Nous proposons une étude de l’énergie basée sur l’estimation discrète de l’aire d’une surface. Cette étude vise à comparer l’estimateur d’aire discret avec l’estimateur d’aire basé sur le nombre de surfels de la surface. Nous souhaitons ainsi mettre en évidence l’intérêt des deux approches. Dans un premier temps, nous regardons la précision de l’estimateur d’aire dans le cas de surfaces idéales, c’est-à-dire non bruitées. Puis, dans un second temps, nous étudions la pertinence de l’énergie basée sur l’estimateur discret pour débruiter une surface par rapport à l’énergie utilisant le nombre de surfels.
6.3.1 Précision de l’estimateur d’aire de surfaces
Nous commençons par étudier les valeurs calculées par l’estimateur discret d’aire sur certaines surfaces caractéristiques. L’objectif étant de s’assurer que les résultats proposés sont conformes aux résultats théoriques. Pour chaque surface, nous utilisons la formule du calcul de l’énergie basée sur l’estimateur d’aire discret qui donne une approximation de l’aire de la surface et nous la comparons avec l’aire théorique. Les aires dans tout le reste du manuscrit sont données en unité de surface où l’aire d’une surfel vaut une unité de surface.
La Table 6.1 présente les mesures réalisées avec l’estimateur d’aire pour des surfaces discrètes connues de tailles différentes. Nous comparons cette mesure avec le nombre de surfels et avec la mesure théorique calculée à l’aide des équations des surfaces. Nous mesurons l’aire d’une sphère de différents rayons, l’aire de morceaux de plans (un morceau horizontal, trois morceaux de plans obliques inclinés à 30, 45 et 60 degrés et un morceau d’un plan appelé R2 qui passe par les points (0,0,1), (0,1,0) et (1,0,0).
La Figure 6.7 présente des exemples de calcul de l’estimateur d’aire pour deux surfaces. L’échelle des couleurs indique la valeur de l’aire estimée pour chaque surfel. Elle va de vert (aire nulle : 0) à rouge (aire maximale : 1). Dans la Figure 6.7a l’estimateur est appliqué à une sphère discrète de rayon 5. L’estimation de la surface de cette sphère est de 281,29 alors que la valeur théorique est de 314,15. Dans la Figure 6.7b nous présentons l’estimation d’aire de chaque surfel d’un plan discret. L’estimateur donne une valeur de 25,50 alors que la valeur théorique est 21,65.
6.3. Expérimentations sur les énergies 125
TAB. 6.1: Comparaison de l’estimateur d’aire avec la mesure théorique et le nombre de surfels pour des surfaces connues.
Surface Surfels Aire estimées Aire théorique Sphère 10 1752 1254,69 1256,64 Sphère 20 7248 4982,24 5026,55 Sphère 50 46344 31282,60 31415,93 Plan XY10 × 10 100 98,67 100 Plan XY50 × 50 2500 2495,26 2500 Plan Oblique 45˚10 × 10 180 132,76 141,42 Plan Oblique 45˚50 × 50 4900 3493,75 3535,53 Plan Oblique 30˚20 × 20 678 390,30 447,21 Plan Oblique 60˚40 × 40 2568 1478,82 1788,85 Plan R210 × 10 162 100,54 86,60 Plan R250 × 50 3822 2199,87 2165,06 (a) (b)
FIG. 6.7: Exemples d’estimation d’aire pour deux surfaces discrètes. L’échelle des couleurs indique la
valeur de l’aire estimée pour chaque surfel. Elle va de vert (aire nulle : 0) à rouge (aire maximale : 1). (a) Pour une sphère de rayon 5, la mesure estimée est de 281,29 alors que la mesure théorique est de 314,15. (b) Pour un plan R2 dans un cube de5 × 5 × 5 voxels, la mesure estimée est de 25,50 alors que la mesure théorique est de 21,65.
