R´esultats sur la phase turbulente - Approche modale

J’ai mis en place une version du code de simulation de la m´ethode 3 D bas´ee sur

les polynˆomes de Zernike. Au lieu d’utiliser des fonctions d’influence triangulaires

(cf. section 4.4), j’utilise une base de fonctions de Zernike. On proc`ede de la mˆeme

mani`ere qu’avec les fonctions d’influence triangulaires : on projette un polynˆome

Fig. 4.15– Matrice d’interaction utilisant les polynˆomes de Zernike. Il y a 4 ´etoiles laser, 2 miroirs

d´eformables (au sol et `a 10 km). Chaque ´etoile laser mesure 100 modes de Zernike. On reconstruit

aussi 100 modes par miroir et la matrice a donc pour taille 400×200. La partie diagonale par bloc

(`a gauche) repr´esente la turbulence au sol mesur´ee par les quatre ´etoiles. Comme la couche est

au sol, les op´erations de translation et dilatation ne modifient pas les polynˆomes de Zernike des

miroirs, qui sont alors identiques `a ceux de la pupille. Ceci entraˆıne la diagonalit´e des blocs.

de Zernike Pi de degr´e i, en utilisant les op´erations de translation et dilatation,

de l’altitude de conjugaison d’un miroir jusqu’`a la pupille. Ce polynˆome projet´e

est d´ecompos´e sur les polynˆomes de Zernike de la pupille. En utilisant le r´esultat

de Ragazzoni et al. (1999), on sait que pour un polynˆome de degr´e i `a l’altitude de

conjugaison, on n’a besoin d’utiliser sur la pupille que les i premiers modes pour cette

projection. Les coefficients ainsi calcul´es sont entr´es dans la matrice d’interaction,

dont un exemple est pr´esent´e sur la figure 4.15. C’est une approche totalement

´equivalente `a celle pr´esent´ee dans la section 4.4 (on obtient par exemple les mˆemes

modes propres) mais la base des fonctions est globale. Ceci permet de contrˆoler plus

facilement les ´echelles spatiales reconstruites, et de filtrer efficacement le bruit de

haute fr´equence spatiale d´etect´e dans la reconstruction zonale.

Une autre am´elioration apport´ee est l’inversion d’une seule matrice, regroupant le

passage des pentes aux phases mesur´ees, et le passage des phases mesur´ees aux

commandes des miroirs. Dans le cas de 4 ´etoiles laser, on a 4 ´equations comme 4.37 :

~

pj¹ = Ai,j · Φ¹i (4.38)

~

pj² = Ai,j · Φ²i

~

p_j³ = A_i,j · Φ³i

~

pj⁴ = Ai,j · Φ⁴i

4.8. TEST EXP ´ERIMENTAL DE LA M ´ETHODE 3 D 161

Fig. 4.16– Comparaison entre la phase totale reconstruite (`a gauche) et la phase totale reconstruite

`a partir d’une ´etoile naturelle. L’erreur relative dans cette reconstruction est de 2 %. 100 polynˆomes

de Zernike ont ´et´e reconstruits.

o`u les Φi sont les coefficients modaux de la phase mesur´ee `a partir des ´etoiles laser.

On peut ´ecrire ces coefficients en fonction de la matrice d’interaction du syst`eme

3 D :















Φ1

i

Φ2

i

Φ3

i

Φ4

i















= B_i,jΦ_com (4.39)

o`u Bi,j est la matrice d’interaction modale 3 D et Φcom les commandes `a envoyer

au miroir d´eformables (i.e. la phase recherch´ee). En combinant les deux ´equations

pr´ec´edentes, on voit que l’on peut construire une matrice unique, permettant avec

une seule inversion g´en´eralis´ee, de passer des pentes mesur´ees aux modes recherch´es.

Les r´esultats de cette m´ethode sont largement meilleurs que la m´ethode zonale,

en grande partie grˆace `a l’utilisation de polynˆomes de Zernike. L’inversion d’une

seule matrice au lieu de deux, ne r´eduit pas significativement l’erreur, parce que la

matrice de passage entre les pentes et Zernike est bien conditionn´ee pour le nombre

de modes reconstruits. L’erreur totale sur la somme de la phase sur les deux miroirs

passe de 15 % (cas zonal) `a ∼ 3 %, moyenne sur les trois r´ealisations acquises. J’ai

reconstruit 100 modes de Zernike, alors qu’avec 14×14 sous-pupilles, il est possible

d’estimer ∼ 142 = 196 modes (Rousset (1999)). Cependant, `a cause de la faible

dynamique des ´ecrans de phase, les modes ´elev´es sont peu repr´esent´es. Passer de

100 `a 150 modes ne change pas significativement les r´esultats pr´esent´es. Un exemple

de reconstruction est pr´esent´e sur la figure 4.16. On constate l’absence du bruit `a

