplage auxNc points couples c=c' (ou k=k') s'ecrivent:

f Vk = ^Ne X e=1 Ykef Fe+ ^Nc X c=1 Ykcf Fc+ ^Nc X c0 =1 Ykc0 f F 0 c (2.23) et g Vk0 = ^Ne X e=1 Yk0ef Fe+ ^Nc X c=1 Yk0cf Fc+ ^Nc X c0 =1 Yk0c0 f F 0 c (2.24)

d'ou les eorts de couplage:

f f Fcg= [Ykc+Yk0c0 Ykc0 Yk0c] 1 [Yk0e Yke]f f Feg (2.25)

et les vitesses aux points m, quelconques, de SI apres couplage:

f g Vmg= [Yme] + [Ymc Ymc0][Ykc +Yk0c0 Ykc0 Yk0c] 1 [Yk0e Yke]f f Feg (2.26)

toujours en fonction des eorts exterieurs apres couplage.

La discussion sur les types de source reste la m^eme que pour les couplages externes. On peut ici encore utiliser les mobilites mesurees avant d'eectuer ces couplages internes, pour prevoir celles apres couplage par la formule generale suivante:

f g Ymeg= [Yme] + [Ymc Ymc0][Ykc +Yk0c0 Ykc0 Yk0c] 1 [Yk0e Yke] (2.27)

Remarques

1) Il est equivalent de traiter les couplages internes tous a la fois comme ci-dessus (gros systeme matriciel) ou l'un apres l'autre, de facon recursive (une seule equation a traiter a la fois, sans inversions, ce qui permet d'eviter les problemes de mauvais conditionnement des matrices).

2) Le couplage (externe) entre deux structures en Nc points, traite precedemment, peut ^etre ecrit analytiquement, de facon recursive, comme un premier couplage (externe) en un point, entre les deux structures, suivi de Nc-1 couplages internes sur l'assemblage. Cette deuxieme demarche evite la formation de systemes mal conditionnes car on ne resout qu'une equation a la fois, et permet ainsi de traiter des couplages multiples analytique-ment, sans inversion de matrices.

C'est ce qu'on peut voir dans l'exercice de style de l'annexe B.

Cependant le calcul des forces de couplage ou des puissances echangees et l'hierarchisations des couplages n'est pas possible par cette deuxieme approche.

2.5 Conclusions

Les mobilites classiques sont un outil exceptionnel analytique et de calcul. Elles per-mettent de denir simplement dierents types de sources, de quantier l'importance des chemins vibratoires dans un assemblage et d'eectuer des previsions sur le comportement d'un assemblage a partir des caracteristiques des sousstructures isolees.

Pour prevoir les eorts de couplage et les vitesses apres couplage, il est necessaire d'ef-fectuer des hypotheses sur le type de source, alors qu'on peut prevoir les mobilites apres couplage sans faire d'hypotheses.

Il nous a semble interessant de completer les expressions classiques du couplage ponc-tuel rigide externe entre deux structures, par celles des couplages poncponc-tuels internes a une m^eme structure, ces dernieres, qui sont recursives, vont nous permettre d'etendre les demonstrations du chapitre suivant, etablies dans le cas d'un seul point de couplage, externe et interne, au couplage en N points.

La mesure des mobilites et ses problemes speciques seront traites brievement dans la partie F.1.

On rappelle enn que l'inversion des systemes matriciels, pour les calculs du couplage, peut presenter des dicultes numeriques (frequences singulieres) liees au mauvais condi-tionnement, surtout pour des donnees issues de mesures, le bruit de mesure pouvant introduire des frequences singulieres qui n'appartiennent pas a la physique des structures couplees. Dans ce cas il est conseille d'adopter des resolutions avec des techniques du type SVD (decomposition en valeurs singulieres).

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Chapitre 3

LE CONCEPT DE MOBILITE

ENERGETIQUE

3.1 Exposition succincte

Une fonction de transfert energetique

La mobilite classique permet d'etablir un lien entre une excitation en un point d'une structure et la vitesse obtenue en un autre point.

Notre premier but est de voir s'il existe, de m^eme, une quantite qui relie une puissance active injectee dans la structure en un point au module carre de la vitesse obtenue en un autre point ("energie cinetique massique"), une quantite qui qualie donc un transfert energetique sur la structure.

Si l'on conna^t la force excitatrice, via les mobilites classiques il est clair qu'on conna^t aussi la vitesse, donc l'energie cinetique massique en tout point. A frequence pure il est donc evident que le rapport entre le module carre de la vitesse V au point m et la puissance active e injectee au point e s'ecrit:

jVmj 2 e = jVmj 2 RefFeV  eg (3.1) ou encore jVmj 2 e = jYmeFej 2 RefFeY  eeF  eg (3.2) soit jVmj 2 e = jYmej 2 RefYeeg (3.3) Cette expression, independante de l'excitation, a ete utilisee par Koss ([57]). Elle montre que pour determiner lenergie cinetique massique en un point donne d'une structure due a une excitation en un autre point e de cette structure, on n'a pas besoin de savoir quelle est la valeur de cette energie en des points intermediaires, ou de conna^tre l'equation de l'energie propre a la structure, seule la connaissance des mobilites d'entree et de transfert est necessaire.

La mobilite energetique precedente, denie a frequence pure, n'est cependant pas celle qui nous interesse, car elle ne permet pas d'additionner les eets de plusieurs excita-tions simultanees et elle n'apporte rien de vraiment nouveau, par rapport aux mobilites classiques.