126 CHAPITRE 6 - DÉFORMATION DE PARTITIONS
Nous n’obtenons pas la mesure exacte mais nous pouvons observer que plus la surface est grande, plus l’estimateur est précis. En effet, cela s’explique par les problèmes de mesure sur le bord des sur- faces. Au milieu des surfaces l’estimateur discret est précis. Cependant sur les bords des surfaces, il manque d’information pour donner une mesure précise de la contribution des surfels à la surface totale. Ainsi si la surface est petite, l’erreur faite au bord des surfaces intervient plus dans le calcul complet. De manière générale, l’estimation d’aire par cette approche est très sensible au bruit et l’estimation manque alors de précision.
Considérons par exemple le plan présenté Figure 6.7b. Pour que ce plan corresponde à une face, nous avons créé deux régions adjacentes dont la face frontière forme un plan à 45 degrés. Le calcul de l’estimateur d’aire de chaque côté du plan n’est pas identique car nous considérons la surface complète de la région et pas simplement les surfels appartenant à la face entre les deux régions. Nous observons avec le code couleur que les pixels du bord ont une contribution plus forte à l’aire de la surface alors que selon nous, tous les surfels doivent avoir une contribution similaire. Cette erreur vient d’une part de la manière dont l’estimateur d’aire est calculé, mais vient également des différences de calcul selon le côté de la face considérée. En pratique nous calculons la moyenne des deux estimations pour calculer l’aire de la surface. L’erreur présentée ici n’est pas limitée au bord de l’image mais se retrouve également dans toutes les zones à fort bruit.
L’estimateur d’aire discret donne une bonne estimation de l’aire d’une surface et est en général meilleur que l’estimation naïve comptant uniquement le nombre de surfels comme nous pouvons le vérifier Table 6.1. Nous pouvons donc envisager de calculer cette énergie pour réaliser des déformations visant à diminuer l’aire d’une surface bruitée et ainsi retrouver une surface moins bruitée.
6.3.2 Lissage de surfaces bruitées par déformation
Nous utilisons ici une énergie basée sur l’estimateur d’aire discret pour débruiter des surfaces brui- tées. Afin de mesurer l’intérêt de cette approche, nous comparons notre résultat avec une énergie cher- chant à minimiser le nombre de surfels de la surface.
Dans la Figure 6.8, nous présentons un exemple de débruitage d’un morceau de surface discrète incliné à 45˚. Le plan bruité original, Figure 6.8a, est dans un premier temps déformé en minimisant l’énergie basée sur le nombre de surfels de la surface : nous effectuons les basculements si le nombre de surfels diminue strictement. La Figure 6.8b montre les surfels du morceau de plan après cette dé- formation. Dans un second temps, nous déformons le plan original bruité en utilisant l’énergie basée sur l’estimateur d’aire : nous effectuons le basculement si l’aire estimée décroît strictement. Le plan résultant est présenté Figure 6.8c. Les mesures effectuées (voir Table 6.3) montrent que le nombre de surfels est plus faible pour la déformation minimisant le nombre de surfels et l’aire estimée est plus faible dans la déformation utilisant l’estimateur d’aire. Cependant la différence entre les deux n’est pas flagrante et aucune des deux approches ne permet d’atteindre le plan original. Les deux déformations arrivent à un minimum local.
Nous avons essayé d’utiliser le processus de déformation pour lisser des surfaces en utilisant diffé- rentes surfaces de taille variable afin de voir si l’estimateur d’aire propose parfois un meilleur résultat lorsque sa précision augmente. Les résultats obtenus pour les plans horizontaux sont présentés dans la Table 6.2. Nous avons également testé l’algorithme avec un plan incliné à 45˚ (Table 6.3). Dans ces deux expériences, nous observons que les deux approches (à l’aide de l’estimateur et à l’aide du nombre de surfels) donnent des résultats très proches.
Nous essayons le même traitement pour une surface sphérique de rayon variable. La Table 6.4 montre que l’estimateur d’aire donne des résultats plus proches des résultats théoriques que l’approche minimisant le nombre de surfels. Nous observons en pratique que la minimisation conduit à produire une surface plutôt sphérique mais de rayon plus important que la sphère initiale. En effet, la déformation aligne la surface de la sphère sur les sommets du bruit, car les déformations qui réduisent le plus
6.3. Expérimentations sur les énergies 127
(a) (b) (c)
FIG. 6.8: Exemple de lissage d’une surface bruitée. (a) Surface bruitée originale. (b) Surface lissée en minimisant le nombre de surfels. (c) Surface lissée en minimisant l’estimateur d’aire.
