L’influence du champ magn´ etique : La force de Laplace
6.2. INFLUENCE D’UN CHAMP MAGN ´ ETIQUE IMPOS ´ E 135
0 0.5 1 1.5 2 −18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 log 10(m+1) or log 10(l) log 10 (E) cin hyb lss l m Re=1 Rm=1 −5 U B pol B tor
Fig. 6.5 – Spectres cin´etiques et magn´etiques moyenn´es en pr´esence d’un champ magn´etique impos´e Λ = 1, pour diff´erents mod`eles cin, hyb et lss (voir table 6.1).
0 0.5 1 1.5 2 −18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 log 10(m+1) or log 10(l) log 10 (E) U(m) B(m) pol B(l) pol B(m) tor B(l) tor Rm=1 −5 −11 Re=1 −9
Fig. 6.6 – Spectres cin´etiques et magn´etiques moyenn´es en pr´esence d’un champ magn´etique impos´e Λ = 1, pour le cas lss.
Si on compare les effets moteurs du pompage d’Ekman (de l’ordre de Ro Ek1/2 ∼ 10−6) avec la force de Laplace axisym´etrique (∼ 10−9), on se rend compte que la force de Laplace ne peut pas freiner l’´ecoulement axisym´etrique. C’est donc vraisemblablement l’œuvre de l’effet qui creuse la couche au centre pour le mod`ele cin, `a savoir les non-lin´earit´es.
Sur la table 6.1, on voit aussi une augmentation de ∆, qui traduit l’´elargissement de la couche de cisaillement lorsque la force de Laplace est pr´esente. Cette force s’oppose donc au cisaillement du champ magn´etique. On voit aussi que l’´energie du champ magn´etique induit est consid´erablement r´eduite lorsque la force de Laplace est pr´esente, de mˆeme que l’´energie des vitesses non-zonales. Ceci traduit le fait que le champ magn´etique s’oppose fortement `a l’apparition de vitesses qui lui sont perpendiculaires. On remarque aussi que c’est la dissipation par effet Joule qui domine toutes les autres. Rien d’´etonnant `a cela vu le tr`es faible Pm et l’intensit´e du champ magn´etique appliqu´e.
6.2.2 L’effet de la force de Laplace aux grandes ´echelles
Sur les cartes de vorticit´e (fig. 6.4), on voit bien l’att´enuation des bras spirales `a l’ex-t´erieur de la couche de cisaillement. On voit aussi l’allongement des structures de vorticit´e de la couche de cisaillement dans la direction du champ magn´etique (−→
eφ). Dans le spectre (fig. 6.5), il est assez clair que la dissipation aux petites ´echelles est sous-estim´ee, puisque la queue du spectre d’´energie cin´etique pour le mod`ele hyb passe au-dessus du niveau de ce spectre sans force de Laplace (mod`ele cin). Cet effet est aussi visible sur les cartes de vorticit´e.
6.2.3 L’effet de la force de Laplace aux petites ´echelles
Sur les figures6.5et6.6qui repr´esentent les spectres, on voit bien l’effet de l’introduction de la force de Laplace aux grandes et petites ´echelles. Si l’introduction de la force de Laplace aux grandes ´echelles seulement n’est pas suffisante (on oublie la dissipation aux petites ´
echelles), lorsqu’on inclut la force de Laplace aux petites ´echelles c’est pire : on surestime beaucoup la dissipation aux petites ´echelles, comme en t´emoigne la baisse brutale du niveau d’´energie des petites ´echelles dans le spectre du mod`ele lss.
On remarque ´egalement les pentes tr`es raides des spectres magn´etiques. En r´egime diffusif (pour Rm 1, comme c’est le cas ici), pour un spectre de vitesse en Eu(m), on attend des spectres d’´energie magn´etique en Eb(m) ∼ m−2Eu(m) soit ici m−7, ce qui est loin d’ˆetre le cas.
Plusieurs hypoth`eses pour expliquer cela peuvent ˆetre avanc´ees :
1. L’hypoth`ese d’´equilibre instantan´e (r´egime diffusif) qui consiste `a n´egliger ∂ − →
b ∂t est-elle justifi´ee pour notre ´ecoulement (voir 6.1.2) ?
2. En utilisant l’approximation −→
FLSS = −→ j ∧−→
B , on oublie aussi le terme −→ J ∧−→
b et les courants dus au champ ´electrique, qui tout en ´etant plus faibles ne sont pas forc´ement n´egligeables pour autant.
6.2. INFLUENCE D’UN CHAMP MAGN ´ETIQUE IMPOS ´E 137 A priori l’hypoth`ese 2 ne devrait pas aboutir `a une surestimation de la dissipation, et ne devrait pas alt´erer la pente des spectres d’´energie magn´etique. Par contre, les courants de l’hypoth`ese 1 sont ceux qui vont s’opposer `a la variation rapide des courants.
Pour tester l’hypoth`ese 1, on peut comparer le temps de diffusion du champ magn´etique pour un nombre d’onde m, avec le temps de propagation des ondes de Rossby. Le temps de diffusion est
Tdiff= Pm
Ek m
−2
et le temps que mettrait une onde se propageant `a c pour traverser la longueur correspon-dant `a m est
Tcin = 1 c m
Pour que l’approximation de diffusion instantan´ee soit valable, il faut Tdiff/Tcin 1 soit Tdiff Tcin = Pm Ek c m = Rm c
Si on estime la vitesse de propagation des ondes par c ∼ Ro, et qu’on calcule Rmc avec les param`etres employ´es ici : Pm = 10−5, Ek = 10−8, Ro = −0.02, mB
max= 21, on trouve Rmc(mBmax) ∼ 1, ce qui semble effectivement un peu juste pour utiliser l’approximation du r´egime diffusif2
On ne peut donc pas n´egliger ∂ − →
b
∂t dans l’´equation d’induction, mˆeme pour Rmlocal 1 : Il faut aussi avoir Rmc 1. Dans notre cas, pour pouvoir utiliser l´egitimement notre param´etrisation de la force de Laplace aux petites ´echelles, il faudrait prendre mB
max beaucoup plus grand, ce qui diminue fortement l’int´erˆet d’une telle approche. En plus, avec les param`etres dynamo du style E = 10−8 et Pm = 10−2, ce n’est plus du tout possible : il faudrait prendre mB
max ∼ mU max.
Pour Rmc > 1, le passage rapide de l’onde ne laisse pas aux courants ´electriques le temps de s’´etablir, limitant ainsi leur intensit´e et r´eduisant la dissipation Joule. Ainsi on r´eduit nettement la dissipation aux petites ´echelles, ce qui pourrait expliquer les spectres d’´energie magn´etique raides observ´es.
On remarque ici une fois encore que c’est le comportement ondulatoire de notre ´ ecou-lement qui le rend particulier : avec une advection pure on n’aurait pas de probl`emes.
2Si on estime la vitesse des ondes par celle des ondes de Rossby c ∼ β/m2, qui n’est a priori plus valable pour l’´ecoulement non-lin´eaire utilis´e ici, on trouve Rmc(mB
max) ∼ 0.1 ce qui reste tout de mˆeme important.