Vers la turbulence quasi-g´ eostrophique
4.2. R ´ ESULTATS NUM ´ ERIQUES 87
Ek = 10−6 Ro 0 0.02 0.03 0.04 −0.02 −0.04 −0.06 −0.08
∆ Ek−1/4 1.002 1.08 1.23 1.52 1.04 1.52 1.83 2.06
Ek = 10−8 Ro 0 0.005 0.02 −0.005 −0.02
∆ Ek−1/4 0.957 1.4 2.8 2.43 3.8
Tab. 4.2 – Largeurs de la couche de Stewartson calcul´ees par la formule B.7 et normalis´e par
Ek1/4, pour diff´erents Ro et Ek.
axisym´etriques calcul´ees par la formule B.7. Il faut garder `a l’esprit que cette formule est valable pour une couche de cisaillement simple et exponentielle, ce qui n’est pas toujours le cas, comme le montre les profils visibles sur les figures 4.2et4.3. C’est donc une mesure quantitative mais qui ne peut pas remplacer un examen direct du profil.
On remarque plusieurs choses :
– La couche de cisaillement s’´elargit lorsque |Ro| augmente
– Au centre, de la vorticit´e positive s’accumule et s’ajoute au profil de base, ind´ epen-damment du signe de Ro. Ce n’est pas l’effet des instabilit´es, mais plutˆot des non-lin´earit´es axisym´etriques (courbure), puisqu’on observe cet effet avant l’apparition des instabilit´es (non-repr´esent´e ici).
– Pour Ro > 0 on observe des ondulations pour r > 0.5, qui sont des jets progrades dues aux interactions non-lin´eaires des “bras spirales”. Elles sont aussi pr´esentes pour Ro < 0, progrades ´egalement, mais beaucoup plus att´enu´ees. Le fait que ces jets soient progrades provient du sens de spiralisation, identique pour Ro > 0 et Ro < 0.
4.2.3 Images
Les plus grands nombres de Reynolds sont atteints pour Ek = 10−8et Ro = ±0.02. Nous avons repr´esent´e le champ de vorticit´e dans le plan de l’´equateur pour ces deux ´ecoulement sur la figure 4.3. Pour chaque r´egime, c’est une photo instantan´ee de la vorticit´e qui est montr´ee, avec ou sans l’´ecoulement zonal (c’est-`a-dire axisym´etrique).
On constate de profondes diff´erences entre les cas Ro > 0 et Ro < 0 comme c’´etait d´ej`a le cas pour le mode marginalement stable (fig.3.22). Dans les deux cas, on observe de fins filaments de vorticit´e, produits au niveau du cisaillement, et une amplification de la vorticit´e pr`es des bords externes (´equateur), qui sont en fait les couches limites visqueuses observ´ees dans les calculs 3D. Le cas e8+ semble plus chahut´e que le cas e8−, ce qui est en accord avec les nombres de Reynolds rms affich´es par la table 4.1.
Le profil de vitesse angulaire semble ´egalement montrer qu’une structure prograde axi-sym´etrique apparaˆıt dans les deux cas au centre.
Pour Ro < 0, le mode m = 5 domine clairement, et constitue l’´echelle d’injection d’´energie, qui est voisine de l’´echelle de Rhines kβ, calcul´ee comme dans l’annexe B.1.7.
Fig. 4.3 – Les cartes de vorticit´e (non-zonale `a gauche, totale `a droite) pour E = 10−8 et Ro = 0.02 (en haut) et Ro = −0.02 (en bas). La r´esolution spatiale est NR=600 et Mmax=170 (cas e8+ et e8−). Le profil de vitesse angulaire est repr´esent´e par un trait noir. Il est normalis´e par 2 Ro
4.2.4 Bifurcations
Lorsqu’on augmente le for¸cage (Ro) au-del`a du seuil, on observe des changements de comportements (bifurcations). Prenons l’exemple de Ek = 10−6, et augmentons progressi-vement Ro > 0 au dessus du seuil. Tout d’abord, l’´energie augmente avec Ro et se stabilise `
a une valeur bien d´efinie. Le nombre d’onde azimutal m qui domine l’´ecoulement d´ecroˆıt avec Ro. C’est le r´egime faiblement non-lin´eaire (Roc < Ro < 0.02). Le fait que la taille des structure augmente correspond `a la coalescence des tourbillons, une caract´eristique de la turbulence 2D (Sommeria et al., 1988;Robert & Sommeria, 1991).
Ensuite, d’une simple onde de Rossby d´erivant avec le temps et ayant une ´energie constante, on passe `a des r´egimes o`u l’´energie cin´etique oscille r´eguli`erement (r´egime quasi-p´eriodique). Encore plus loin du seuil, l’´evolution de l’´energie en fonction du temps devient impr´evisible, et on peut parler alors de r´egime chaotique (Ro ∼ 0.03). Et puis,
curieuse-4.2. R ´ESULTATS NUM ´ERIQUES 89 ment, pour des tr`es forts for¸cages (Ro = 0.04 par exemple) on retrouve un ´ecoulement dont l’´energie varie tr`es peu au cours du temps, avec des modes dominants de l’ordre de quelques unit´es (m = 1 dans le cas e6+, Ek = 10−6, Ro = 0.04). Ces ´ecoulements pr´esentant un spectre tr`es ´etal´e mais montrant une grande stabilit´e ne sont pas sans rappeler la tache rouge de Jupiter. C’est pourquoi on parlera de r´egime Tache rouge.
4.2.5 R´egime “Tache Rouge”
Dans une gamme ´etroite de param`etres, nous avons observ´e la mise en place d’un r´egime turbulent dont l’´energie et la topologie sont stationnaires. Ainsi, le mode m = 1 domine l’´ecoulement, faisant apparaˆıtre un tourbillon unique qui rappelle les caract´eristiques de la tache rouge de Jupiter (fig. 4.4) qui existe depuis aussi longtemps que les observations de Jupiter ont commenc´e : depuis les ann´ees 1660, avec Hooke et Cassini. Bien que la pertinence de nos calculs pour le tache rouge de Jupiter ne soit pas ´etablie, il est int´eressant de mentionner cette ressemblance, d’autant plus que Yano et al. (2003) ´etudient les vents zonaux des plan`etes g´eantes `a l’aide d’un mod`ele quasi-g´eostrophique.
Fig. 4.4 – Vue de Jupiter montrant la grande tache rouge.
La figure4.5montre ce r´egime : l’´ecoulement ne ressemble pas vraiment `a un ´ecoulement turbulent, bien que le spectre (fig. 4.6) soit tr`es ´etendu. En effet, sa raideur Eu ∼ m−5 fait que les petites ´echelles sont rapidement insignifiantes. Le mode m = 1 qui constitue la tache rouge a une vitesse de phase c = 0.032, `a comparer avec Ro = 0.04. Il est donc difficile de trancher entre advection ou propagation.
4.2.6 Spectres
Quelques spectres de turbulence quasi-g´eostrophique r´esultant de nos calculs num´ e-riques sont repr´esent´es sur la figure 4.6. Ce sont des spectres spatiaux instantan´es
(non-Fig. 4.5 – Cartes de vorticit´e non-axisym´etrique `a gauche et totale `a droite, pour Ek = 10−6, Ro = 0.04 (calcul e6+). 0 0.5 1 1.5 2 −14 −12 −10 −8 −6 −4 log 10 (m+1) log 10 Energy e6+ e6− e8+ e8− −5 −5
Fig. 4.6 – Spectres d’´energie instantan´es pour diff´erents param`etres. Le d´etail des param`etres