Fig. 4.17 – Modes reconstruits avec 4 ´etoiles laser (traits pleins, unit´es arbitraires) et modes

reconstruits avec une ´etoile naturelle (losanges), pour le cas pr´esent´e dans la figure 4.16. On constate

que l’erreur est r´epartie uniform´ement sur tous les modes. Les coefficients des modes ´elev´es sont

tr`es faibles `a cause de la faible dynamique des ´ecrans de phase, qui ne produisent qu’une faible

turbulence. Les coefficients des modes sont sans d’unit´e.

haute fr´equence spatiale de la reconstruction zonale, qui est due au fait que l’on

ne reconstruit qu’un faible nombre de polynˆomes. Les deux fronts d’onde sont tr`es

semblables, et on ne les diff´erencie plus `a l’oeil, comme c’´etait le cas dans la m´ethode

zonale. On constate aussi que les aberrations de phase sont domin´ees par le tip et

le tilt, ce qui est normal dans le cas d’une turbulence de Kolmogorov. L’erreur est

r´epartie sur l’ensemble des modes reconstruits, comme le montre la figure 4.17. Sur

cette figure, on ne voit pas d’effet syst´ematique. On remarque que l’amplitude des

modes diminue tr`es vite avec leur ordre. La raison en est la faible dynamique des

´ecrans de phase, qui ne produisent que peu de hautes fr´equences spatiales, ce qui

explique la diff´erence n´egligeable dans le qualit´e de la reconstruction quand on passe

de 100 `a 150 modes reconstruits.

La fonction de structure de la phase observ´ee par une ´etoile naturelle est aussi

beau-coup plus lisse et proche de celle pr´evue par la th´eorie de Kolmogorov (figure 4.18)

que dans l’approche zonale (fig. 4.13), ce qui confirme que l’aspect de cette

fonc-tion de structure (avec une bosse pour un ´ecartement d’un pixel) est bien li´e `a

l’algorithme de reconstruction de la phase `a partir des pentes.

Sur la figure 4.19 j’ai trac´e, pour le cas d’une ´etoile naturelle, la diff´erence de la phase

mesur´ee sur les mˆeme ´ecrans de phase, avec deux m´ethode diff´erentes, similaire `a la

figure 4.13. Cette approche permet de voir les limitations du syst`eme. L’additivit´e

(erreur relative entre les deux m´ethodes) est de l’ordre de 2 %, que l’on additionne

4.8. TEST EXP ´ERIMENTAL DE LA M ´ETHODE 3 D 163

Variance (unites arbitraires)

Separation (pixels)

Fig. 4.18– Fonction de structure de la phase reconstruite (trait plein) et ajustement d’une fonction

de structure th´eorique (pointill´e). On remarque que les oscillations `a haute fr´equence spatiale

(faibles ´ecartements) ont disparu (cf. figure 4.13). Les unit´es de variance sont arbitraires car je n’ai

pas calibr´e le d´eplacement en pixels des taches du SH en fonction de l’aberration de phase. Un

pixel correspond au pas d’´echantillonnage des polynˆomes de Zernike.

Fig. 4.19– Diff´erence entre les coefficients modaux (en unit´es arbitraires) de la phase reconstruite

`a partir des deux ´ecrans de phase mesur´es simultan´ement et mesur´es s´epar´ement et somm´es ensuite.

Ici, les mesures sont faites dans le cas d’une seule ´etoile naturelle, dans le but de tester l’additivit´e

de la phase dans l’exp´erience. Celle-ci est de l’ordre de 2 %.

les pentes ou les phases (on obtient des r´esultats identiques pour la m´ethode zonale).

Cette erreur a lieu aussi pour le cas d’une ´etoile naturelle, et n’est donc pas li´ee aux

op´erations de dilatation effectu´ees dans le cas des ´etoiles laser.

Nous avons vu que l’erreur sur le calcul des centres de gravit´e est tr`es faible. L’impact

de cette erreur sur les coefficients modaux reconstruits `a partir des mesures est

n´egligeable. En effet, le bruit de photon entraˆıne un bruit de l’ordre de 10−5 sur

les coefficients des modes, ce qui est largement inf´erieur `a l’erreur commise sur la

m´ethode 3D. On peut donc exclure l’hypoth`ese que la source d’erreur principale soit

due `a la reconstruction de la phase `a partir des pentes.

Malgr´e cette erreur importante, j’ai pu montrer que la m´ethode 3 D permet, `a partir

de donn´ees du laboratoire, de reconstruire la phase turbulente. Je vais maintenant

discuter quelques sources possibles de non additivit´e.

Dans le document Etoiles laser pour les grands telescopes: effet de cone et implications astrophysiques (Page 172-177)