TAB. 6.2: Comparaison du lissage d’une surface plane horizontale bruitée entre un processus de dé- formation minimisant le nombre de surfels et un processus minimisant l’aire estimée. Nous donnons les mesures effectuées en utilisant l’estimateur d’aire discret. Nous n’avons pas réalisé la déformation minimisant l’aire estimée pour le carré de 200 surfels car le temps de calcul n’est pas raisonnable (plus de deux heures).
Côté de la surface Aire théorique Déformation Surfels Déformation Estimateur 5 25 24,24 24,24 10 100 98,66 98,66 15 225 223,26 223,26 20 400 397,80 397,80 30 900 897,15 897,94 40 1600 1596,10 1597,47 50 2500 2495,25 2500,70 60 3600 3595,06 3596,89 100 10000 9993,36 10003,84 200 40000 39987,45 -
TAB. 6.3: Comparaison du lissage d’une surface bruitée entre un processus de déformation minimisant le nombre de surfels et un processus minimisant l’aire estimée. Nous donnons les mesures effectuées en utilisant l’estimateur d’aire discret.
Surface Oblique 45˚ Aire théorique Déformation Surfels Déformation Estimateur 10 × 10 141,42 126,73 127,42
15 × 15 318,20 296,13 296,80 20 × 20 565,69 536,25 536,25 25 × 25 883,88 847,07 848,36 30 × 30 1272,79 1228,88 1229,74
128 CHAPITRE 6 - DÉFORMATION DE PARTITIONS
TAB. 6.4: Comparaison du lissage d’une surface sphérique bruitée entre un processus de déformation minimisant le nombre de surfels et un processus minimisant l’aire estimée. Nous donnons les mesures effectuées en utilisant l’estimateur d’aire discret.
Rayon de la sphère Aire théorique Déformation Surfels Déformation Estimateur 5 314,15 456,56 456,56
8 804,24 788,77 737,42 10 1256,63 1800,43 1206,25 12 1809,55 2409,28 1945,09 15 2827,43 3805,52 2768,96
TAB. 6.5: Comparaison du temps d’exécution (en secondes) entre une déformation minimisant le nombre de surfels et une déformation minimisant l’aire estimée.
Surface Oblique 45˚ Déformation Surfels Déformation Estimateur 10 × 10 0,002 1,174
15 × 15 0,008 7,981 20 × 20 0,013 28,670 25 × 25 0,020 78,185 30 × 30 0,030 176,171
le nombre de surfels sont celles qui bouchent les petits trous à la surface de la sphère. À l’inverse, l’évaluation de l’estimateur d’aire diminue lorsque les bosses sont aplanies. Nous n’obtenons cependant pas un très bon résultat. En effet, les déformations pour “creuser” la sphère sont plus susceptibles de produire des configurations non ML-Simples ce qui empêche la déformation et empêche bien souvent de trouver la configuration optimale.
Étant donné la proximité des résultats obtenus pour les surfaces planes, nous souhaitons savoir quelle approche est à préférer dans nos applications. Nous avons donc mesuré le temps de calcul du processus de déformation pour les deux énergies pour le lissage d’un plan incliné. Les résultats des mesures sont présentés dans la Table 6.5. Nous observons que le temps de calcul de l’estimateur discret est très long comparé au temps de calcul du nombre de surfels. En effet, si le nombre de surfels d’une surface est rapide à retrouver (par un simple parcours des surfels de la surface) il est également possible de conserver incrémentalement sa valeur durant les opérations de déformations. L’algorithme de calcul de l’estimateur d’aire ne permet pas cette approche et nous remarquons même que cet algorithme a une complexité quadratique en fonction du nombre de surfels de la surface. La conclusion de cette expérience est que l’estimateur d’aire tel que nous le calculons est trop perturbé par le bruit et qu’il n’est donc pas un moyen plus fiable que le nombre de surfels lorsque nous l’utilisons comme énergie pour la déformation. Comme il est également beaucoup plus coûteux, nous utilisons par la suite le nombre de surfels lorsque nous faisons intervenir l’aire de la surface.