(a) (b) (c)
FIG. 6.11: Application de la déformation à topologie constante sur des surfaces avec différentes imbri- cations. (a) Arbre d’imbrication des régions de la partition. (b) Partition composée de six régions, plus la région infinie utilisée pour faire la segmentation. (c) Partition finale après la déformation. La topolo- gie n’a pas changée mais la partition est maintenant adaptée aux données de l’image. Nous observons comment les deux hémisphères du cerveau ont bien été prises en compte.
6.6
Raffinement d’une partition
Le raffinement d’une partition d’une image à l’aide de l’opération de déformation consiste à prendre en entrée une image déjà segmentée et à appliquer une déformation sur les surfaces pour optimiser le critère énergétique. Nous supposons alors que la topologie de l’image représentée est la même que celle de la partition finale désirée, la différence étant seulement géométrique. Comme l’opération est définie à partir des points ML-Simples, nous savons qu’il n’est pas possible que les arêtes et les sommets de la partition changent de géométrie. Pour obtenir le résultat recherché, nous utilisons l’algorithme de déformation sur toutes les faces des régions de l’image en utilisant le système d’énergie présenté avec le nombre de surfels et l’évaluation de l’erreur quadratique permettant de mettre en correspondance les données de l’image et la partition.
Dans une première expérience, nous nous intéressons à l’optimisation d’une partition sur une image artificielle. La Figure 6.12 présente la déformation d’une partition simple représentant une image artifi- cielle. L’image originale est composée de 3 régions, une région sphérique au milieu de l’image et deux régions qui remplissent le reste de l’image avec une frontière ondulante. La Figure 6.12a présente une coupe de l’image originale sur laquelle nous observons les frontières de la partition initiale. La partition initiale utilisée représente, par un morceau de plan, la surface entre les deux régions du fond et, par un cube, la région sphérique. Elle donne une géométrie grossière par rapport aux données de l’image. Deux des surfaces initiales sont dessinées Figure 6.12b. La déformation utilisant l’énergie image basée sur l’erreur quadratique moyenne modifie la géométrie des surfaces afin de mieux retrouver les régions re- présentées. La Figure 6.12c présente les deux mêmes surfaces après le processus de déformation. Nous observons que les formes originales sont mieux représentées. Cependant, les formes géométriques de la partition initiale sont encore visibles, notamment au niveau de la frontière entre les surfaces qui n’est pas modifiée par le processus de déformation. La non déformation des arêtes explique que la partition finale ne soit pas aussi précise que nous pourrions l’espérer.
Dans la seconde expérience de raffinement d’une partition, nous utilisons une segmentation d’une image médicale obtenue préalablement comme partition initiale. Dans cette image (voir Figure 6.13a), l’algorithme de segmentation a défini 14 régions. La partition totale comprend 75 faces. La région la
132 CHAPITRE 6 - DÉFORMATION DE PARTITIONS
(a) (b) (c)
FIG. 6.12: Raffinement d’une partition sur une image artificielle comportant trois régions. (a) Coupe de l’image avec représentation de la partition initiale. (b) Deux surfaces dans la partition initiale. (c) Les mêmes surfaces après déformation de la partition. Nous observons que les deux surfaces semblent mieux correspondre aux données. Cependant, des artefacts liés à la partition initiale sont encore visibles (autour des arêtes entre les faces représentées par un trait noir).
plus sombre est bien composée d’une seule composante connexe de voxels lorsque son volume est considéré en 3D. Toutes les surfaces entre les régions sont déformées pour mieux correspondre aux données de l’image. Nous avons constaté que le résultat de la segmentation produisait des régions ayant un aspect bloc qui ne correspond pas aux données de l’image. Nous appliquons donc l’opération de déformation pour modifier la géométrie de la partition afin que la forme des régions corresponde mieux aux données de l’image. Les Figure 6.13c et Figure 6.13d montrent la surface de la région hachurée avant et après l’opération de déformation. L’algorithme de déformation a basculé 8594 voxels durant 321 passes de traitement. L’énergie de chaque face de la partition est alors minimale. Nous observons bien un lissage de la région qui correspond plus aux données de l’image comme dans l’expérience précédente. Il reste quelques incohérences au niveau des bords des surfaces puisqu’il n’y a pas de déformation autour des arêtes et autour des sommets dans l’image.
6.7
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons introduit la notion de points ML-Simples qui sont des voxels pou- vant basculer d’une région à une autre sans changer la topologie de la partition. Les adjacences et imbrications entre les régions sont préservées. Nous utilisons les points ML-Simples pour déformer géométriquement la partition tout en préservant sa topologie. Afin de guider le processus de déforma- tion, nous utilisons la minimisation d’une énergie basée sur les données de l’image et une autre énergie basée sur un estimateur d’aire discret pour les surfaces entre les régions. L’étude de cet estimateur d’aire montre des résultats encourageants qui sont à poursuivre dans des travaux ultérieurs. Nous avons montré quelques exemples de déformation de partitions d’une image médicale pour valider nos résul- tats. Dans la partie suivante, nous définissons des opérations de segmentation d’images 3D en prenant en compte des informations topologiques. Dans le Chapitre 7, nous adaptons un algorithme existant dans le contexte des cartes topologiques. Il s’agit de proposer une première approche pour la segmen- tation afin de montrer que les cartes topologiques permettent de réaliser des opérations de traitement d’images.
6.7. Conclusion 133
(a) (b)
(c) (d)
FIG. 6.13: Raffinement d’une partition sur une image médicale. (a) Coupe de l’image représentant la partition initiale. (b) Partition après déformation : nous observons que les formes sont globalement moins carrées. (c) Surface de la région hachurée avant la déformation : la forme est très cubique. Cette région contient 1293 voxels et sa surface est composée de 1192 surfels. (d) Surface de la région hachurée après la déformation : la forme est plus lisse. La région résultante est plus grosse, elle contient 1970 voxels et sa surface comprend 1716 surfels.
Troisième partie
CHAPITRE7
P
REMIÈRE
A
PPROCHE PAR
C
ROISSANCE DE
R
ÉGIONS
La première approche de segmentation que nous avons mise en œuvre est une adaptation d’un algorithme proposé par P. F. Felzenszwalb et D. P. Huttenlocher [FH98, FH04]. Elle est fondée sur une segmentation par croissance de régions qui utilise un critère basé sur la notion de contraste d’une région.
Le choix de cette méthode repose sur deux arguments. D’une part, il s’agit d’un algorithme fondé sur une représentation discrète, sous forme de graphe, de la partition de l’image et utilisant une infor- mation topologique : l’adjacence. La représentation par carte topologique donnant plus d’informations que les graphes, nous pouvons envisager de mettre en œuvre le même algorithme. D’autre part, l’adap- tation de la méthode originale utilise seulement l’opération de fusion de régions, la seule opération de modification disponible lorsque nous avons commencé ce travail.
Dans cette section, nous commençons par présenter la méthode originale et le critère utilisé afin de définir la partition de l’image. Nous détaillons ensuite l’algorithme utilisé pour réaliser cette seg- mentation dans une partition représentée par une carte topologique. Nous justifions que notre méthode est bien équivalente à l’approche originale puis nous étudions la complexité de l’opération. Finale- ment nous évaluons au travers d’expériences les temps de calcul de l’opération de segmentation et les résultats que nous obtenons.
7.1
Segmentation par critère de contraste
La méthode décrite dans [FH98, FH04] donne une solution au problème de la segmentation d’une image en régions. Le critère utilisé mesure l’existence d’une frontière entre deux régions en utilisant une représentation de l’image par un graphe.
7.1.1 Représentation par graphe
Nous commençons par détailler la représentation par graphe d’une image que les auteurs utilisent dans leur méthode. Soit G = (S, A) un graphe représentant une image, les sommets si ∈ S sont les éléments (pixels) de l’image à segmenter, et les arêtes(si, sj) ∈ A correspondent aux paires de sommets voisins. À chaque arête(si, sj) nous associons un poids w((si, sj)) qui est une mesure non négative de dissimilarité entre les éléments voisinssietsj.
138 CHAPITRE 7 - PREMIÈRE APPROCHE PAR CROISSANCE DE RÉGIONS
Dans l’approche par graphe de la segmentation, une segmentation R est une partition de S en composantes de sorte que chaque composante (ou région)r ∈ R correspond à une composante connexe dans un graphe G0 = (S, A0) où A0 ⊆ A. En d’autres termes, une segmentation est induite par un sous-ensemble des arêtes deA. De manière générale, une segmentation est bonne si les éléments dans une composante sont semblables et les éléments dans différentes composantes ne sont pas semblables. L’idée est donc que les arêtes d’une même composante connexe ont un poids relativement faible et les arêtes entre les composantes ont un poids plus élevé.
7.1.2 Critère de comparaison de régions
Nous définissons à présent la fonction déterminant si une frontière existe entre deux régions, c’est- à-dire si l’union des deux régions n’est pas homogène. Le prédicat utilisé mesure la dissimilarité entre les éléments qui sont de chaque côté d’une frontière entre deux régions. Le critère est basé sur la notion de contraste qui utilise plusieurs mesures sur et entre les régions.
Nous associons à chaque régionr une valeur, Int(r), appelée contraste interne qui est le poids de l’arête de coût maximal dans l’arbre couvrant de poids minimal MST(r, A) de la région r (Minimum Spanning Treeen anglais) :
Int(r) = max
a∈MST(r,A)w(a).
À chaque paire de régions(r1, r2) ∈ S2nous associons une valeur appelée contraste externe, notée Ext(r1, r2), qui est le poids de l’arête de coût minimum qui relie les deux régions r1etr2 :
Ext(r1, r2) = min si∈r1,sj∈r2,(si,sj)∈A
w((si, sj)).
S’il n’y a pas d’arête qui relier1 etr2, Ext(r1, r2) = ∞. À partir de ces deux valeurs, le prédicat qui vérifie l’existence d’une frontière entre deux régionsr1 etr2est défini en comparant les contrastes internes des deux régions avec le contraste externe entre les deux régions. Le prédicat est vrai lorsqu’il existe une frontière entre les régions, et faux sinon : si le plus petit des contrastes internes est supérieur au contraste externe entre les deux régions alors les régions peuvent fusionner :
Oracle(r1, r2) =
vrai si Ext(r1, r2) > MInt(r1, r2) faux sinon
MInt(r1, r2) est défini comme le plus petit contraste interne des régions r1 etr2. Cette mesure est pondérée par une fonctionτ :
MInt(r1, r2) = min(Int(r1) + τ(r1), Int(r2) + τ(r2)).
Le rôle deτ est de mitiger l’estimation du contraste interne lorsque celui-ci n’est pas représentatif comme par exemple pour les petites régions. Les auteurs suggèrent d’utiliser une fonctionτ(r) = k/|r| avec |r| le nombre de pixels de r et k une constante qui définit l’échelle de segmentation : plus k est grand, plus les régions obtenues lors de la segmentation seront grandes. N’importe quelle fonction définie positive peut être utilisée pourτ.
7.1.3 Algorithme original
Afin de proposer un algorithme qui segmente une image, les auteurs définissent deux propriétés importantes permettant de juger qu’une partition est bonne en fonction d’un critère. Ce sont les notions de sursegmentation (Définition 24) et de sous-segmentation (Définition 25).